?第20講 《解直角三角形》分類總復(fù)習(xí)
考點(diǎn)一 特殊角的三角函數(shù)值
A
B
C
【知識點(diǎn)睛】
v 基本定義：如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，
則
v 范圍：0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα＞1
v 各三角函數(shù)間的轉(zhuǎn)化公式：、、
、
v 特殊角的三角函數(shù)值：
α
30°
45°
記憶方法：
1. sinα是增函數(shù)，α從30°— 60°，可以看成分子逐漸增大，分別是，分母都是2；
2. cosα是減函數(shù)，α從30°— 60°，可以看成分子逐漸減少，分別是，分母都是2；
3. tanα是增函數(shù)，α從30°— 60°，可以看成分子逐漸增大，分別是，分母都是3；
60°
sinα



cosα



tanα

1

【類題訓(xùn)練】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，則AC的長是（　?。?br /> A． B．3 C． D．
【分析】根據(jù)∠A的正弦值，以及BC的長可求出斜邊AB的長，然后根據(jù)勾股定理求AC．
【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，
∴sinA＝＝＝，
∴AB＝3，
∴AC＝＝＝．
故選：A．

2．已知sina＞，那么銳角a的取值范圍是（　?。?br /> A．60°＜a＜90° B．0°＜a＜60° C．45°＜a＜90° D．0°＜a＜30°
【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值以及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：∵sin60°＝，sinα＞，一個銳角的正弦值隨著銳角的增大而增大，
∴α＞60°，
∵α為銳角，
∴60°＜α＜90°，
故選：A．
3．三角函數(shù)sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系是（　　）
A．sin70°＞cos70°＞tan70° B．tan70°＞cos70°＞sin70°
C．tan70°＞sin70°＞cos70° D．cos70°＞tan70°＞sin70°
【分析】將cos70°化為sin20°，再根據(jù)正弦值隨角度的增大而大可得sin70°＞sin20°，由于70°是銳角，因此sin70°＜1，再根據(jù)一個銳角的正切值隨著角度的增大而增大可得tan70°＞tan45°，而tan45°＝1，進(jìn)而得出tan70°＞1，從得出sin70°，cos70°，tan70°的大小關(guān)系．
【解答】解：∵cos70°＝sin（90°﹣70°）＝sin20°，sin70°＞sin20°，
∴1＞sin70°＞cos70°，
又∵tan70°＞tan45°＝1，
∴tan70°＞1＞sin70°＞cos70°，
故選：C．
4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的長是（　　）
A．a(chǎn)?tanα B．a(chǎn)?cotα C． D．
【分析】畫出圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出即可．
【解答】解：如圖：

在Rt△ABC中，AC＝＝．
故選：D．
5．已知α為銳角，且，那么α的正切值為（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，則利用正弦的定義得到sinA＝sinα＝＝，于是可設(shè)BC＝5x，AB＝13x，利用勾股定理計(jì)算出AC＝12x，然后根據(jù)正切的定義求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，
∵sinA＝sinα＝＝，
∴設(shè)BC＝5x，AB＝13x，
∴AC＝＝＝12x，
∴tanA＝＝＝，
即α的正切值為．
故選：A．
6．tan60°?cos30°﹣sin245°＝　 ?。?br /> 【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計(jì)算即可．
【解答】解：原式＝×﹣（）2
＝﹣
＝1，
故答案為：1．
7．如圖，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分別是△ABC的外角平分線，則∠M的余弦值是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】由∠A＝120°可得∠1+∠2度數(shù)，從而可求∠CBD+∠BCE的度數(shù)，根據(jù)BM，CM分別是△ABC的外角平分線，得∠3+∠4的大小，即可求∠M，得到答案．
【解答】解：如圖：
∵∠A＝120°，
∴∠1+∠2＝60°，
∴∠CBD+∠BCE＝（180°﹣∠2）+（180°﹣∠1）＝360°﹣（∠1+∠2）＝300°，
∵BM，CM分別是△ABC的外角平分線，
∴∠3+∠4＝∠BCE+∠CBD＝（∠BCE+∠CBD）＝150°，
∴∠M＝30°，
∴∠M的余弦值是，
故選：D．
8.如果Rt△ABC中各邊的長度都擴(kuò)大到原來的2倍，那么銳角∠A的三角比的值（　?。?br /> A．都擴(kuò)大到原來的2倍 B．都縮小到原來的一半
C．沒有變化 D．不能確定
【分析】根據(jù)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似，可知擴(kuò)大后的三角形與原三角形相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等解答．
【解答】解：∵各邊的長度都擴(kuò)大兩倍，
∴擴(kuò)大后的三角形與Rt△ABC相似，
∴銳角A的各三角函數(shù)值都不變．
故選：C．
9．在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，則△ABC的形狀是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定
【分析】計(jì)算出∠A和∠C的角度來即可確定．
【解答】解：∵sinA＝cos（90°﹣C）＝，
∴∠A＝45°，90°﹣∠C＝45°，
即∠A＝45°，∠C＝45°，
∴∠B＝90°，
即△ABC為直角三角形，
故選：B．
考點(diǎn)二 解直角三角形
【知識點(diǎn)睛】
v 解直角三角形是指求出一個直角三角形三條邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)共六個元素的過程
v 解直角三角形口訣——“直乘斜除，對正鄰余”
釋義：一個直角三角形中，要求直角邊，一般用乘法，要求斜邊一般用除法；
求已知角的對邊一般用正弦或正切，求已知角的斜邊一般用余弦；
v 銳角是可以存在與所有三角中的，如果需要用的銳角不在直角三角形中，通常通過做垂線，構(gòu)造直角三角形，之后再利用解直角三角形的方法繼續(xù)求解。
【類題訓(xùn)練】
1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，下列結(jié)論正確的是（　　）

