絕密★啟用前|滿分?jǐn)?shù)學(xué)命制中心2022-2023學(xué)年上學(xué)期 期末模擬測(cè)試卷（B卷 能力版）高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘  試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：人教A版2019 必修1（新教材）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別化簡(jiǎn)集合與，再求交集即可.【詳解】由得，由的 所以，，則故選：A2．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷出正確答案.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，且為定義域上的增函數(shù)，，，故零點(diǎn)所在區(qū)間是.故選：B3．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）已知扇形的周長(zhǎng)為16cm，圓心角為2弧度，則此扇形的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弧長(zhǎng)公式、扇形的面積計(jì)算公式即可得出．【詳解】設(shè)此扇形半徑為，扇形弧長(zhǎng)為則，，∴扇形的面積為故選：A.4．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）設(shè)，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用“”分段法比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】，，所以.故選：C5．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）已知函數(shù)(，，)的部分圖象如圖所示，則的解析式是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖象，依次求得的值.【詳解】由圖象可知，，所以，依題意，則，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.6．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（    ）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】由條件可得是以4為周期的周期函數(shù)，然后可求出答案.【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)滿足，所以所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)所以故選：C7．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為則函數(shù)的最小值為（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先利用平方差公式、同角三角函數(shù)關(guān)系以及二倍角公式將函數(shù)變形為，然后發(fā)現(xiàn)區(qū)間長(zhǎng)度剛好是四分之一個(gè)周期，從而利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性，得到當(dāng)區(qū)間，關(guān)于的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，此時(shí)最大值與最小值的差值最小，求出此時(shí)的最大值和最小值，即可得到答案．【詳解】函數(shù)，所以函數(shù)的周期為，區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度剛好是函數(shù)的四分之一個(gè)周期，因?yàn)?/span>在區(qū)間上的最大值為，最小值為，由函數(shù)的對(duì)稱性可知，當(dāng)區(qū)間，關(guān)于的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，此時(shí)最大值與最小值的差值最小，即函數(shù)取最小值，區(qū)間，的中點(diǎn)為，此時(shí)取得最值±1，不妨取得最大值，則有，解得，所以所以,故取最小值為．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的最值，涉及了二倍角公式的應(yīng)用、同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用、三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析出當(dāng)區(qū)間關(guān)于的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，此時(shí)最大值與最小值的差值最小.8．（2021·天津·靜海一中高一期末）設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則A． B． C． D．或【答案】B【分析】因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以在也是單調(diào)遞增，且，解不等式組，即可得到本題答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，此時(shí)在上單調(diào)遞增，且需滿足，得；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，此時(shí)在上單調(diào)遞增，且需滿足，得；綜上得，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，涉及到分類討論的方法.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）9．（2021·廣東·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，既為奇函數(shù)又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】分別利用奇偶性的定義判斷每個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性，對(duì)于符合奇函數(shù)的選項(xiàng)再接著判斷其單調(diào)性即可.【詳解】四個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱A：記，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又因?yàn)?/span>是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以是增函數(shù)，符合題意；B：記，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意；C：記，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)是增函數(shù)，符合題意；D：記，則，所以函數(shù)為偶函數(shù).故選：AC10．（2021·河北·石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是B．函數(shù)的值域是RC．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱D．不等式的解集是【答案】BCD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，值域，對(duì)稱性，及解對(duì)數(shù)不等式，依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A:因?yàn)?/span>為增函數(shù),所以求的單調(diào)遞增區(qū)間即求的單調(diào)遞增區(qū)間,即.又對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域有,解得.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域解得：，則，由于，所以，即函數(shù)的值域是，B正確；對(duì)于C: ,關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D: ,即，解得：，故D正確；故選：BCD.11．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)的初相為B．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則C．若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則可以為D．將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到的新函數(shù)是偶函數(shù)，則可以為2023【答案】AB【分析】根據(jù)選項(xiàng)條件一一判斷即可得結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)：函數(shù)的初相為，正確；B選項(xiàng)：若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，，所以，，又因?yàn)?/span>，則，正確；C選項(xiàng)：若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以 故不可以為，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到是偶函數(shù)，則，所以故不是整數(shù)，則不可以為2023，錯(cuò)誤；故選：AB【點(diǎn)睛】掌握三角函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12．（2021·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．C． D．的最小值為10【答案】ACD【分析】畫出的圖象，結(jié)合圖象求得的取值范圍，利用特殊值確定B選項(xiàng)錯(cuò)誤，利用基本不等式確定CD選項(xiàng)正確.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，由于關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，，，，由圖可知，故A選項(xiàng)正確.由圖可知關(guān)于直線對(duì)稱，故，由解得或，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.令，，，，是此方程的解，所以，或，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D選項(xiàng)正確.由圖象可知，，，，由，解得或，由，解得或，所以，①.令或，所以①的等號(hào)不成立，即，故C選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，可考慮結(jié)合圖象來(lái)求解.求解不等式、最值有關(guān)的問(wèn)題，可考慮利用基本不等式來(lái)求解第Ⅱ卷三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）___________.