2022-2023學(xué)年上海市川沙中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、填空題1．函數(shù)在到之間的平均變化率為________．【答案】/【分析】利用平均變化率的定義可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，函數(shù)在到之間的平均變化率為.故答案：.2．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是，則______．【答案】/【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義直接判斷即可.【詳解】函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是則.故答案為：.3．若，則______．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解即可.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知：.故答案為：.4．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3x＋ln x，則＝________.【答案】【分析】先對f(x)＝x2＋3x＋ln x求導(dǎo)，然后令，化簡可得【詳解】因?yàn)?/span>f(x)＝x2＋3x＋ln x，所以＝2x＋3＋，所以＝4＋3＋＝3＋，所以＝.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求導(dǎo)法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5．已知國外某地新冠病毒感染率為0.5%，市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率99%，若該地全員參加核酸檢測，則該地某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率是______．（用數(shù)值表示）【答案】【分析】根據(jù)條件概率的乘法公式即可求解．【詳解】記感染新冠病毒為事件，感染新冠病毒的條件下，標(biāo)本為陽性為事件，則，，故某市民感染新冠病毒且標(biāo)本檢出陽性的概率為．故答案為：．6．已知函數(shù)，則該函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角的大小是______．【答案】【分析】先求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再結(jié)合傾斜角的范圍求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，則，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，故答案為：.7．某個(gè)品種的小麥麥穗長度（單位：cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為______.【答案】10.8【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12個(gè)，所以，所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)即：10.8.故答案為：10.88．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)最小值是______．【答案】【分析】由導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性，再求最值即可.【詳解】，，令，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)最小值是.故答案為：9．設(shè)函數(shù)（m為實(shí)數(shù)），若在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍_____________．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到，，再根據(jù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，恒成立，即，.又在上單調(diào)遞減，所以，故，即，所以m的取值范圍為.故答案為：.10．若函數(shù)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)有極值求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，.令，則.當(dāng)時(shí)，有，，即恒成立，所以在R上單增，無極值；當(dāng)時(shí)，有，有兩個(gè)根（不妨設(shè)），令解得：；令解得：，所以在上單增，在上單減，所以在處取得極大值，在處取得極小值.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：11．已知，若對任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】由參變分離可得對任意的都有成立，令，，只需，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出答案．【詳解】因?yàn)閷θ我?/span>，都有成立，所以對任意，都有即成立，令，，，令，，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為.故答案為：．12．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是______．【答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解函數(shù)不等式.【詳解】不等式轉(zhuǎn)化為，令，則，在上單調(diào)遞減，，，的解集為，即不等式的解集為.故答案為： 二、單選題13．研究下列問題：①某城市元旦前后的氣溫；②某種新型電器元件使用壽命的測定；③電視臺想知道某一個(gè)節(jié)目的收視率；④銀行在收進(jìn)儲戶現(xiàn)金時(shí)想知道有沒有假鈔.一般通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)的是（    ）A．①② B．③④ C．② D．④【答案】C【分析】根據(jù)普查和抽樣調(diào)查的特點(diǎn)逐個(gè)分析判斷【詳解】①通過觀察獲取數(shù)據(jù)，③④通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)，只有②通過試驗(yàn)獲取數(shù)據(jù).故選：C14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A．曲線在點(diǎn)處的切線斜率小于零B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)在處取得極大值D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象,可判斷原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可逐一求解.【詳解】根據(jù)圖像可知，故在點(diǎn)處的切線斜率等于零，A錯(cuò)誤；在，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，在的左右兩側(cè)，故不是極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確；故選：D15．已知是曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，則當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析得出在點(diǎn)處的切線與直線平行，利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：若使得取值最小值，則曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得，，解得.故選：C.16．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)贏3局者勝，分出勝負(fù)即停止比賽.已知前3局每局甲贏的概率為，之后每局甲贏的概率為，每局比賽沒有平局，則打完第5局比賽結(jié)束的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得前3局甲贏2局，剩下2局乙贏，或前3局甲贏1局，第4局甲贏，剩下2局乙贏，再根據(jù)概率的乘法公式求解即可【詳解】打完第5局比賽結(jié)束，則前4局甲、乙兩位同學(xué)各贏2局.