23版新高考一輪分層練案(十六)　導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

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一輪分層練案(十六)　導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 A級——基礎達標1．函數(shù)y＝x cos x－sin x在下面哪個區(qū)間上單調(diào)遞增(　　)A．    B．(π，2π)C．    D．(2π，3π)【答案】B　y′＝－x sin x，經(jīng)驗證，只有在(π，2π)內(nèi)y′>0恒成立，∴y＝x cos x－sin x在(π，2π)上單調(diào)遞增．2．函數(shù)f(x)＝ln x－ax(a>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)A．    B．C．    D．(－∞，a)【答案】A　由f′(x)＝－a>0，x>0，得0<x<.∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.3．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax＋4，則“a＞0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的(　　)A．充分不必要條件    B．必要不充分條件C．充要條件    D．既不充分也不必要條件【答案】A　f′(x)＝x2＋a，當a>0時，f′(x)>0，即a>0時，f(x)在R上單調(diào)遞增；由f(x)在R上單調(diào)遞增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．4．在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為(　　)A．(－∞，－1)∪(0，1)    B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－2，－1)∪(1，2)    D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【答案】A　在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)單調(diào)遞增，所以f′(x)>0，使xf′(x)<0的范圍為(－∞，－1)；在(－1，1)上，f(x)單調(diào)遞減，所以f′(x)<0，使xf′(x)<0的范圍為(0，1).綜上，關(guān)于x的不等式xf′(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0，1).5．已知函數(shù)f(x)＝a ln x－2x，若不等式f(x＋1)>ax－2ex在x∈(0，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，2]    B．[2，＋∞)C．(－∞，0]    D．[0，2]【答案】A　由函數(shù)f(x)＝a ln x－2x，得f(ex)＝aln ex－2ex＝ax－2ex.f(x＋1)>ax－2ex，即f(x＋1)>f(ex)，因為x>0時，1<x＋1<ex，所以只需f(x)＝a ln x－2x在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，即x>1時，f′(x)＝－2≤0恒成立，即a≤2x在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤2.6．(多選)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么下列圖象中不可能是函數(shù)f(x)的圖象的是(　　)【答案】BCD　由導函數(shù)圖象可得：當x<0時，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增；當0<x<2時，f′(x)<0，即函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減；當x>2時，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．故選B、C、D.7．(多選)設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，f′(x)，g′(x)為其導函數(shù)，當x＜0時，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0且g(－3)＝0，則使得不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范圍是(　　)A．(－∞，－3)    B．(－3，0)C．(0，3)    D．(3，＋∞)【答案】BD　∵f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，令h(x)＝f(x)·g(x)，則h(－x)＝－h(x)，故h(x)＝f(x)·g(x)為R上的奇函數(shù)，∵當x＜0時，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＜0，∴h(x)＝f(x)·g(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴奇函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，如圖：由g(－3)＝0，∴h(－3)＝－h(3)＝0，∴當x∈(－3，0)∪(3，＋∞)時，h(x)＝f(x)·g(x)＜0，故選B、D.8．(多選)若函數(shù)g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e為自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)不具有M性質(zhì)的為(　　)A．f(x)＝ln x    B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝sin x    D．f(x)＝x3【答案】CD　對于A，f(x)＝ln x，則g(x)＝ex ln x，則g′(x)＝ex，因為在(0，＋∞)上ln x＋≥1恒成立，所以函數(shù)g(x)＝ex ln x在(0，＋∞)遞增；對于B，f(x)＝x2＋1，則g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)，g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2≥0在實數(shù)集R上恒成立，所以g(x)＝exf(x)在定義域R上是增函數(shù)；對于C，f(x)＝sin x，則g(x)＝ex sin x，g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝ex sin ，顯然g(x)不單調(diào)；對于D，f(x)＝x3，則g(x)＝exf(x)＝exx3，g′(x)＝exx3＋3exx2＝ex(x3＋3x2)＝exx2(x＋3)，當x＜－3時，g′(x)＜0，所以g(x)＝exf(x)在定義域R上先遞減后遞增；所以具有M性質(zhì)的函數(shù)的選項為A、B，不具有M性質(zhì)的函數(shù)的選項為C、D.9．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤ .【答案】[－， ]10．討論函數(shù)f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的單調(diào)性．解：f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.①當a≥1時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；②當a≤0時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；③當0<a<1時，令f′(x)＝0，解得x＝ ，則當x∈時，f′(x)<0；當x∈時，f′(x)>0，故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當a≥1時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；當0<a<1時，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． B級——綜合應用11．若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在其定義域的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)A．[1，＋∞)    B．[1，2)C．    D．【答案】C　函數(shù)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝，令f′(x)>0，得x>；令f′(x)<0，得0<x<.由題意得得1≤k<.12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，g(x)為f(x)的導函數(shù)．若f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．a2－3b有最小值3    B．a2－3b有最大值2C．f(0)·f(1)≤0    D．g(0)·g(1)≥0【答案】D　由題意可得g(x)＝f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因為f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，所以g(x)≤0在(0，1)上恒成立，即g(0)≤0，g(1)≤0，所以g(0)·g(1)≥0，故選D.13．(多選)已知定義在上的函數(shù)f(x)，f′(x)是f(x)的導函數(shù)，且恒有cos xf′(x)＋sin xf(x)<0成立，則(　　)A．f>f    B．f>fC．f>f    D．f>f【答案】CD　根據(jù)題意，令g(x)＝，x∈，則其導數(shù)g′(x)＝，又由x∈，且恒有cosx·f′(x)＋sin x·f(x)<0，則有g′(x)<0，即函數(shù)g(x)為減函數(shù)，又由<，則有g>g，即>，分析可得f>f；又由<，則有g>g，即>，分析可得f>f.故選C、D.14．設函數(shù)f(x)＝ex＋ae－x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________；若f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：∵ f(x)＝ex＋ae－x (a為常數(shù))的定義域為R，∴ f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴ a＝－1.∵ f(x)＝ex＋ae－x，∴ f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.∵ f(x)是R上的增函數(shù)，∴ f′(x)≥0在R上恒成立，即ex≥在R上恒成立，∴ a≤e2x在R上恒成立．又e2x>0，∴ a≤0，即a的取值范圍是(－∞，0].【答案】－1　(－∞，0]15．已知函數(shù)f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2·在區(qū)間(t，3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝，當a>0時，f(x)的遞增區(qū)間為(0，1)，遞減區(qū)間為(1，＋∞)；當a<0時，f(x)的遞增區(qū)間為(1，＋∞)，遞減區(qū)間為(0，1)；當a＝0時， f(x)為常函數(shù)．(2)由(1)及題意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在區(qū)間(t，3)上總不是單調(diào)函數(shù)，即g′(x)在區(qū)間(t，3)上有變號零點．由于g′(0)＝－2，∴當g′(t)<0時，即3t2＋(m＋4)t－2<0對任意t∈[1，2]恒成立，由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，即m<－5且m<－9，即m<－9；由g′(3)>0，即m>－.∴－<m<－9.即實數(shù)m的取值范圍是.C級——遷移創(chuàng)新16．已知f(x)＝＋a，若函數(shù)g(x)＝－x2＋2x(x≥0)的圖象上存在兩個關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)y＝f(x)的圖象上，求實數(shù)a的取值范圍．解：設g(x)＝－x2＋2x(x≥0)關(guān)于原點對稱的函數(shù)為G(x)，則G(x)＝－g(－x)＝x2＋2x(x≤0)，故只需x2＋2x＝＋a在(－∞，0)上存在兩根即可，即a＝x2＋2x－.設h(x)＝x2＋2x－(x<0)，則h′(x)＝2x＋2＋＝(x＋1)·，故h(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，0)上單調(diào)遞增，h(x)≥h(－1)＝e－1.又因為當x→－∞時，h(x)→＋∞；當x→0時，h(x)→＋∞.故a∈(e－1，＋∞).