A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后在Rt△ADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷A，B，再在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C，最后利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAD，從而在Rt△BAD中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出cos∠BAD＝，即可判斷D．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，
故A、B不符合題意；
在Rt△BAC中，sinC＝，
故C符合題意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，
∴cosC＝cos∠BAD＝，
故D不符合題意；
故選：C．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝2，則AB等于（　?。?br /> A． B．4 C．4 D．6
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinA＝＝，把BC＝2代入，即可求出答案．
【解答】解：如圖，
∵sinA＝＝，BC＝2，
∴＝，
解得：AB＝6，
故選：D．
3．如圖，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值為（　?。?br />
A． B．1 C． D．
【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，利用網(wǎng)格以及勾股定理求出邊長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，延長BC交網(wǎng)格于點(diǎn)D，連接AD，由網(wǎng)格以及正方形的性質(zhì)可得AD⊥BD，
由網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形可得，AD＝＝，BD＝＝2，
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝，
故選：A．

4.如圖，點(diǎn)D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一條弦，則sin∠OBD＝（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】連接CD，可得出∠OBD＝∠OCD，根據(jù)點(diǎn)D（0，3），C（4，0），得OD＝3，OC＝4，由勾股定理得出CD＝5，再在直角三角形中得出利用三角函數(shù)求出sin∠OBD即可．
【解答】解：連接CD，如圖所示：
∵D（0，3），C（4，0），
∴OD＝3，OC＝4，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝5，
∵∠OBD＝∠OCD，
∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝．
故選：D．
5．如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，則AC的長為 　 　，△ABC的面積為 　 ?。?br />
【分析】過A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD，BD的長，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD的長，再利用勾股定理求出AC的長即可，再利用三角形的面積公式求出△ABC的面積．
【解答】解：過A作AD⊥BC，
在Rt△ABD中，sinB＝，AB＝3，
∴AD＝AB?sinB＝1，BD＝＝＝2
在Rt△ACD中，tanC＝，
∴＝，即CD＝，
∴BC＝BD+CD＝3
根據(jù)勾股定理得：AC＝＝＝，
∴S△ABC＝?BC?AD＝，
故答案為：，．
6．在△ABC中，AB＝AC＝13，△ABC的面積為78，則tanB的值為　 　．
【分析】本題應(yīng)該分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況討論，首先根據(jù)三角形的面積公式求得腰上的高，再利用勾股定理求出AD，進(jìn)而得到BD，然后根據(jù)正切函數(shù)定義求解即可．
【解答】解：如圖，已知AB＝AC＝13，S△ABC＝78．作△ABC的高CD．
∵S△ABC＝AB?CD＝×13CD＝78，
解得：CD＝12．
∴AD＝＝＝5．
如圖1．
BD＝AB+AD＝13+5＝18，
tanB＝＝＝；
如圖2．
BD＝AB﹣AD＝13﹣5＝8，
tanB＝＝＝．
故答案為：或．
7．如圖，一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊（OC⊥OB，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，則點(diǎn)A到OC的距離等于（　　）

