課時(shí)作業(yè)14　萬(wàn)有引力與航天(一)時(shí)間：45分鐘1．地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑在天文學(xué)上常用來(lái)作為長(zhǎng)度單位，叫做天文單位，用來(lái)量度太陽(yáng)系內(nèi)天體與太陽(yáng)的距離．已知木星公轉(zhuǎn)的軌道半徑約5.0天文單位，請(qǐng)估算木星公轉(zhuǎn)的周期約為地球年(　C　)A．3年   B．5年C．11年   D．25年解析：根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，有：＝，故T木＝T地 ＝×1年≈11年，C正確．2．科學(xué)家發(fā)現(xiàn)太陽(yáng)系外某一恒星有一行星，并測(cè)得它圍繞該恒星運(yùn)行一周所用的時(shí)間為1 200年，它與該恒星的距離為地球到太陽(yáng)距離的100倍．假設(shè)該行星繞恒星運(yùn)行的軌道和地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道都是圓，僅利用以上兩個(gè)數(shù)據(jù)可以求出的量是(　A　)A．該恒星與太陽(yáng)的質(zhì)量之比B．該恒星與太陽(yáng)的密度之比C．該行星與地球的質(zhì)量之比D．該行星與地球表面的重力加速度之比解析：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得G＝m2r，解得M＝，所以可求出該恒星與太陽(yáng)的質(zhì)量之比，故A正確；由于不知該恒星與太陽(yáng)的半徑之比，所以不能求出該恒星與太陽(yáng)的密度之比，故B錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力可得G＝m2r，解得的M是中心天體的質(zhì)量，所以不能求出該行星與地球的質(zhì)量之比，故C錯(cuò)誤；根據(jù)公式mg＝可知g＝，由于不知該行星與地球的半徑及質(zhì)量關(guān)系，所以不能求出該行星與地球表面的重力加速度之比，故D錯(cuò)誤．3．1789年英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許測(cè)出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”．若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間為T1(地球自轉(zhuǎn)周期)，一年的時(shí)間為T2(地球公轉(zhuǎn)周期)，地球中心到月球中心的距離為L1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離為L2，則下列說(shuō)法正確的是(　B　)A．地球的質(zhì)量m地＝B．太陽(yáng)的質(zhì)量m太＝C．月球的質(zhì)量m月＝D．由題中數(shù)據(jù)可求月球、地球及太陽(yáng)的密度解析：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，根據(jù)地球表面萬(wàn)有引力等于重力，有＝mg，則m地＝，故A錯(cuò)誤；根據(jù)太陽(yáng)對(duì)地球的萬(wàn)有引力提供向心力，有＝m地L2，則m太＝，故B正確；由題中數(shù)據(jù)無(wú)法求出月球的質(zhì)量，也無(wú)法求出月球的密度，故C、D錯(cuò)誤．4．“玉兔號(hào)”月球車與月球表面接觸的第一步實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人“奔月”的偉大夢(mèng)想．若“玉兔號(hào)”月球車在月球表面做了一個(gè)自由落體實(shí)驗(yàn)，測(cè)得物體從靜止自由下落h高度的時(shí)間t.已知月球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G，則(　D　)A．月球表面重力加速度為B．月球第一宇宙速度為C．月球質(zhì)量為D．月球同步衛(wèi)星離月球表面高度為－R解析：由自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律得h＝gt2，所以g＝，故A錯(cuò)誤；月球的第一宇宙速度為近月衛(wèi)星的運(yùn)行速度，根據(jù)重力提供向心力得mg＝m，所以v1＝＝，故B錯(cuò)誤；在月球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，即mg＝G，所以M＝＝，故C錯(cuò)誤；月球同步衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得G＝m(R＋h)2，解得h＝－R，故D正確．5．(多選)公元2100年，航天員準(zhǔn)備登陸木星，為了更準(zhǔn)確了解木星的一些信息，到木星之前做一些科學(xué)實(shí)驗(yàn)，當(dāng)?shù)竭_(dá)與木星表面相對(duì)靜止時(shí)，航天員對(duì)木星表面發(fā)射一束激光，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，收到激光傳回的信號(hào)，測(cè)得相鄰兩次看到日出的時(shí)間間隔是T，測(cè)得航天員所在航天器的速度為v，已知引力常量G，激光的速度為c，則(　AD　)A．