【能力提高練】  第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1．(2022?新高考全國(guó)I卷)(多選)已知函數(shù)，則(    )A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【解析】  由題，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：AC【答案】  AC2．(2022?江西省新余市第一中學(xué)高三二模)已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )A． B．C． D．【解析】  由題意得有四個(gè)大于1的不等實(shí)根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或，因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，且最小值為.因?yàn)?/span>，所以有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn)，需且.故選：B.【答案】  B3．(2022?江蘇省蘇州中學(xué)等四校高三(下)期初聯(lián)合檢測(cè))對(duì)于函數(shù)f(x)，一次函數(shù)g(x)＝ax＋b，若f(x)≤g(x)恒成立，則稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”．若函數(shù)g(x)＝x－1是函數(shù)，x≥0的一個(gè)“線性覆蓋函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )A． B．[1，＋∞) C．[1，2] D．【解析】  由題可知在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立.令，，∴在單調(diào)遞減，，∴x≥0時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，令，∵，∴在單調(diào)遞增，∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，，∴，即.故選：B.【答案】  B4．(2022?黑龍江省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第六次月考)已知，，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )A． B． C． D．【解析】  由，得，記，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．(1)，，記，，，，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．(1)，，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：C．【答案】  C5．(2022?河北省名校聯(lián)盟高三(下)聯(lián)考)(多選)若存在正實(shí)數(shù)x，y，使得等式成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a的取值可能是(       )A． B． C． D．2【解析】  由題意，不等于，由，得，令，則，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單詞遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，即，解得或.故.故選：ACD.【答案】  ACD6．(2022?華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三(上)綜合測(cè)試)(多選)已知函數(shù)，，下列說法正確的是(    )A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有最小值C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增【解析】  因?yàn)?/span>，則.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不等的實(shí)根分別為、，且，由韋達(dá)定理可得，必有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上有最小值，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)且時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，D對(duì).故選：ABD.【答案】  ABD7．(2022?廣東省鐵一中學(xué)高三(上)期末)已知直線恒在函數(shù)的圖象的上方，則的取值范圍是(    )A． B． C． D．【解析】  很明顯，否則時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，且時(shí)，而當(dāng)時(shí)，不合題意，時(shí)函數(shù)為常函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，不合題意，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，由題意可知恒成立，注意到：，據(jù)此可得，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則：，故，，構(gòu)造函數(shù)，則，還是在處取得極值，結(jié)合題意可知：，即的取值范圍是.故選：A.【答案】  A8．(2022?北京市北京大學(xué)附屬中學(xué)高三2月開學(xué)考試)若函數(shù)為偶函數(shù)，且時(shí)，，其中表示實(shí)數(shù)、中的最大值，則的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為(    )A． B． C． D．【解析】  當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，令，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>，，所以，存在使得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，因?yàn)?/span>，，所以，存在使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，其中，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，令，對(duì)任意的，，即函數(shù)在上為增函數(shù)，無極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，則也為函數(shù)在上的一個(gè)極值點(diǎn)，故函數(shù)在上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上也有個(gè)極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，也為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.【答案】  D9．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第三次調(diào)研檢測(cè))(多選)已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(    )A．函數(shù)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根D．若時(shí)，，則的最小值為【解析】  對(duì)于A．，解得，所以A正確；對(duì)于B．