A．a(chǎn)?sinα+b?sinα B．a(chǎn)?cosα+b?cosα
C．a(chǎn)?sinα+b?cosα D．a(chǎn)?cosα+b?sinα
【分析】作AE⊥OB交OB的延長線于點(diǎn)E，在直角三角形ABE和直角三角形BOC中解直角三角形可求出點(diǎn)A到OC的距離．
【解答】解：如圖，作AE⊥OB交OB的延長線于點(diǎn)E，
∵OC⊥OB，
∴∠AEB＝∠BOC＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝b，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠OBC＝∠BCO＝α，
∵＝cos∠ABE＝cosα，
∴BE＝AB?cosα＝a?cosα，
∵＝sin∠BCO＝sinα，
∴OB＝BC?sinα＝b?sinα，
∴OE＝BE+OB＝a?cosα+b?sinα，
∵AE∥OC，
∴點(diǎn)A、點(diǎn)E到OC的距離相等，
∴點(diǎn)A到OC的距離等于a?cosα+b?sinα，
故選：D．
考點(diǎn)三 利用直角三角形解決實(shí)際問題
【知識點(diǎn)睛】
v 在實(shí)際問題中用三角函數(shù)求解未知量一般步驟：
1. 審題——審圖形、審已知、審未知
2. 找出有關(guān)的直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題（當(dāng)所需用直角三角形不存在時，常做垂直構(gòu)造）；
3. 根據(jù)直角三角形邊角之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形
【類題訓(xùn)練】
1．如圖，O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)，支柱OC與地面MN垂直，垂足為點(diǎn)C，當(dāng)蹺蹺板的一端B著地時，蹺蹺板AB與地面MN的夾角為20°，測得AB＝1.6m，則OC的長為（　　）

A． B． C．0.8sin20° D．0.8cos20°
【分析】根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵O為蹺蹺板AB的中點(diǎn)，AB＝1.6 m，
∴OB＝0.8m，
在Rt△OCB中，sinB＝，
則OC＝OB?sinB＝0.8sin20°，
故選：C．
2．工人師傅將截面為矩形的木條鋸成矩形ABCD和矩形AEFG兩部分如圖所示，C，B，G在一條直線上，CB＝a，BG＝b，∠AGB＝β，則點(diǎn)E到CG的距離等于（　?。?br />
A．a(chǎn)cosβ+bsinβ B．a(chǎn)sinβ+btanβ
C．a(chǎn)cosβ+btanβ D．a(chǎn)sinβ+btanβ
【分析】過點(diǎn)E作EH⊥BA的延長線于點(diǎn)H，則∠HAE＝∠AGB＝β，再用∠β的正切值和余弦值表示出AH和AB的長，可得答案．
【解答】解：過點(diǎn)E作EH⊥BA的延長線于點(diǎn)H，
∵∠BAG+∠AGB＝90°，∠BAG+∠HAE＝90°，
∴∠HAE＝∠AGB＝β，
∵BG＝b，tanβ＝，
∴AB＝btanβ，
∵AE＝AD＝BC＝a，
∴cosβ＝，
∴AH＝acosβ，
∴HB＝AH+AB＝acosβ+btanβ，
故選：C．
3．如圖1是一個小區(qū)入口的雙翼閘機(jī)，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為8cm（如圖2），雙翼的邊緣AC＝BD＝60cm，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為（　　）

A．60+8 B．60+8 C．64 D．68
【分析】過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥QD于點(diǎn)F，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求出AE與BF的長度，然后求出EF的長度即可得出答案．
【解答】解：過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥QD于點(diǎn)F，
∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，
∴AE＝AC＝30（cm），
由對稱性可知：BF＝AE，
∴通過閘機(jī)的物體最大寬度為2AE+AB＝60+8＝68（cm）．
故選：D．
4．一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故．一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援．海警船大約需 　 　小時到達(dá)事故船C處，（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）

【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD＝AC＝40海里，再解Rt△CBD中，得出BC＝＝≈＝50（海里），然后根據(jù)時間＝路程÷速度即可求出海警船到達(dá)事故船C處所需的時間．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB延長線于D，
在Rt△ACD中，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80，
∴CD＝AC＝40，
在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，
∴BC＝≈＝50（海里），
∴海警船到達(dá)事故船C處所需的時間大約為：50÷40＝（小時）．
故答案為：．

