西寧市湟川中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題A（理科）注 意 事 項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘。考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在答題卡的規(guī)定位置。3．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。作答非選擇題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效。一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．給出如下數(shù)據(jù)：第一組：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二組：12，20，14，22，16，11，15，17，18，則下列結(jié)論：①這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等；②這兩組數(shù)據(jù)的極差相等；③這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等；④這兩組數(shù)據(jù)的方差相等.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（    ）A．①② B．①④ C．②③ D．②④3．設(shè)全集，集合，則A． B．C． D．4．已知向量，，滿足，，，，則，的夾角等于（    ）A．30° B．60° C．120° D．150°5．已知函數(shù)的定義域是A． B． C． D．R6．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且滿足f（x）=x2+f'（2）lnx，則f'（2）的值為（    ）A．6 B．7 C．8 D．97．棱長(zhǎng)為2的直平行六面體，，則與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．8．若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為（    ）．A． B． C． D．9．已知某圓柱的底面積為，高為4，某母線長(zhǎng)為8的圓錐的側(cè)面積恰好與該圓柱的側(cè)面積相等，則此圓錐的體積為（    ）A． B．C． D．10．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（    ）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，若方程在上有且只有五個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（   ）A． B． C． D．12．若，，，則（    ）A． B． C． D．二、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若成等比數(shù)列，且，則的值是____.14．若圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，則實(shí)數(shù)m的值為___________.15．從一個(gè)放有兩個(gè)白球、兩個(gè)黑球的罐子中任意摸兩個(gè)球，則至少摸到一個(gè)黑球的概率是__________.16．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），則的周長(zhǎng)的最大值為于______．三、解答題；本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對(duì)角線BD把△ABD折起，使A移到A1點(diǎn)，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求證：BC⊥A1D；（Ⅱ）求證：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離．19．已知向量，，若函數(shù)，則(Ⅰ)求函數(shù)的最小正周期；(Ⅱ)將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．某工廠生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品都需經(jīng)過(guò)兩道工序加工而成，且兩道工序的加工結(jié)果均有兩個(gè)等級(jí).當(dāng)兩道工序的加工結(jié)果都為級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品．已知兩種不同的產(chǎn)品之間及其每一道工序的加工結(jié)果都相互獨(dú)立，且加工結(jié)果為級(jí)的概率如表一所示．(1)從甲、乙產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取二件，求至少有一件為一等品的概率；(2)某商家計(jì)劃按表二所示的統(tǒng)一售價(jià)經(jīng)銷甲、乙兩產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，每件產(chǎn)品的經(jīng)銷成本均為10元，且甲，乙產(chǎn)品均能按表二售價(jià)售出．（ⅰ）用表示經(jīng)銷一件甲產(chǎn)品的利潤(rùn)，求的分布列和期望；（ⅱ）該商家擬投資不超過(guò)100元用于經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種產(chǎn)品，要確保資金虧損不超過(guò)14元，請(qǐng)你根據(jù)以上信息制定一個(gè)最大盈利的投資計(jì)劃（甲、乙兩種產(chǎn)品各應(yīng)銷售多少元）.注：產(chǎn)品銷售的盈利率＝（正值表示盈利率，負(fù)值表示虧損率）．21．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F距離是.（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)F的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，是否存在一個(gè)定圓恒以AB為直徑的圓內(nèi)切，若存在，求該定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．已知圓：，直線：，點(diǎn)．(1)判斷直線與圓的位置關(guān)系；(2)設(shè)直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，若，求直線的方程．23．由，，，，，，，，，按任意順序組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的數(shù)組，記為，設(shè)，其中．(1)若，求的值；(2)求證：；(3)求的最大值．