【答案】【分析】結(jié)合指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算，化簡(jiǎn)求得表達(dá)的值.【詳解】原式.故答案為：14．（2021·天津·靜海一中高一期末）用長(zhǎng)為的鐵絲圍成半徑為的扇形，則扇形的中心角為__________弧度.【答案】1【分析】扇形周長(zhǎng)為兩個(gè)半徑長(zhǎng)度與弧長(zhǎng)的和，利用已知求出弧長(zhǎng)，再利用弧度數(shù)即中心角為弧長(zhǎng)除以半徑，計(jì)算得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)榘霃綖?/span>，扇形周長(zhǎng)為，所以弧長(zhǎng)為，因此弧度數(shù)為: 1.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2021·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第九中學(xué)高一階段練習(xí)）若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是__________．【答案】5【分析】先由條件得，再利用1的代換以及基本不等式求最值.【詳解】由條件，兩邊同時(shí)除以，得到，那么等號(hào)成立的條件是，即，即.所以的最小值是5，故答案為： 5 ．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方，這時(shí)改用勾型函數(shù)的單調(diào)性求最值.16．（2021·天津·靜海一中高一期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】可得時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，所以只需要當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根，利用“分離參數(shù)法”求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)，所以只需要當(dāng)時(shí)，有一個(gè)根即可，即有一根,當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，所以，即，故答案為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)，求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．    四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）解一元二次方程，結(jié)合角的范圍求解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，弦化切即可求解.【詳解】（1）由題意可得：，或，又，，，（2）原式.18．（2021·湖南·明達(dá)中學(xué)高一期末）若，.（Ⅰ）若的解集為，求的值；（Ⅱ）求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.【分析】（Ⅰ），1為方程的兩個(gè)根，用韋達(dá)定理構(gòu)建方程解出來(lái)即可.（Ⅱ），分、、、和五種情況討論即可【詳解】（Ⅰ）的解集為，，1是的解..解得：（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式的解為，解集為當(dāng)時(shí)，分解因式的根為，.當(dāng)時(shí)，，不等式的解為或；解集為.當(dāng)時(shí)，，不等式的解為；解集為.當(dāng)時(shí)，，不等式的解為；等式的解集為.當(dāng)時(shí)，原不等式為，不等式的解集為.綜上：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.19．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）先將函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖像.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，滿足，且，設(shè)，求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形可得，再由三角函數(shù)圖像變換規(guī)律可求出的解析式；（2）由已知條件可得，，則可得，然后令，則，從而可求出其最值【詳解】（1）原函數(shù)化簡(jiǎn)得到，將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，可得，再將的圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到所以.（2）由題意知，因?yàn)?/span>所以，解得，則有：.令，，則對(duì)稱軸為.所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角恒等變換公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)圖像變換規(guī)律，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是由求出，再對(duì)兩邊取余弦化簡(jiǎn)可求出，從而可對(duì)化簡(jiǎn)可得，再利用換元法可求得結(jié)果，屬于中檔題20．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，（1）利用周期公式求解；（2）利用換元法或整體代換法求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用換元法求判斷函數(shù)單調(diào)性，并求值域.【詳解】解：（Ⅰ），；（Ⅱ）法一：令；則.，的單調(diào)增區(qū)間為.，解得.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.法二：，，畫數(shù)軸與所有區(qū)間取交集可知：.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn).解得：..，，當(dāng)單調(diào)遞減區(qū)間為.，解得在區(qū)間上為減函數(shù).函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間，，.函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>.【點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)，求最小正周期和最值時(shí)可先把所給三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，則最小正周期為，最大值為，最小值為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為y＝Asin ωx或y＝Acos ωx的形式．21．（2020·天津西青·高一期末）已知函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.（Ⅰ）求定點(diǎn)并證明函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（Ⅲ）解不等式.【答案】（Ⅰ）定點(diǎn)為，奇函數(shù)，證明見解析；（Ⅱ）在上單調(diào)遞增，證明見解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)解析式可求得定點(diǎn)為，即可得的解析式，根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可得證；（Ⅱ）利用定義法即可證明的單調(diào)性；（Ⅲ）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，化簡(jiǎn)整理，可得，根據(jù)函數(shù)的定義域，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為，，定義域?yàn)?/span>，.函數(shù)為奇函數(shù).（Ⅱ）在上單調(diào)遞增.證明：任取，且，則.，，，，，即，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（Ⅲ），即，函數(shù)為奇函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，， ，解得：.故不等式的解集為：【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義，并靈活應(yīng)用，在處理單調(diào)性、奇偶性綜合問(wèn)題時(shí)，需要注意函數(shù)所有的自變量都要在定義域內(nèi)，方可求得正確答案.22．（2021·重慶南開中學(xué)高一期末）2020年12月17日凌晨，經(jīng)過(guò)23天的月球采樣旅行，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品成功著陸預(yù)定區(qū)域，我國(guó)首次對(duì)外天體無(wú)人采樣返回任務(wù)取得圓滿成功，成為時(shí)隔40多年來(lái)首個(gè)完成落月采樣并返回地球的國(guó)家，標(biāo)志著我國(guó)探月工程“繞，落，回”圓滿收官.近年來(lái)，得益于我國(guó)先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)，我國(guó)在航天領(lǐng)域取得了巨大成就.據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度，其中是噴流相對(duì)速度，是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，從稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對(duì)速度為.（1）當(dāng)總質(zhì)比為200時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；（2）經(jīng)過(guò)材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對(duì)速度提高到了原來(lái)的倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)值.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】（1）；（2）在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)為74.【分析】（1）代入公式中直接計(jì)算即可（2）由題意得，，則，求出的范圍即可【詳解】（1），（2），.因?yàn)橐够鸺淖畲笏俣戎辽僭黾?/span>，所以，即：，所以，即，所以，因?yàn)?/span>，所以.所以在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前總質(zhì)比的最小整數(shù)為74.【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，列出不等式，屬于中檔題 

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