5．如圖1是一款“雷達(dá)式”懶人椅．當(dāng)懶人椅完全展開時，其側(cè)面示意圖如圖2所示，金屬桿AB、CD在點(diǎn)O處連接，且分別與金屬桿EF在點(diǎn)B，D處連接．金屬桿CD的OD部分可以伸縮（即OD的長度可變）．已知OA＝50cm，OB＝20cm，OC＝30cm．DE＝BF＝5cm．當(dāng)把懶人椅完全疊合時，金屬桿AB，CD，EF重合在一條直線上（如圖3所示），此時點(diǎn)E和點(diǎn)A重合．
（1）如圖2，已知∠BOD＝120°，∠OBF＝140°，則點(diǎn)A，C之間的距離為 　 　cm．
（2）如圖3，當(dāng)懶人椅完全疊合時，則CF與CD的比為 　 ?。?br />
【分析】（1）連接AC，過點(diǎn)A作AG⊥CE于G，由直角三角形的性質(zhì)得出OG＝OA＝25cm，由勾股定理得AG＝25cm，得出AC＝70cm即可；
（2）由題意得出CF＝OC﹣OB﹣BF＝5cm，CD＝OC+OA﹣DE＝75cm．
【解答】解：（1）連接AC，過點(diǎn)A作AG⊥CE于G，如圖2所示：
∵∠AOC＝120°，
∴∠AOG＝180°﹣120°＝60°，
∵AG⊥CE，
∴∠OGA＝90°，
∴∠OAG＝90°﹣60°＝30°，
∴OG＝OA＝×50＝25（cm），
由勾股定理得：AG＝＝＝＝25（cm），
∵CG＝OC+OG＝30+25＝55（cm），
∴AC＝＝＝70（cm），
∴點(diǎn)A，C之間的距離為70cm；
故答案為：70．
（2）CF＝OC﹣OB﹣BF＝30﹣20﹣5＝5（cm），CD＝OC+OA﹣DE＝30+50﹣5＝75（cm）．
∴CF與CD的比5：75＝1：15．
故答案為：1：15．
6．若sin（x﹣10°）＝，則銳角x＝　 　°．
【分析】根據(jù)60°的正弦值是計(jì)算即可．
【解答】解：∵sin60°＝，
∴x﹣10°＝60°，
解得：x＝70°，
故答案為：70．
7．鐵路道口的欄桿如圖．已知欄桿長為3米，當(dāng)欄桿末端從水平位置上升到點(diǎn)C處時，欄桿前端從水平位置下降到點(diǎn)A處，下降的垂直距離AD為0.5米（欄桿的粗細(xì)忽略不計(jì)），上升前后欄桿的夾角為α，則欄桿末端上升的垂直距離CE的長為（　?。?br />
A．米 B．米
C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米
【分析】過點(diǎn)A作AF∥DE，交CE的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．
【解答】解：如圖：

過點(diǎn)A作AF∥DE，交CE的延長線于點(diǎn)F，
∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∵AF∥DE，
∴∠CFA＝∠CED＝90°，∠CAF＝∠CBE＝α，
由題意可知：EF＝AD＝0.5米，AC＝3米，
∵sin∠CAF＝，
∴CF＝3sinα（米），
∴CE＝CF﹣EF＝（3sinα﹣0.5）（米），
即欄桿末端上升的垂直距離CE的長為（3sinα﹣0.5）米．
故選：D．
8．市防控辦準(zhǔn)備制作一批如圖所示的核酸檢測點(diǎn)指示牌，若指示牌的傾斜角為α，鉛直高度為h，則指示牌的邊AB的長等于（　?。?br />
A．hsinα B． C．hcosα D．
【分析】如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BC于C，解直角△ABC即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，AC＝h，∠B＝α，則sinα＝．
所以AB＝．
故選：B．

9．如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（　?。?br /> （參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出BD，根據(jù)角度的正切值可求出AD．
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，
∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，
∵∠ABC＝27°，
∴tan∠ABC＝≈0.51，
∴AD≈0.51×22＝11.22cm，
故選：B．
10．如圖，一只正方體箱子沿著斜面CG向上運(yùn)動，∠C＝α，箱高AB＝1米，當(dāng)BC＝2米時，點(diǎn)A離地面CE的距離是（　　）米．

A． B．
C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα
【分析】過點(diǎn)B作BM⊥AD，垂足為M，根據(jù)題意可得BE＝DM，∠ABC＝∠BEC＝∠ADC＝90°，再利用等角的余角相等可得∠C＝∠BAF＝α，然后在Rt△ABM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，再在Rt△CBE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，從而求出DM的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)B作BM⊥AD，垂足為M，

