2023屆上海市育才中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析

這是一份2023屆上海市育才中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析，共19頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
2023屆上海市育才中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．若，則下列選項(xiàng)中正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】對(duì)于ABD，舉反例即可排除；對(duì)于C，利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)?/span>，對(duì)于A，令，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，即，故C正確；對(duì)于D，令，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.2．把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的（橫坐標(biāo)不變），再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），最后把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】將的圖象向右平移個(gè)單位，再將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，然后圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，從而可求出的解析式.【詳解】因?yàn)榘押瘮?shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的（橫坐標(biāo)不變），再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），最后把所得曲線向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以將的圖象向右平移個(gè)單位，得，再將曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，得，然后圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，得，所以，故選：A3．已知數(shù)列滿足．若對(duì)任意，（且）恒成立，則m的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，得，兩式相除可求出，從而可求得，所以將問題轉(zhuǎn)化為，從而可求出m的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相除得，也適合所以，因?yàn)閷?duì)任意，（且）恒成立，所以，所以，當(dāng)時(shí)，由，得，則，當(dāng)時(shí)，由，得，則，綜上， 故選：A4．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像可知直線介于與軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.     由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于與軸之間符合題意，直線為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)在第二象限的部分的解析式為，求其導(dǎo)數(shù)可得，因?yàn)?/span>，故，故直線的斜率為，故只需直線的斜率.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題. 二、填空題5．已知集合，，則______．【答案】##【分析】首先解不等式得到，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以.故答案為：6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則，滿足的關(guān)系式為______.【答案】【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)?/span>，可得，整理得，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則滿足的關(guān)系式為.故答案為：.7．已知雙曲線(a＞0，b0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)離心率求得，即可求得漸近線方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為2，則，解得，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.8．在的展開式中，的系數(shù)是_________．【答案】10【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出．【詳解】因?yàn)?/span>的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．某團(tuán)支部隨機(jī)抽取甲、乙兩位同學(xué)連續(xù)9期“青年大學(xué)習(xí)”的成績（單位：分），得到如圖所示的成績莖葉圖，關(guān)于這9期的成績，則乙的成績最低為______．【答案】10【分析】通過識(shí)別莖葉圖可得答案.【詳解】由圖可得，當(dāng)乙成績最低時(shí)，對(duì)應(yīng)的“莖”為1，對(duì)應(yīng)的“葉”為0，故成績最低為10.故答案為：1010．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不重合的平面，給定下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中真命題的序號(hào)為__．【答案】②③【分析】由直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】解：①由線面垂直的判定定理可得，若要使，則要垂直中的兩條相交的直線，通過分析，只垂直來中的一條直線，故不能做出判斷，故①錯(cuò)誤；②根據(jù)面面垂直的判定定理可得，若，則，故②正確；③由線面垂直的性質(zhì)定理可得，兩條不同的直線都垂直同一個(gè)平面，則這兩條直線必平行，故③正確；④由面面平行的性質(zhì)定理可得，只有若，，，不能得出，如果加上條件在同一平面內(nèi)，則可得線線平行，故④錯(cuò)誤，故答案為：②③11．