木星的質(zhì)量M＝B．木星的質(zhì)量M＝C．木星的質(zhì)量M＝D．根據(jù)題目所給條件，可以求出木星的密度解析：航天器的軌道半徑r＝，木星的半徑R＝－，木星的質(zhì)量M＝＝，知道木星的質(zhì)量和半徑，可以求出木星的密度，故A、D正確，B、C錯(cuò)誤．6．2012年7月，一個(gè)國(guó)際研究小組借助于智利的甚大望遠(yuǎn)鏡，觀測(cè)到了一組雙星系統(tǒng)，它們繞兩者連線上的某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．此雙星系統(tǒng)中體積較小成員能“吸食”另一顆體積較大星體的表面物質(zhì)，達(dá)到質(zhì)量轉(zhuǎn)移的目的，假設(shè)在演變的過(guò)程中兩者球心之間的距離保持不變，則在最初演變的過(guò)程中(　C　)A．它們做圓周運(yùn)動(dòng)的萬(wàn)有引力保持不變B．它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度不斷變大C．體積較大星體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大，線速度也變大D．體積較大星體圓周運(yùn)動(dòng)軌跡半徑變大，線速度變小解析：對(duì)雙星M1、M2，設(shè)距離為L，圓周運(yùn)動(dòng)半徑分別為r1、r2，它們做圓周運(yùn)動(dòng)的萬(wàn)有引力為F＝G，距離L不變，M1與M2之和不變，其乘積大小變化，則它們的萬(wàn)有引力發(fā)生變化，A錯(cuò)；依題意雙星系統(tǒng)繞兩者連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期和角速度相同，由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律：G＝M1ω2r1，G＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝，M1r1＝M2r2，由此可知ω不變，質(zhì)量比等于圓周運(yùn)動(dòng)半徑的反比，故體積較大的星體因質(zhì)量減小，其軌道半徑將增大，線速度也增大，B、D錯(cuò)，C對(duì)．7．牛頓思考月球繞地球運(yùn)行的原因時(shí)，蘋(píng)果偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力與拉著蘋(píng)果下落的力，是否都與太陽(yáng)吸引行星的力性質(zhì)相同，遵循著統(tǒng)一的規(guī)律——二次方反比規(guī)律？因此，牛頓開(kāi)始了著名的“月—地檢驗(yàn)”．(1)已知月球與地球的距離約為地球半徑的60倍，如果牛頓的猜想正確，請(qǐng)你據(jù)此計(jì)算月球公轉(zhuǎn)的向心加速度a和蘋(píng)果下落的加速度g的比值；(2)在牛頓的時(shí)代，月球與地球的距離r、月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期T等都能比較精確地測(cè)定，請(qǐng)你據(jù)此寫(xiě)出計(jì)算月球公轉(zhuǎn)的向心加速度a的表達(dá)式；已知r≈3.84×108 m，T≈2.36×106 s，地面附近的重力加速度g取9.80 m/s2，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)估算比值；與(1)中的結(jié)果相比較，你能得出什么結(jié)論？解析：(1)設(shè)月球的質(zhì)量為m月，地球質(zhì)量為M，根據(jù)牛頓第二定律有G＝m月a設(shè)蘋(píng)果的質(zhì)量為m，地球半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律有G＝mg由題意知r＝60R　聯(lián)立可得＝(2)由向心加速度的表達(dá)式得a＝　其中v＝聯(lián)立可得a＝r　代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得≈比較(1)中的結(jié)果，二者近似相等，由此可以得出結(jié)論：牛頓的猜想是正確的，即地球?qū)υ虑虻囊Γ孛嫔衔矬w的重力，都與太陽(yáng)吸引行星的力性質(zhì)相同，遵循著統(tǒng)一的規(guī)律——二次方反比規(guī)律．答案：(1)　(2)見(jiàn)解析8．(2019·遼寧模擬)地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a；假設(shè)月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r1，向心加速度為a1.已知引力常量為G，地球半徑為R.下列說(shuō)法中正確的是(　A　)A．地球質(zhì)量M＝B．地球質(zhì)量M＝C．地球赤道表面處的重力加速度g＝－aD．加速度之比＝解析：月球圍繞地球轉(zhuǎn)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有＝ma1，得地球質(zhì)量M＝，A正確，B錯(cuò)誤；在赤道處的物體，G－mg＝ma，解得g＝－a，C錯(cuò)誤；對(duì)月球有＝ma1，對(duì)地球赤道上的物體有G－mg＝ma，≠，D錯(cuò)誤，故選A.9．