數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1．D2．D3．C4．C5．C6．C7．D8．C9．C10．D11．C12．A13． 14．915．16．17．(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）待定系數(shù)法求解出的首項(xiàng)和等差，進(jìn)而求出，從而計(jì)算出，得到結(jié)論；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，利用等差數(shù)列求和公式求解.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則．因?yàn)?/span>，，所以，解得:，．所以．因?yàn)?/span>，又，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為．（2）由等差數(shù)列求和公式可知：.18．（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）．試題分析：（Ⅰ）由線面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能證明BC⊥A1D．（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能證明平面A1BC⊥平面A1BD．（Ⅲ）由=，能求出點(diǎn)C到平面A1BD的距離．證明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，∴A1D⊥平面A1BC，又∵A1D?平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD．解：（Ⅲ）設(shè)C到平面A1BD的距離為h，∵=，∴=，又∵=S△DBC，，∴．∴點(diǎn)C到平面A1BD的距離為．考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；平面與平面垂直的判定．19．（Ⅰ）函數(shù)的最小正周期為（Ⅱ）(Ⅰ)整理函數(shù)的解析式為的形式，由函數(shù)的解析式即可確定函數(shù)的最小正周期；(Ⅱ)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，結(jié)合三角函數(shù)的圖像即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.（Ⅰ）函數(shù) ..函數(shù)的最小正周期為．（Ⅱ）依題意將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù) 函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與在有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：所以，即，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.本題主要考查輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的最小正周期公式，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20．(1)(2)（ⅰ）見(jiàn)解析；（ⅱ）分別投資40元、60元用于經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種產(chǎn)品 （1）利用對(duì)立事件概率求至少型概率，即，；（2）（ⅰ）先確定隨機(jī)變量的取值，再分別求概率．列表可得分布列，根據(jù)公式求數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）根據(jù)條件列可行域及目標(biāo)函數(shù)，畫(huà)可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)直線平移，確定最大值取法，解方程組可得最優(yōu)解，即為投資計(jì)劃.（1）解：生產(chǎn)出的甲產(chǎn)品、乙產(chǎn)品為一等品的概率分別記為，，則，記“隨機(jī)抽取的四件產(chǎn)品中至少有一件一等品”為事件，則表示抽取的四件產(chǎn)品均為二等品，所以，，所以隨機(jī)抽取的四件產(chǎn)品中至少有一件一等品的概率為；（2）解：（ⅰ）隨機(jī)變量的取值為3元和元，由（1）得，所以分布列為：3 所以（元）；（ⅱ）設(shè)分別用元、元投資甲、乙兩種產(chǎn)品，獲利元，因?yàn)?/span>，，，，所以經(jīng)銷甲、乙兩種產(chǎn)品可能的最大盈利率分別為和，最大虧損率分別為和，依題意得，即，盈利的目標(biāo)函數(shù)（元）．作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由解得，結(jié)合圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，最大，且（元）．所以該商家應(yīng)分別投資40元、60元用于經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種產(chǎn)品，才能在確保虧損不超過(guò)14元的前提下使可能的收益最大．21．（1）；（2）存在定圓恒與以AB為直徑的圓內(nèi)切.（1）根據(jù)拋物線的定義，由，列出方程求解的值，從而確定拋物線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出及的長(zhǎng)，假設(shè)存在圓，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件求出的值，即可確定圓的方程；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證成立，最后得到結(jié)論即可.（1）由拋物線的定義得,又，所以，解得：. 點(diǎn)M在拋物線上，解得,所以拋物線方程為.(2)當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)l與拋物線交于點(diǎn)，聯(lián)立化簡(jiǎn)得 顯然，設(shè)A,B的中點(diǎn)為M，則 ，假設(shè)定圓存在，設(shè)定圓的方程為又兩圓內(nèi)切可得整理得：得 定圓的方程為當(dāng)直線斜率不存在，則以A,B為直徑的圓的方程為該圓也與定圓內(nèi)切綜上存在定圓恒與以AB為直徑的圓內(nèi)切.22．(1)相交(2)(3)或 （1）先求出動(dòng)直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)和圓的位置關(guān)系即可；（2）連接圓心和弦的中點(diǎn)，利用垂徑定理找出幾何關(guān)系來(lái)解決；（3）聯(lián)立直線和圓的方程，利用韋達(dá)定理來(lái)解決.（1）因?yàn)橹本€：過(guò)定點(diǎn)，又，所以在圓內(nèi)，所以直線與圓相交；（2）設(shè)，當(dāng)與不重合，即時(shí)，連接，，則，根據(jù)勾股定理．則，化簡(jiǎn)得：（）；當(dāng)與重合時(shí)，，也滿足上式，故弦的中點(diǎn)的軌跡方程為；（3）設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，所以，化簡(jiǎn)得． ①又消去并整理得，所以②，． ③由①②③聯(lián)立，解得，所以直線的方程為或．23．(1)57(2)證明見(jiàn)解析(3)131 （1）把數(shù)據(jù)逐個(gè)代入，求解可得答案；（2）利用絕對(duì)值和的性質(zhì)進(jìn)行求解；（3）先求這10個(gè)數(shù)的2倍和3倍數(shù)，相對(duì)較大的10個(gè)數(shù)與較小10個(gè)數(shù)差為最大值.（1）因?yàn)?/span>，所以.（2）證明：因?yàn)?/span>.（3），，，，，，，，，的2倍與3倍共20個(gè)數(shù)如下：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.其中較大的10個(gè)數(shù)之和為203，較小的10個(gè)數(shù)之和為72，所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為. 
 

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