為調(diào)查某重點(diǎn)中學(xué)三個(gè)年級(jí)學(xué)生的課外閱讀情況，從該中學(xué)2000名學(xué)生中通過分層抽樣抽取了部分學(xué)生統(tǒng)計(jì)了這部分學(xué)生一個(gè)月的課外閱讀時(shí)間（如表所示，所有學(xué)生的課外閱讀時(shí)間相互獨(dú)立，單位為小時(shí)．）．若從高一年級(jí)抽出的學(xué)生中隨機(jī)選取一人（記為甲），從高三年級(jí)抽出的學(xué)生中隨機(jī)選取一人（記為乙），則這一個(gè)月中甲的課外閱讀時(shí)間比乙的課外閱讀時(shí)間短的概率為______．年級(jí)抽取的學(xué)生各自的閱讀時(shí)間（小時(shí)）高一910121518222426高二10151619202325 高三1114141516     【答案】##0.375【分析】根據(jù)古典概率模型求解即可.【詳解】從高一年級(jí)抽出的學(xué)生中隨機(jī)選取一人（記為甲），從高三年級(jí)抽出的學(xué)生中隨機(jī)選取一人（記為乙）共有種情況，甲的課外閱讀時(shí)間比乙的課外閱讀時(shí)間短包含：，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況.所以這一個(gè)月中甲的課外閱讀時(shí)間比乙的課外閱讀時(shí)間短的概率為.故答案為：12．八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，圖1是八卦模型圖，其平面圖形為圖2中的正八邊形，其中，給出下列結(jié)論：①與的夾角為； ②； ③；④向量在向量上的投影向量為（其中是與同向的單位向量）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為______．【答案】2 【分析】利用正八邊形的性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及投影向量的定義逐一分析運(yùn)算即可.【詳解】對(duì)①：為正八邊形，則與的夾角為，①錯(cuò)誤；對(duì)②：，平分，則，②錯(cuò)誤；對(duì)③：∵，則，③正確；對(duì)④：∵，即與的夾角為，    ∴向量在向量上的投影向量為，④正確；故答案為：213．若，，則______．【答案】【分析】利用兩角差的余弦公式可得，再利用和差化積公式得到，即可得解.【詳解】，，，即，，故答案為：14．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)最小值均大于或等于4，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】先利用絕對(duì)值三角不等式求得題干函數(shù)的最小值，從而得到關(guān)于的二次不等式，解之即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以的最小值為，故，整理得，解得或，故的取值范圍為.故答案為：.15．已知中，點(diǎn)D在邊BC上，．當(dāng)取得最小值時(shí)，________．【答案】##【分析】設(shè)，利用余弦定理表示出后，結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)，則在中，，在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)取最小值時(shí)，.故答案為：.[方法二]：建系法令 BD=t，以D為原點(diǎn)，OC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設(shè)BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.[方法四]：判別式法設(shè)，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時(shí)所以當(dāng)取最小值時(shí)，，即.   16．已知若存在，使得成立的最大正整數(shù)為6，則的取值范圍為________.【答案】【分析】由題意得，分類討論作出函數(shù)圖象，求得最值解不等式組即可.【詳解】原問題等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖此時(shí)，則，解得：；綜上，滿足條件的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的最值求解，存在性問題的求解等，考查了分類討論，轉(zhuǎn)化與化歸的思想. 三、解答題17．已知數(shù)列中，，，，等比數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）.（2）證明見解析，【分析】（1）根據(jù)遞推公式，分別將代入求得，代入求得，即可求得數(shù)列的公比，進(jìn)而得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入遞推公式，化簡變形后可求得為常數(shù)，即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由錯(cuò)位相減法及分組求和法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）等比數(shù)列滿足，所以，得，，得，所以等比數(shù)列的公比為，故其通項(xiàng)公式為（2）證明：由（1）可知：，即，所以，又所以數(shù)列是首項(xiàng)是1，公差為1的等差數(shù)列，故，所以令【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推公式求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列定義與證明，錯(cuò)位相減法與分組求和法的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.18．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，E為CD的中點(diǎn)，O為BD上一點(diǎn)，且BC平面AOE．(1)求證：O是BD的中點(diǎn)；(2)若AB=AD，BCBD，求證：平面ABD平面AOE．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析 【分析】（1）利用線面平行的性質(zhì)得到BCOE，即可證明結(jié)論；（2）利用線面垂直的判定定理證明BD平面AOE，再利用面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論【詳解】（1）∵BC平面AOE，BC平面BCD，平面BCD平面AOE=OE，∴BCOE，∵E為CD的中點(diǎn)，所以在中，是中位線，∴O為BD的中點(diǎn)；（2）∵OEBC，BCBD，∴OEBD，∵AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，∴OABD，∵OEOA＝O，OE，OA平面AOE，∴BD平面AOE，∵BD平面ABD，∴平面ABD平面AOE．