(2019·江西贛州聯(lián)考)(多選)太陽(yáng)系中某行星運(yùn)行的軌道半徑為R0，周期為T0，但天文學(xué)家在長(zhǎng)期觀測(cè)中發(fā)現(xiàn)，其實(shí)際運(yùn)行的軌道總是存在一些偏離，且周期性地每隔t0時(shí)間發(fā)生一次最大的偏離(行星仍然近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng))．天文學(xué)家認(rèn)為形成這種現(xiàn)象的原因可能是該行星外側(cè)還存在著一顆未知行星．假設(shè)兩行星的運(yùn)行軌道在同一平面內(nèi)，且繞行方向相同，則這顆未知行星運(yùn)行軌道的半徑R和周期T是(認(rèn)為未知行星近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng))(　BC　)A．T＝   B．T＝T0C．R＝R0   D．R＝R0解析：行星的運(yùn)行軌道發(fā)生最大偏離時(shí)，兩行星與太陽(yáng)在同一直線上且位于太陽(yáng)同一側(cè)，則有t0－t0＝2π，解得未知行星的運(yùn)行周期T＝T0，故B正確，A錯(cuò)誤．由開(kāi)普勒第三定律有＝，解得R＝R0，故C正確，D錯(cuò)誤．10．設(shè)地球是一質(zhì)量分布均勻的球體，O為地心．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零．在下列四個(gè)圖中，能正確描述x軸上各點(diǎn)的重力加速度g的分布情況的是(　A　)解析：設(shè)地球的密度為ρ，在地球表面，重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，有mg＝，即g＝，由于地球的質(zhì)量M＝πR3ρ，所以地球表面重力加速度的表達(dá)式可寫(xiě)成g＝.根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為R-x的井底，物體受到地球的萬(wàn)有引力即為半徑等于x的球體在其表面產(chǎn)生的萬(wàn)有引力，g＝x，即當(dāng)x<R時(shí)，g與x成正比；當(dāng)x>R時(shí)，g＝，g與x平方成反比，故A正確．11．宇宙中有兩顆相距無(wú)限遠(yuǎn)的恒星s1、s2，半徑均為R0.下圖分別是兩顆恒星周圍行星的公轉(zhuǎn)周期T2與公轉(zhuǎn)半徑r3的關(guān)系圖象，則(　B　)A．恒星s1的質(zhì)量大于恒星s2的質(zhì)量B．恒星s1的密度小于恒星s2的密度C．恒星s1的第一宇宙速度大于恒星s2的第一宇宙速度D．距兩恒星表面高度相同的行星，s1的行星向心加速度較大解析：根據(jù)公式G＝mr得M＝，越大，M越大，由題圖可以看出s2的質(zhì)量大于s1的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤；兩顆恒星的半徑相等，則它們的體積相等，根據(jù)M＝ρV，所以質(zhì)量大的s2密度大，故B正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，則G＝m，所以v＝，由于恒星s1的質(zhì)量小于恒星s2的質(zhì)量，所以恒星s1的第一宇宙速度小于恒星s2的第一宇宙速度，故C錯(cuò)誤；距兩恒星表面高度相同的行星，它們的軌道半徑相等，它們的向心加速度a＝，所以s1的行星向心加速度較小，故D錯(cuò)誤．12．由于地球的自轉(zhuǎn)，物體在地球上不同緯度處隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力的大小不同，因此同一個(gè)物體在地球上不同緯度處重力大小也不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點(diǎn)受到的重力大小之比約為299300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認(rèn)為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略．假設(shè)某星球因?yàn)樽赞D(zhuǎn)的原因，一物體在該星球赤道上的重力與其在兩極點(diǎn)受到的重力大小之比為78，已知該星球的半徑為R.(引力常量為G)(1)求繞該星球運(yùn)動(dòng)的同步衛(wèi)星的軌道半徑r；(2)若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，求該星球的密度ρ.解析：(1)設(shè)物體質(zhì)量為m，星球質(zhì)量為M，星球的自轉(zhuǎn)周期為T，物體在星球兩極時(shí)，萬(wàn)有引力等于重力，即F萬(wàn)＝G＝G極物體在星球赤道上隨星球自轉(zhuǎn)時(shí)，向心力由萬(wàn)有引力的一個(gè)分力提供，另一個(gè)分力就是重力G赤，有F萬(wàn)＝G赤＋Fn因?yàn)?/span>G赤＝G極，所以Fn＝·G＝m2R該星球的同步衛(wèi)星的周期等于星球的自轉(zhuǎn)周期T，則有G＝m′r聯(lián)立解得r＝2R.(2)在星球赤道上，有·G＝mg解得M＝又因星球的體積V＝πR3所以該星球的密度ρ＝＝.答案：(1)2R　(2) 

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