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對(duì)于C．當(dāng)時(shí)，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，方程有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；對(duì)于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.【答案】  ABC10．(2022?重慶市第八中學(xué)高三(下)第二次調(diào)研檢測(cè))(多選)設(shè)函數(shù)，，則下列說法正確的有(    )A．不等式的解集為；B．函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C．當(dāng)時(shí)，總有恒成立；D．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【解析】  由題意得，則對(duì)于A：由，可得，解得，所以解集為，故A正確；對(duì)于B：，令，解得x=1，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，若，則，所以，即，令，則，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，又，所以在是恒成立，所以為減函數(shù)，又，所以在是恒成立，所以當(dāng)時(shí)，總有恒成立，故C正確；對(duì)于D：若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)根，即在有兩個(gè)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，解得，故D正確.故選：ACD【答案】  ACD11．(2022?西南大學(xué)附屬中學(xué)校高三第六次月考)已知函數(shù)，，若時(shí)，成立，則實(shí)數(shù)a的最大值是(    )A．1 B． C． D．【解析】  由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立,即在上恒成立,也就是在上恒成立,令則，即在上單調(diào)遞增，則由可得即在上恒成立,令，，有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故，在時(shí)取最小值，則由在上恒成立,可知，故實(shí)數(shù)a的最大值為，故選：B【答案】  B12．(2022?四川省南充高級(jí)中學(xué)高三第四次月考)不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(    )A． B． C．      D．【解析】  由不等式對(duì)任意恒成立，此時(shí)，可得 恒成立，令，從而問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最小值或范圍問題；令 ，則，當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，所以， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，令，則，當(dāng) 時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故 ，且當(dāng)時(shí)，也會(huì)取到正值，即在 時(shí)有根，即 等號(hào)成立，所以，則，故，故選：C【答案】  C13．(2022?江蘇省南通模擬)已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則(       )A．-1 B．2 C．-3 D．4【解析】  ，所以因?yàn)楹瘮?shù)在處取極小值，所以，所以，，，令，得或，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以在處有極大值為，解得，所以.故選：B【答案】  B14．(2022?高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理))已知和分別是函數(shù)(且)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【解析】  ，因?yàn)?/span>分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，與前面矛盾，故不符合題意，若時(shí)，則方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的范圍為.【答案】  15．(2022?江蘇省揚(yáng)州中學(xué)高三(下)開學(xué)檢測(cè))已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則的最小值是______.【解析】  令，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以是的極小值也即是最小值，所以，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，依題意，所以，則，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：【答案】  16．(2022?吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)等五校高三聯(lián)考)已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向軸引垂線，垂足為，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________.【解析】  如圖所示，因?yàn)?/span>，，，所以，設(shè)，，設(shè)，，，因?yàn)?/span>在為增函數(shù)，且時(shí)，，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，即的最小值為.故答案為：【答案】  17．(2022?吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第三次學(xué)科診斷)記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”.(1)以下函數(shù)與存在“點(diǎn)”的是___________①函數(shù)與；②函數(shù)與；③函數(shù)與.(2)已知：，若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【解析】  ①因?yàn)楹瘮?shù)與，所以，，由題意得，無解，故不存在“點(diǎn)”；②函數(shù)與，所以，，由題意得，解得，故為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”；③函數(shù)與，所以，，由題意得，無解，故不存在“點(diǎn)”；函數(shù)與，則與，由題意得，則，令，則，令，則，所以時(shí)，則，故單調(diào)遞增；時(shí)，則，故單調(diào)遞減；所以在處取得極小值，也是最小值，，且時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為,故答案為：②；【答案】  ①②    ②18．(2022?湖南省雅禮中學(xué)高三第六次月考)已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切，則的值為________；若總存在直線與函數(shù)，圖象均相切，則的取值范圍是________【解析】  設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，由，所以，解得，所以切點(diǎn)為，所以，解得，即切線方程為，設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，則，解得 ，即，設(shè)切線方程為，且與的切點(diǎn)為，與的切點(diǎn)為，則，，整理可得，，所以，整理可得，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在為增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以在上，即，所以單調(diào)遞減； 在上，即，所以單調(diào)遞增，所以，即，解得.