19．據(jù)國家氣象局消息，今年各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣.漫漫暑期，空調(diào)成了很好的降溫工具，而物體的降溫遵循牛頓冷卻定律.如果某物體的初始溫度為，那么經(jīng)過分鐘后，溫度滿足，其中為室溫，為半衰期.為模擬觀察空調(diào)的降溫效果，小明把一杯的茶水放在的房間，10分鐘后茶水降溫至.（參考數(shù)據(jù)：）(1)若欲將這杯茶水繼續(xù)降溫至，大約還需要多少分鐘？（保留整數(shù)）(2)為適應(yīng)市場需求，2022年某企業(yè)擴(kuò)大了某型號(hào)的變頻空調(diào)的生產(chǎn)，全年需投入固定成本200萬元，每生產(chǎn)千臺(tái)空調(diào)，需另投入成本萬元，且已知每臺(tái)空調(diào)售價(jià)3000元，且生產(chǎn)的空調(diào)能全部銷售完.問2022年該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)的總產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，獲利最大？并求出最大利潤.【答案】(1)13分鐘(2)當(dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為30千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤為3400萬元. 【分析】（1）由題意列方程求解（2）由題意得出利潤與的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求解最值【詳解】（1）由題意可得，解得.設(shè)經(jīng)過分鐘，這杯茶水降溫至，則，解得（分鐘）.故欲將這杯茶水降溫至，大約還需要13分鐘.（2）設(shè)2022年該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)的利潤為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值3400萬元；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則當(dāng)時(shí)，取得最大值3380萬元.因?yàn)?/span>，所以當(dāng)該企業(yè)該型號(hào)的變頻空調(diào)總產(chǎn)量為30千臺(tái)時(shí)，獲利最大，最大利潤為3400萬元.20．如圖，是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，是橢圓上與均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別是.(1)求的值；(2)若直線過點(diǎn)，求證：；(3)設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為(為常數(shù)且)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否落在某條定直線上？若是，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）見解析（3）落在定直線上【詳解】試題分析：（1）由橢圓方程可知點(diǎn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)而不求），根據(jù)斜率的計(jì)算公式列出的表達(dá)式，又點(diǎn)在橢圓上，聯(lián)立橢圓方程，從而可問題可得解；（2）由題意可聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，根據(jù)韋達(dá)定理，求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系式，再分別算出斜率，進(jìn)行運(yùn)算化簡，從而問題可得證.（3）同（2）法，由點(diǎn)的縱坐標(biāo)，求出直線的方程，聯(lián)立兩直線方程，求出其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)無關(guān)，從而可判斷交點(diǎn)落在定直線上，從而問題可得解.試題解析：(1)設(shè)，由于，所以，因?yàn)?/span>在橢圓上，于是，即，所以. (2)設(shè)直線，，由得，于是， ．  (3)由于直線與軸的交點(diǎn)為，于是，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，于是因?yàn)橹本€，直線，兩式相除，可知，于是，所以，即直線與直線的交點(diǎn)落在定直線上．21．已知，其中且．（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線為，求直線斜率的取值范圍：（2）若在區(qū)間有唯一極值點(diǎn)，①求的取值范圍；②用表示的最小值．證明：．【答案】（1）；（2）①；②證明見解析．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線斜率的取值范圍即為的值域；（2）①設(shè)，由題意有且只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)分和討論即可；②由①知，利用誘導(dǎo)公式化簡得，然后對(duì)分情況討論并結(jié)合放縮法可證..【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，直線l斜率的取值范圍是．（2）①設(shè)，則，i）若，則在區(qū)間內(nèi)，且使，所以在內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)極值點(diǎn)，故不滿足題意．．ii）時(shí)，令，得令，解得：，故m只能取1，令，解得：，此時(shí)n無解．故，僅當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在有唯一的極大值點(diǎn)．綜上，時(shí)，在區(qū)間有唯一極大值點(diǎn)．②證明：由①知，，此時(shí)，a）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由不等式：時(shí)，知得所以，．b）當(dāng)時(shí)，即時(shí)， 綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）問中①的關(guān)鍵是利用三角恒等變換將化簡為，然后對(duì)分：和討論；（2）問中②的關(guān)鍵是利用①知，從而求出，并化簡得，然后分情況討論并結(jié)合放縮法可證明.