2023屆上海市金山中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知某隨機(jī)變量X的分布為 則等于（    ）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】利用分布列的性質(zhì)求得，再利用隨機(jī)變量期望公式可求解.【詳解】由分布列的性質(zhì)得，所以根據(jù)隨機(jī)變量期望公式，得故選：C2．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，則“是奇函數(shù)”是“”的（     ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先由函數(shù)為奇函數(shù)，得到對于任意的，均有，充分性成立，再由當(dāng)時，但不能保證對于其他值，均有，得到必要性不成立，從而選出正確答案.【詳解】若是定義在R上的奇函數(shù)，則對于任意的，均有，因?yàn)?/span>，所以，故，充分性成立，當(dāng)時，但不能保證對于其他值，均有，所以必要性不成立，綜上：則“是奇函數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選：A3．已知命題p:對于任意x∈[1，2]，都有；命題q:存在x∈R，使得 若p與q中至少有一個是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A．a≤-2 B．a≤1 C．a≤-2或a=1 D．且【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出命題p和命題q為真命題時a的取值范圍，求出它們都為真時的a的取值范圍，再求補(bǔ)集即可．【詳解】根據(jù)題意，命題p：任意x∈[1，2]，，若命題p為真，必有，即a≤1；對于命題q,存在x∈R，，若命題q為真，即方程有解，則有，解可得：a≥1或a≤?2，若命題p與q都是真命題，即，則有a≤?2或a＝1；若p與q中至少有一個是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是且故選：D.4．已知平面向量、、 滿足，且對任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式，兩邊平方得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而得到，再利用模長公式將轉(zhuǎn)化為，再利用不等式即可得解.【詳解】由，兩邊平方得又，且對任意實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，所以，即，所以，即由，知，所以故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查向量的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵先利用對任意實(shí)數(shù)恒成立，求得，再利用求最值，考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力. 二、填空題5．已知集合與相等，則實(shí)數(shù)__________．【答案】2【分析】由已知，兩集合相等，可借助集合中元素的的互異性列出方程組，解方程即可完成求解.【詳解】因?yàn)榧?/span>與相等，則，解得．故答案為：2.6．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為________．【答案】1【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出后可得．【詳解】因?yàn)?/span>，所以．故，填．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．7．若等式恒成立，則的值為_________.【答案】【分析】令可得答案.【詳解】令得故答案為：8．已知向量 與 的夾角為，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積和模的公式，求向量的模.【詳解】.故答案為：9．已知，，則 _________.【答案】##【分析】根據(jù)條件概率概率公式計算可得.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，所以.故答案為：10．曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程.【詳解】解：由可得，曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以所求切線方程為即，故答案為：11．已知，若關(guān)于的方程的一個根為，為虛數(shù)單位，則___________.【答案】60【分析】根據(jù)一元二次方程的虛數(shù)根為共軛復(fù)數(shù)，再結(jié)合韋達(dá)定理可求得，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于的方程的一個根為，則另一個根為，所以，所以，所以.故答案為：.12．已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的取值范圍是______．【答案】【分析】由分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得．故答案為：13．對于區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)均有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【分析】由題意可知任意，恒成立，令，則可等價于，恒成立，再由對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求出，由此即可得出答案.【詳解】由題意可知對于任意 ，恒成立，即恒成立，令，則恒成立，參變分離得：，，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，所以，所以，故答案為：.14．已知，在函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)中，距離最短的兩個交點(diǎn)的距離為，則的值為___________.【答案】【分析】由題意，為使兩交點(diǎn)距離最小,只需兩交點(diǎn)在同一個周期內(nèi),作出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象,由勾股定理，列方程求解.【詳解】根據(jù)題意，要使交點(diǎn)距離最小,只需兩交點(diǎn)在同一個周期內(nèi).令，即，所以,解得：.如圖示：當(dāng)時，，，即.當(dāng)時，，，即.由勾股定理得：，即，解得：.故答案為：.15．設(shè)a、b∈R，且a+b=4，則的最大值為__________【答案】##【分析】利用基本不等式，明確的最值范圍，整理，利用換元法，化簡，根據(jù)基本不等式，可得答案.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.故答案為：.16．定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的實(shí)數(shù)x，都有，且，則不等式的解集是_________【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到在R上單調(diào)遞減，由得到，對變形后得到，從而，由單調(diào)性得到，求出不等式的解集.【詳解】因?yàn)?/span>，構(gòu)造，則，所以在R上單調(diào)遞減，由,令得：，故，由得：，因?yàn)?