故答案為： ；【答案】  ①    ②19．(2022?華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三(上)綜合測(cè)試)設(shè)函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.【解析】  求導(dǎo)得有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有一個(gè)不等于1的零點(diǎn)，分離參數(shù)得，令，，在遞減，在遞增，顯然在取得最小值，作的圖象，并作的圖象，注意到，，(原定義域，這里為方便討論，考慮，當(dāng)時(shí)，直線與只有一個(gè)交點(diǎn)即只有一個(gè)零點(diǎn)(該零點(diǎn)值大于；當(dāng)時(shí)在兩側(cè)附近同號(hào)，不是極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)(其中一個(gè)零點(diǎn)等于，但此時(shí)在兩側(cè)附近同號(hào)，使得不是極值點(diǎn)不合．故答案為：．【答案】  20．(2022?山西省運(yùn)城模擬)已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【解析】  ，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，在處取得極大值.令，解得或，又∵函數(shù)在上存在最小值，且為開區(qū)間，所以，解得.即的取值范圍是.故答案為：.【答案】  21．(2022?東北師大附中、黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三聯(lián)合模擬考試)若．(1)當(dāng)，時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明．【解析】  (1)因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，所以，令，解得或2，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)方程有兩個(gè)正根，且，解得，由題意得，令．則在上單調(diào)遞椷，，．【答案】  (1)答案不唯一，具體見解析    (2)證明見解析22．(2022?黑龍江省雙鴨山市第一中學(xué)高三(下)開學(xué)考試)已知函數(shù).(1)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值；(2)若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.【解析】  (1)依題意，定義域?yàn)?/span>，∴，①當(dāng)，即時(shí)，令，∵，∴，此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，令，得.此時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減.②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，無極小值；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上無極值．(2)依題意知，在上存在一點(diǎn)，使得成立，即在上存在一點(diǎn)，使得，故函數(shù)在上，有.由(1)可知，①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴，∴，∵，∴②當(dāng)，或，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，∴，∴.③當(dāng)，即時(shí)，由(2)可知，在處取得極大值也是區(qū)間上的最大值，即，∵，∴在上恒成立，此時(shí)不存在使成立.綜上可得，所求的取值范圍是或.【答案】  (1)當(dāng)時(shí)，極大值為，無極小值；當(dāng)時(shí)，無極值；(2)或.23．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第七次調(diào)研檢測(cè))已知函數(shù)．(1)若為的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)若有唯一的極值，證明：，．【解析】  (1).①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞誠(chéng)，在上單調(diào)遞增，所以為的極小值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，由得或．(ⅰ)當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；(ⅱ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以為的極小值點(diǎn)；(ⅲ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠(chéng)，在上單調(diào)遞增，所以為的極大值點(diǎn)，綜上，a的取值范圍是．(2)根據(jù)(1)可知，為唯一的極值，所以，所以．所以即證，．設(shè)，則，設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，,,,所以，即，所以在上單調(diào)遞增．，，又，所以，所以，使．因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得，所以，從而原命題得證．【答案】  (1)    (2)證明見解析24．(2022?天津市新華中學(xué)高三(上)期末)已知函數(shù)(1)若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù) a的最小值:(3)若，正實(shí)數(shù)滿足，證明:【解析】  (1)因?yàn)?/span>，所以， 此時(shí)， 由，得，又，所以．所以的單調(diào)減區(qū)間為．(2)方法一：令，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以．所以在上是遞增函數(shù)，又因?yàn)?/span>，所以關(guān)于的不等式不能恒成立．當(dāng)時(shí)，，令，得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．故函數(shù)的最大值為．令，因?yàn)?/span>，，又因?yàn)?/span>在是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，．所以整數(shù)的最小值為2．方法二：(2)由恒成立，得在上恒成立，問題等價(jià)于在上恒成立．令，只要．因?yàn)?/span>，令，得．設(shè)，因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)的根為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．所以．因?yàn)?/span>，，所以，此時(shí)，即．所以，即整數(shù)的最小值為2．(3)當(dāng)時(shí)，由，即從而令，則由得，可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以，所以，因此成立．【答案】  (1)；(2)；(3)證明見解析

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