分兩種情況：①前3局甲贏2局，剩下2局乙贏，概率為；②前3局甲贏1局，第4局甲贏，剩下2局乙贏，概率為.故打完第5局比賽結(jié)束的概率為.故選：B 三、解答題17．如圖，圓錐的底面半徑，高，點(diǎn)C是底面直徑AB所對弧的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn)．求：(1)該圓錐的表面積；(2)直線CD與平面PAB所成角的大?。?/span>【答案】(1)表面積(2) 【分析】（1）求出圓錐的母線長，由此能求出該圓錐的表面積．（2）由題意，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大?。?/span>【詳解】（1）圓錐的底面半徑，高，圓錐的母線長，該圓錐的表面積為：．（2）由題意，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，,0,，,,，,0,，,,，,,，平面的法向量為,0,，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的大小為．18．某中學(xué)將舉行趣味運(yùn)動會．某班共有8名同學(xué)報(bào)名參加“四人五足”游戲，其中男同學(xué)4名，女同學(xué)4名．按照游戲規(guī)則，每班只能選4名同學(xué)參加這個(gè)游戲，因此要從這8名報(bào)名的同學(xué)中隨機(jī)選出4名．(1)求選出的4名同學(xué)中有男生的概率；(2)記選出的4名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）根據(jù)古典概型求解即可；（2）先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，再求出對應(yīng)隨機(jī)變量的概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式求出期望即可.【詳解】（1）選出的4名同學(xué)中有男生的概率為；（2）隨機(jī)變量可取，，，，，，則分布列為期望.19．某網(wǎng)球中心在10000平方米土地上，欲建數(shù)塊連成片的網(wǎng)球場．每塊球場的建設(shè)面積為1000平方米．當(dāng)該中心建設(shè)塊球場時(shí)，每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用（單位：元）可近似地用函數(shù)關(guān)系式來刻畫，此外該中心還需為該工程一次性向政府繳納環(huán)保費(fèi)用1280000元．(1)請寫出當(dāng)網(wǎng)球中心建設(shè)塊球場時(shí)，該工程每平方米的綜合費(fèi)用的表達(dá)式，并指出其定義域（綜合費(fèi)用是建設(shè)費(fèi)用與環(huán)保費(fèi)用之和）；(2)為了使該工程每平方米的綜合費(fèi)用最省，該網(wǎng)球中心應(yīng)建多少個(gè)球場？【答案】(1)，其定義域?yàn)?/span>(2)個(gè) 【分析】（1）根據(jù)題意得到，得出每平方米的平均環(huán)保費(fèi)用為元，進(jìn)而得到每平方米的綜合費(fèi)用的表達(dá)式為和定義域；（2）由（1）知，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極小值（最小值），即可求解.【詳解】（1）解：由某網(wǎng)球中心在10000平方米土地上，欲建數(shù)塊連成片的網(wǎng)球場，每塊球場的建設(shè)面積為1000平方米，可得，因?yàn)槊科椒矫椎钠骄h(huán)保費(fèi)用為元，每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用可近似地用函數(shù)關(guān)系式來刻畫，所以每平方米的綜合費(fèi)用的表達(dá)式為，其中函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.（2）解：由（1）可知，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，即為最小值，所以為了使該工程每平方米的綜合費(fèi)用最省，該網(wǎng)球中心應(yīng)建個(gè)球場.20．已知A、B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，F是橢圓Γ的右焦點(diǎn)，M是橢圓Γ上異于A、B的點(diǎn)．(1)若，求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：y＝2與y軸交于點(diǎn)P，與直線MA交于點(diǎn)Q，與直線MB交于點(diǎn)R，求證：的值僅與a有關(guān)；(3)如圖，在四邊形MADB中，MA⊥AD，MB⊥BD，若四邊形MADB面積S的最大值為求a的值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)a＝2 【分析】（1）由題意知是等邊三角形，由此求出a，即可寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)，，，寫出直線AM、BM的方程，求出P、Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可求出的值．（3）設(shè)，，根據(jù)題意求出四邊形MADB的面積，計(jì)算S的最大值，由此求出a的值．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，AF＝BF，所以是等邊三角形，因?yàn)?/span>AB＝2，AF＝a，所以a＝2AO＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，因?yàn)?/span>，,所以直線AM、BM的方程分別為令，則有，，所以，而點(diǎn)在橢圓上，則有，即，所以的值僅與a有關(guān)．（3）設(shè)，而,故，,,因?yàn)?/span>MA⊥DA，MB⊥DB，所以，所以，，兩式相減得，代回原式得，因?yàn)?/span>，所以，，所以四邊形MADB的面積為，，所以,因?yàn)?/span>S的最大值為，所以，解得或，因?yàn)?/span>，所以．【點(diǎn)睛】本題采取的方法主要是大膽的設(shè)點(diǎn)，對于第二問的定值，要首先相關(guān)直線方程，再得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后一定不忘有點(diǎn)在橢圓上，適合橢圓方程，進(jìn)行整體代換，對于第三問除了設(shè)點(diǎn)，兩個(gè)垂直的轉(zhuǎn)化，主要從向量點(diǎn)乘為0或斜率乘積為兩種出發(fā)，得到相關(guān)等式，點(diǎn)差法是處理設(shè)點(diǎn)時(shí)常用的方法，而四邊形面積我們常常將其拆分，例如本題將其分割成兩個(gè)三角形面積和.總體來說，本題是一道難題，考查了運(yùn)算求解能力與邏輯思維能力.21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，且，證明：.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)(3)證明見解析 【分析】（1）先求定義域，然后對進(jìn)行分類討論，求解不同情況下的單調(diào)區(qū)間；（2）在第一問的基礎(chǔ)上，討論實(shí)數(shù)的取值，保證函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及極值列出不等式，求出時(shí)滿足題意，再證明充分性即可；（3）設(shè)，對題干條件變形，構(gòu)造函數(shù)對不等式進(jìn)行證明.【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，綜上可知：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，又，使得，又，設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，使得，綜上可知，為所求.（3）依題意，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)?/span>，，，不等式，，所證不等式即設(shè)，在上是增函數(shù)，且，所以在上是增函數(shù)，且，即，從而所證不等式成立.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效. 

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