/span>，所以，故，因?yàn)?/span>在R上單調(diào)遞減，所以，解得：.故不等式的解集是.故答案為：.【點(diǎn)睛】利用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考常考題目，以下是構(gòu)造函數(shù)的常見思路：比如：若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造，若，則構(gòu)造. 三、解答題17．已知全集為實(shí)數(shù)集，集合，，(1)求A∩B;(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2). 【分析】（1）求出集合A、B，再求交集即可；（2）求出集合C和，再利用集合間的包含關(guān)系列不等式求解.【詳解】（1），或，（2）或，則又或，，解得18．在四棱錐中，平面，底面四邊形為直角梯形，，，，，Q為的中點(diǎn).(1)求四棱錐的體積；(2)求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)體積為1(2) 【分析】（1）根據(jù)已知條件因?yàn)?/span>平面，所以棱錐的高，直接利用棱錐的體積公式求值即可得解；（2）首先取邊中點(diǎn)，連接?，則，所以為異面直線與所成角（或其補(bǔ)角），求得的各邊長，利用余弦定理即可得解.【詳解】（1）（1）因?yàn)?/span>平面，所以即四棱雉的體積為1；（2）取邊中點(diǎn)，連接?，則，∴為異面直線與所成角（或其補(bǔ)角）.連接，在中可得，作于，連接，在中，，所以，在中，，，利用余弦定理可得，所以在中，，，，∴，故，即異面直線與所成角的大小為.19．已知向量，記．（1）若，求的值；（2）在銳角中，角的對邊分別是，且滿，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角恒等變換可得，由可得，根據(jù)二倍角公式可得的值；（2）根據(jù)正弦定理消去中的邊可得，所以，又，則，得，根據(jù)三角函數(shù)值域的有界性即可求得的取值范圍．【詳解】（1）向量，，記，則，因?yàn)?/span>，所以，所以．（2）因?yàn)?/span>，由正弦定理得，所以，所以，，所以，又，所以，則，即，又，則，得，所以，又，所以的取值范圍．【解析】三角求值、正弦函數(shù)的值域及正弦定理解三角形.20．中國共產(chǎn)黨第二十次代表大會報告指出：教育、科技、人才是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的基礎(chǔ)性、戰(zhàn)略性支撐，某項(xiàng)人才選拔的測試，共有25道選擇題構(gòu)成，每道題均有4個選項(xiàng)，其中只有1個是正確的.該測試滿分為150分，每題答對得6分，未作答得2分，答錯得0分.考生甲、乙都已答對前20道題，對后5道題（依次記為、、、、）均沒有把握答對.兩人在這5道題中選擇若干道作答，作答時，若能排除某些錯誤選項(xiàng)，則在剩余的選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇1個，否則就在4個選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇1個.已知甲只能排除、、中各1個錯誤選項(xiàng)，故甲決定只作答這三題，放棄、.(1)求甲的總分不低于130分的概率；(2)求甲的總分的概率分布；(3)已知乙能排除、、中各2個錯誤選項(xiàng)，能排除中1個錯誤選項(xiàng)，但無法排除中的任一錯誤選項(xiàng).試問乙采用怎樣的作答策略（即依次確定后5道題是否作答）可使其總分的期望最大，并說明理由.【答案】(1)(2)答案見解析(3)答案見解析 【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式計算可得；（2）設(shè)甲的總分為隨機(jī)變量，依題意可得的可能值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可求出分布列；（3）分別求出、、、、得分的期望值，即可判斷.【詳解】（1）解：設(shè)甲的總分不低于為事件，因?yàn)榍?/span>道題所得分?jǐn)?shù)為分，且放棄作答、的兩題得分，要使甲的總分不低于分，則、、至少答對題，因?yàn)榧啄芘懦?/span>、、中各1個錯誤選項(xiàng)，故甲答對、、的概率均為，所以；（2）解：設(shè)甲的總分為隨機(jī)變量，則的可能值為，，，，所以，，，，∴乙總分的概率分布列為：X124130136142P （3）解：∵，，每道題作答的話，每題得分期望為，所以前三題應(yīng)作答；道題作答的話，其得分期望為，所以道題作答或者放棄都可以；道題作答的話，其得分期望為，所以道題應(yīng)放棄作答；故要使乙總分的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)選擇作答，，，作答或者放棄都可以，放棄作答．21．若函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在（），滿足，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，是它的平均值點(diǎn).(1)已知函數(shù)是區(qū)間的“平均值函數(shù)”，求該函數(shù)的平均值點(diǎn)；(2)當(dāng)函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，且有兩個不同的平均值點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)是否存在區(qū)間（），使得函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”?若存在，求出所有滿足條件的區(qū)間；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)所給定義得到，求出即可判斷；（2）依題意存在，使關(guān)于的方程，參變分離可得，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，再求出端點(diǎn)處函數(shù)值，即可求出參數(shù)的取值范圍；（3）利用反證法，令，則在區(qū)間上有解，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得到，即，即可得到矛盾，從而得證.【詳解】（1）解：函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，由題題意，，得，則或（舍去），所以函數(shù)是區(qū)間上的“平均值點(diǎn)”為；（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，且有兩個不同的平均值點(diǎn)，所以存在，使關(guān)于的方程有兩個不同的根和，即，即，令，其中，則，令，解得，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以，因此；（3）假設(shè)存在區(qū)間（），使得函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，令，所以在區(qū)間上有解，又，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，即，即，即，又因?yàn)?/span>，即，所以與相矛盾，所以不存在區(qū)間（），使得函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”. 

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