西寧市湟川中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題B（理科）注 意 事 項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。考試結(jié)束后，請將答題卡交回。2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置。3．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，B =∣,則A∩B=A． B．C． D．2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A．-1 B．0 C．1 D．3．“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知不等式組，表示的平面圖形為，則按斜二測畫法，平面圖形的直觀圖的面積為（    ）A． B． C． D．5．半徑為4，圓心角為的扇形的弧長為（    ）A． B． C． D．6．牛頓冷卻定律，即溫度高于周圍環(huán)境的物體向周圍媒質(zhì)傳遞熱量逐漸冷卻時所遵循的規(guī)律.如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，其中是環(huán)境溫度，h為常數(shù).現(xiàn)有一個105℃的物體，放在室溫15℃的環(huán)境中，該物體溫度降至75℃大約用時1分鐘，那么再經(jīng)過m分鐘后，該物體的溫度降至30℃，則m的值約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，）A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.47．如圖所示的程序框圖中，要想使輸入的值與輸出的值相等， 輸入的值應(yīng)為 （ ）A．1 B．3 C．1或3 D．0或38．已知等差數(shù)列中，，是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，則的前項和等于A． B． C． D．9．已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為4，點(diǎn)，在拋物線C上，若，則（    ）．A．4 B．2 C． D．10．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是（    ）A．5 B．8 C． D．11．從正方體的個頂點(diǎn)和中心中任選個，則這個點(diǎn)恰好構(gòu)成三棱錐的概率為（    ）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則A．有個零點(diǎn) B．在上為減函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．有個極值點(diǎn)二、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．展開式中的常數(shù)項為______．14．若是正實數(shù)，且，則的最小值為______．15．如圖，在中，兩條直角邊分別為，，為內(nèi)一點(diǎn)，，若，則__________．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長為4，，點(diǎn)是正方形邊上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，直線的方程為______. 三、解答題；本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．在中，角所對的邊分別為．已知，,．(1)求b的值；(2)求的值．18．有3名志愿者在2022年10月1號至10月5號期間參加核酸檢測工作．(1)若每名志愿者在這5天中任選一天參加核酸檢測工作，且各志愿者的選擇互不影響，求3名志愿者恰好連續(xù)3天參加核酸檢測工作的概率；(2)若每名志愿者在這5天中任選兩天參加核酸檢測工作，且各志愿者的選擇互不影響，記表示這3名志愿者在10月1號參加核酸檢測工作的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．如圖，直四棱柱的底面是邊長為的菱形，且.(1)證明：平面平面；(2)若平面平面，求與平面所成角的正弦值.20．求實數(shù)a的取值范圍，使得對于任意，恒有.21．已知函數(shù)和有相同的極小值.(1)求；(2)證明：若函數(shù)和共有四個不同的零點(diǎn)，記為，且，則.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，的極坐標(biāo)方程分別為，，交曲線E于點(diǎn)A，B，交曲線E于點(diǎn)C，D.(1)求曲線E的普通方程及極坐標(biāo)方程；(2)求證：為定值.23．已知函數(shù)，，且的解集為（1）求的值；（2）若，且，求證
數(shù)學(xué)試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)1．A2．C3．B4．A5．C6．B7．D8．C9．A10．C11．D12．B13．24014．15．16．17．(1)；(2)3（1）利用題意首先求得，然后結(jié)合正弦定理可得．   （2）首先求得，然后結(jié)合兩角和差的正切公式可得的值．（1）法一：因為，，所以，,所以，又因為，，,所以．           法二：在中，，,，        又，即，所以，所以．（2）由（1）得，， 所以，  所以，      所以．18．(1)(2)分布列見解析， （1）先利用計數(shù)原理、排列知識得到所有結(jié)果數(shù)和滿足要求的結(jié)果數(shù)，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（2）先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，利用組合知識、古典概型的概率得到每個變量對應(yīng)的概率，列表得到分布列，進(jìn)而求出期望.（1）3名志愿者每人任選一天參加核酸檢測，共有種不同的結(jié)果，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等．設(shè)“3名志愿者恰好連續(xù)3天參加核酸檢測工作”為事件A，則該事件共包括不同的結(jié)果．所以．（2）的可能取值為0、1、2、3，，，，，0123P .19．(1)證明見解析；(2). （1）利用菱形的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）根據(jù)給定條件，求出，再作出直線與平面所成的角，在直角三角形中計算作答.（1）在直四棱柱中，平面，平面，則，四邊形為菱形，則，而，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.（2）令，連接，如圖，平面，平面，則，由（1）知，，平面，因此平面，又平面，于是得，而平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，有，即，菱形中，，，則，，令，則，由得，令，連，過M作交于N，則有平面，連，則是直線與平面所成的角，，顯然，則，又，因此，，所以與平面所成角的正弦值是.思路點(diǎn)睛：定義法求直線與平面所成的角，先找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；再計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．20．或.注意到條件中有平方和關(guān)系，故可以利用幾何意義，轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的距離問題解決.解：原不等式可看作點(diǎn)與直線l：上任意一點(diǎn)距離的平方大于等于.由點(diǎn)P到直線l距離公式得.得到令，則原不等式可化為，整理得：，等價于或，故或，而當(dāng)時，，設(shè)，則，在上遞減，則最值在端點(diǎn)處取得，于是 ，類似的辦法可求出，由不等式的恒成立問題可得，或，于是t的取值范圍求得或21．(1)(2)證明見解析 （1）對與分別利用導(dǎo)數(shù)求出各自的極小值即可求出.（2）通過數(shù)形結(jié)合分析可知，得，和，從而得到.（1）因為函數(shù)和所以若，函數(shù)和沒有相同的極小值，故.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值因為函數(shù)和有相同的最小值，所以，即，解得：.所以滿足題意.（2）函數(shù)和共有四個不同的零點(diǎn)等價于方程存在4個不同的實數(shù)根，記為，且.由圖可知： ①因為所以得同理得，代入①式得：，函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．22．(1)；(2)證明過程見解析. （1）運(yùn)用相除法和代入法進(jìn)行消參，再利用極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.(1)，得：，代入中，得：，由于，且，所以；由，極坐標(biāo)方程為．(2)依題意得：，所以，，將，，代入，設(shè)點(diǎn)、、、、對應(yīng)的極徑為，，，；故，，，；所以：（定值）．23．（1）1；（2）見解析（1）由條件可得，故有的解集為，即的解集為，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)利用基本不等式即可得結(jié)果.（1）函數(shù)，，故，由題意可得的解集為，即的解集為，故．（2）由，，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．所以.本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)的值域，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．
 

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