由題意得：BE＝DM，∠ABC＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CFD＝90°，∠AFB+∠BAF＝90°，
∵∠CFD＝∠AFB，
∴∠C＝∠BAF＝α，
在Rt△ABM中，AB＝1米，
∴AM＝AB?cosα＝cosα（米），
在Rt△CBE中，BC＝2米，
∴BE＝BC?sinα＝2sinα（米），
∴DM＝BE＝2sinα米，
∴AD＝AM+DM＝（cosα+2sinα）米，
∴點(diǎn)A離地面CE的距離是（cosα+2sinα）米，
故選：C．

11．勾股定理是人類最偉大的十個科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理，在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖①），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．如圖①是用四個全等的直角三角形拼成一個正方形，利用面積法可以證明勾股定理．如圖2連接EG并延長交AD的延長線于點(diǎn)M，如tanM＝，則的值為（　　）

A．2 B． C． D．1.4
【分析】在Rt△DGM中，根據(jù)tanM＝，設(shè)DG＝x，DM＝2x，從而利用勾股定理求出GM，再設(shè)HD＝y(tǒng)，根據(jù)題意可得AE＝HD＝y(tǒng)，AH＝DG＝x，從而求出AM，然后在Rt△AEM中，利用銳角三角形函數(shù)的定義可得＝＝，從而求出y＝3x，最后在Rt△HDG中，利用勾股定理求出HG，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：在Rt△DGM中，tanM＝，
∴＝，
∴設(shè)DG＝x，DM＝2x，
∴GM＝＝＝x，
設(shè)HD＝y(tǒng)，
由題意得：
△AEH≌△DHG，
∴AE＝HD＝y(tǒng)，AH＝DG＝x，
∴AM＝AH+DH+DM＝3x+y，
在Rt△AEM中，tanM＝，
∴＝＝，
∴3x+y＝2y，
∴y＝3x，
∴DH＝y(tǒng)＝3x，
∴HG＝＝＝x，
∴＝＝，
故選：B．
12.△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC邊的長度．

【分析】過點(diǎn)A作 AD⊥BC，利用三角形的內(nèi)角和定理先求出∠DCA、∠BAD，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出CD、AD的長，最后利用等腰三角形的性質(zhì)、線段的和差關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：過點(diǎn)A作 AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D．
∵∠B＝45°，∠BAC＝15°，∠ADC＝90°，
∴∠DCA＝60°，∠BAD＝45°．
在Rt△ACD中，
∵cos∠DCA＝＝cos60°＝，
sin∠DCA＝＝sin60°＝，AC＝10，
∴CD＝5，AD＝5．
在Rt△ABD中，
∵∠BAD＝∠B，
∴BD＝AD＝5．
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣5．

13．臨海大橋主塔是一個軸對稱圖形（如圖所示），小明測得橋面寬度AB＝32米，∠OAB＝73°，求點(diǎn)O到橋面AB的距離．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin73°≈0.96，cos73°≈0.29，tan73°≈3.27）

【分析】過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D．根據(jù)大橋的軸對稱性，先確定△OAB是等腰三角形，再利用三線合一求出AD的長，最后求出OD的長．
【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D．
∵大橋主塔是一個軸對稱圖形，
∴OA＝OB．
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝16米．
∵tan∠OAB＝，
∴OD＝tan∠OAD×AD
＝tan73°×16
≈3.27×16
＝52.32
≈52.3（米）．
答：點(diǎn)O到橋面AB的距離為約52.3米．
14．大雁塔是西安市的標(biāo)志性建筑和著名古跡，是古城西安的象征．因此西安市徽中央所繪制的便是這座著名古塔．我校社會實(shí)踐小組為了測量大雁塔的高度AB，在地面上立兩根高為2m的標(biāo)桿CD和GH，兩桿之間的距離CG＝62米，點(diǎn)G、C、B成一線．從C處退行4米到點(diǎn)E處，人的眼睛貼著地面觀察A點(diǎn)，A、D、E三點(diǎn)成一線；從G處退行6米到點(diǎn)F處，從F觀察A點(diǎn)，A、F、H也成一線．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算大雁塔的高度AB．

【分析】設(shè)AH＝x，BH＝y(tǒng)，由題意可知兩組三角形相似，利用相似比找出關(guān)于x、y的方程組，即可求出大雁塔AB的高度．
【解答】解：設(shè)AB＝x，BC＝y(tǒng)，由題意可知，
△ABE∽△DCE，△ABF∽△HGF，
∴＝，＝，
∵CE＝4米，EB＝BC+CE＝（y+4）米，GF＝6米，F(xiàn)B＝CB+CG+FG＝y(tǒng)+62+6＝（y+68）米，CD＝GH＝2米，
代入比例式，得，
整理，得，
解得，
答：大雁塔AB的高度為64米．



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