一輪大題專練17—導(dǎo)數(shù)（討論函數(shù)單調(diào)性）1．已知，其中為實(shí)數(shù)．（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）若，則，，設(shè)曲線在處的切線方程的斜率為，則，又（1），所以，在處的切線方程為：，即；（2），①當(dāng)時(shí)，，，，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；同理可得，②當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．2．已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；解：，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；設(shè)，由得或．①若，則，所以在單調(diào)遞增，②若，則，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；③若，則，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當(dāng)，在單調(diào)遞增，當(dāng)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．3．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在時(shí)取得極值，求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1），，在處取得極值，故（1），解得：，時(shí)，，，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在遞增，故是函數(shù)的極大值點(diǎn)，符合題意；（2）由（1）得，令，則或，①時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，②時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，故在遞減，在，遞增，③時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，在遞減，在，遞增，綜上：時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增，時(shí)，在上單調(diào)遞增，時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增．4．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在，的最大值為自然對數(shù)的底數(shù)，；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得唯一的極大值，即最大值，所以在，的最大值為；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則，①當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，若，則，令，可得，令，可得，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；若，則，則，故，則對恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)若時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）等價(jià)于，即，令，則，又，①當(dāng)時(shí)，對任意的恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，可得或（舍，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值（a），因?yàn)?/span>，所以，令（a），則函數(shù)（a）在上單調(diào)遞增，又（1），故由，可得（a）（1），解得．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．5．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1），定義域是，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)時(shí)，對稱軸為，時(shí)，，△，當(dāng)△即時(shí)，函數(shù)即，單調(diào)遞增，當(dāng)△，即時(shí)，令，，，時(shí)，，單調(diào)遞增，，時(shí)，，單調(diào)遞減，，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，△，函數(shù)，對稱軸，令，解得：，（舍，時(shí)，，遞增，，時(shí)，，遞減，綜上，時(shí)，在遞增，時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，，遞減區(qū)間是，，時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，；（2）即，故，而，則恒成立，，令，故，令，則，，單調(diào)遞增，故，遞增，故，即，則，，，故時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，故的最大值是（2），故的取值范圍是，．6．已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．若，則，，令，得，隨的變化，，的變化情況如下表所示10單調(diào)遞減極小值（1）單調(diào)遞增所以時(shí)，的最小值為．（6分）（Ⅱ）因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，令，得，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，得或，隨的變化，，的變化情況如下表所示100單調(diào)遞增（a）單調(diào)遞減（1）單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得或，隨的變化，，的變化情況如下表所示100單調(diào)遞增（1）單調(diào)遞減（a）單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．（15分）7．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）證明：函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對函數(shù)求導(dǎo)可得，時(shí)，，則，故，，故切線方程是：，即；（2）證明：由第（1）問可得，令，則，可知在上，，在上，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是有，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則，可知在上，，在上，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是有，即恒成立，當(dāng)時(shí)，成立，綜上可得，，即有，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．88．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性．解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．所以，（2），因此，當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則．由可得，由可得．此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或．此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則對任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；④當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或．此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、．綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為、．

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