湟川中學(xué)2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)情調(diào)研測試高二數(shù)學(xué)試題注 意 事 項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卡交回。2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置。3．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E為A1C1的中點，若=++，則（    ）．A．x＝1，， B．x＝1，，C．，y＝1， D．，y＝1，3．設(shè)非零向量，滿足，則A．⊥ B．C．∥ D．4．我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周牌算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、……《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著十分豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期．某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為．A． B． C． D．5．已知向量，，，則有（     ）．A．  B．C．  D． 6．已知，(0, π)，則=A．1 B． C． D．17．曲線在點處的切線的傾斜角為（     ）A． B． C． D．8．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為A．B．C．D．9．四面體中，，，，點在線段上，且，為中點，則為（    ）A． B． C． D．10．橢圓上一點關(guān)于原點的對稱點為，為其左焦點，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（    ）A． B． C． D．11．已知，若直線與直線平行，則它們之間的距離為（    ）A． B． C． D．或12．若圓上總存在兩個點到點的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．二、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知橢圓，過點作直線l交橢圓C于A，B兩點，且點P是AB的中點，則直線l的方程是__________.14．過點且與圓相切的直線的方程是______．15．已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓過焦點的弦，則的周長是___.16．已知P為圓上任意一點，A，B為直線上的兩個動點，且，則面積的最大值是___________．三、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．已知直線．（1）若，求實數(shù)a的值；（2）當時，求直線與之間的距離．18．在△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大??；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值19．如圖，已知正方體的棱長為2， E、F分別為、中點.(1)求證：;(2)求兩異面直線BD與所成角的大小.20．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，點是的中點．(1)求點D到平面AD1E的距離；(2)求證：平面AD1E⊥平面EBB1．21．某企業(yè)為了了解職工對某部門的服務(wù)情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示）：(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分的中位數(shù)與平均值；(3)從評分在 的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.22．如圖，已知橢圓的左、右頂點分別是，且經(jīng)過點， 直線 恒過定點且交橢圓于兩點，為的中點.(1)求橢圓的標準方程;(2)記的面積為S，求S的最大值.
數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標準1．C2．B3．A4．A5．C對于A，因為，，，所以，，所以，故A不正確；對于B，因為，，，所以，，所以，故B不正確；對于C，因為，，所以，又，所以，即，故C正確.對于D，因為，，，所以，，，所以，故D不正確.故選：C.6．A，，，即，故故選7．A根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到點處切線的斜率，再根據(jù)斜率求傾斜角即可.，所以在點處的切線的斜率為-1，傾斜角為.故選：A.8．A與直線垂直的直線為，即在某一點的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點的切線為，故選A9．C利用空間向量的線性運算及空間向量基本定理，結(jié)合圖像即可得解.解：根據(jù)題意可得，.故選：C.10．B確定四邊形為矩形，得到，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得到離心率范圍.設(shè)橢圓右焦點為，連接，，，則四邊形為矩形，則，故，，則，，.故選：B.11．A根據(jù)平行關(guān)系確定參數(shù)，結(jié)合平行線之間的距離公式即可得出．解：直線與直線平行，，解得或，又，所以，當時，直線與直線距離為.故選：A12．A將問題轉(zhuǎn)化為圓與相交，從而可得，進而可求出實數(shù)a的取值范圍.到點的距離為2的點在圓上，所以問題等價于圓上總存在兩個點也在圓上，即兩圓相交，故，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：A．13．設(shè)，，，，利用“點差法”、線段中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．解：設(shè)，，，，則，，．恰為線段的中點，即有，，，直線的斜率為，直線的方程為，即．由于在橢圓內(nèi)，故成立．故答案為：．14．或當直線斜率不存在時，可得直線，分析可得直線與圓相切，滿足題意，當直線斜率存在時，設(shè)斜率為k，可得直線l的方程，由題意可得圓心到直線的距離，即可求得k值，綜合即可得答案.當直線l的斜率不存在時，因為過點，所以直線，此時圓心到直線的距離為1=r，此時直線與圓相切，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，所以，即，因為直線l與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以直線l的方程為.綜上：直線的方程為或故答案為：或15．16根據(jù)橢圓的定義求解．由橢圓的定義知所以.故答案為：16．16．3直接利用直線和圓的位置關(guān)系，利用點到直線的距離公式和三角形的面積公式的應(yīng)用求出結(jié)果．解：根據(jù)圓的方程，圓心到直線的距離，所以圓上的點到直線的最大距離，此時最大面積．故答案為：．17．（1）；（2）．（1）由垂直可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程.（2）由平行可得兩直線系數(shù)關(guān)系，即可得關(guān)于實數(shù)a的方程，進而可求出兩直線的方程，結(jié)合直線的距離公式即可求出直線與之間的距離.（1）由知，解得．（2）當時，有，解得．此時，即，則直線與之間的距離．本題考查了由兩直線平行求參數(shù)，考查了由兩直線垂直求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）B=60°（2）（1)由正弦定理得【考點定位】本題主要考察三角形中的三角函數(shù)，由正余弦定理化簡求值是真理19．(1)見解析(2) （1）利用向量乘積為0證明即可；（2）利用向量法求異面直線所成的角.（1）如圖,建立空間直角坐標系則因為所以,即（2）設(shè)異面直線BD與所成角為,則所以,即異面直線BD與所成角的大小為20．(1);(2)證明過程見解析. （1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用點到平面距離公式求出答案；（2）利用空間向量的數(shù)量積為0證明出，從而證明出線面垂直，進而證明出面面垂直.（1）以D為坐標原點，分別以DA，DC，為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令得：，所以，則點D到平面AD1E的距離為；（2），所以，，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面⊥平面.21．(1)；(2)中位數(shù)為，均值為；(3) （1）根據(jù)頻率和為1可求頻率分布直方圖中a的值;（2）根據(jù)組中值可求平均值，根據(jù)前3組、前4組的頻率和可求中位數(shù).（3）利用古典概型的概率計算公式可求概率.（1）由直方圖可得，故.（2）由直方圖可得平均數(shù)為.前3組的頻率和為，前3組的頻率和為，故中位數(shù)在，設(shè)中位數(shù)為，則，故.故中位數(shù)為.（3）評分在 的受訪職工的人數(shù)為，其中評分在的受訪職工的人數(shù)為，記為在的受訪職工人數(shù)為，記為，從5人任取2人，所有的基本事件如下：，基本事件的總數(shù)為10，而2人評分都在的基本事件為，故2人評分都在的概率為.22．(1)(2) （1）由直線過定點坐標求得，再由橢圓所過點的坐標求得得橢圓方程；（2）設(shè)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達定理得，計算弦長，再求得到直線的距離，從而求得三角形面積，由函數(shù)的性質(zhì)求得最大值．（1）由題意可得，直線恒過定點，因為為的中點， 所以， 即.因為橢圓經(jīng)過點 ，所以 ， 解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè).由得 恒成立，則，則又因為點到直線的距離，所以令， 則，因為，時，，在上單調(diào)遞增，所以當時，時，故.即S的最大值為 .方法點睛：本題求橢圓的標準方程，直線與橢圓相交中三角形面積問題，計算量較大，屬于難題．解題方法一般是設(shè)出交點坐標，由（設(shè)出）直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達定理，然后由弦長公式求得弦長，再求得三角形的另一頂點到此直線的距離，從而求得三角形的面積，最后利用函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式等求得最值．
 

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