2021級(jí)高二上學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．2．圓和圓的位置關(guān)系是（    ）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離3．已知向量，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（    ）A．1 B．2 C．3 D．44．如圖，在三棱錐中，，，點(diǎn)在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則（    ）A．  B．C．  D．5．已知直線和直線都過點(diǎn)，則過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是（    ）A． B． C． D．6．美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法．三庭：將整個(gè)臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下額的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長(zhǎng)的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長(zhǎng)度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份，如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為lcm，如圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（    ）A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm7．如圖，二面角的平面角為60°，線段，，與所成的角為30°，則AB與平面所成角的正弦值是（    ）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)，直線，且點(diǎn)不在直線上，則點(diǎn)到直線的距離；類比：當(dāng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離公式變?yōu)?/span>，根據(jù)該公式可求的最小值是（    ）A． B．4 C． D．8二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），則正確的是（    ）A．，互為共軛復(fù)數(shù)  B．C．  D．10．一個(gè)底面半徑為4的圓柱被一個(gè)60°的二面角所截，其中一個(gè)截面為圓，另一個(gè)截面為橢圓，則正確的是（    ）A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8  B．橢圓的離心率為C．橢圓的離心率為  D．橢圓的一個(gè)方程可能為11．金剛石是天然存在的最硬的物質(zhì)，如圖1所示是組成金剛石的碳原子在空間中排列的結(jié)構(gòu)示意圖，組成金剛石的每個(gè)碳原子，都與其相鄰的4個(gè)碳原子以完全相同的方式連接．從立體幾何的角度來看，可以認(rèn)為4個(gè)碳原子分布在一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)處，而中間的那個(gè)碳原子處于與這4個(gè)碳原子距離都相等的位置，如圖2所示．這就是說，圖2中有，若正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，則正確的是（    ）A．  B．C．  D．12．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則正確的是（    ）A．存在點(diǎn)，使得平面B．存在點(diǎn)，使得直線AM與直線所成的角為60°C．存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為D．不存在點(diǎn)，使得，其中為二面角的平面角，為直線與AB所成的角三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．若復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)______．14．已知圓，為圓上位于第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線．當(dāng)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等時(shí)，的方程為______．15．已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和2，P是上底面的線段上一點(diǎn)．若的最小值為，則該正四棱臺(tái)的高為______．16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過原點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），若，且，則橢圓的離心率的取值范圍是______．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）已知是復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，且．（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知直線和直線的交點(diǎn)為．（1）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（2）若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程．19．（12分）如圖，在直角中，，，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)到平面PAB的距離；（2）設(shè)直線與平面所成的角為，求的值．20．（12分）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)的圓的切線方程．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）求證：平面ACE；（2）若直線CE與平面ABC所成的角為45°，求二面角的余弦值．22．（12分）如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A，B，又A，B與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)組成的三角形面積為2．圓的圓心為橢圓的左頂點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)圓半徑時(shí)，過橢圓外一點(diǎn)垂直于軸的圓的切線為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AQ，BQ與直線分別交于G，H兩點(diǎn)．求的最小值；（3）圓A與橢圓交于點(diǎn)M，N．點(diǎn)是橢圓上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線PM，PN分別與軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：為定值．                               2021級(jí)高二上學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)參考答案  2022．11一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1-4  CBAA 5-8  ABCB1．C  解析：因?yàn)?/span>，所以，即的共軛復(fù)數(shù)的虛部為．2．B  解析：兩個(gè)圓的半徑為1和3，兩個(gè)圓心距是，，所以兩圓相交．3．A  解析：因?yàn)?/span>，，三向量共面，所以，即，整理得，解得．4．A  解析：，故選A．5．A  解析：將點(diǎn)分別代入直線可得和，所以過點(diǎn)和點(diǎn)的直線方程是．6．B  解析：如圖所示：以鼻尖所在位置為原點(diǎn)，中庭下邊界為軸，垂直中庭下邊界為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線，整理得．原點(diǎn)到直線距離為．7．C  解析：如圖，作于，于，連接OB，OC，作于，于，連接OB，OC，則，則，，設(shè)AB與所成角為，則，由圖得，8．B  解析：，令，則，該方程表示以為圓心，以1為半徑的半圓，依題意表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，表示該半圓上的點(diǎn)到直線的距離，則表示半圓上的點(diǎn)到直線和的距離之和，設(shè)為，設(shè)半圓上點(diǎn)，，則到與的距離之和，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以，所以的最小值為4．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．ABC 10．BD 11．BD 12．ACD9．ABC  解析：依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，故A選項(xiàng)正確；共軛復(fù)數(shù)，故B選項(xiàng)命題正確；；C選項(xiàng)命題正確；，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．10．BD  解析：由題意可得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，所以，所以可得離心率，所以BD正確，AC不正確，11．BD  解析：是頂點(diǎn)在下底面的射影，AO是四面體的高，OB是下底面的外接圓半徑，則，，，對(duì)于A，由勾股定理可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴，∴，∴，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確．12．ACD  解析：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則，，，，，，，，設(shè)，即點(diǎn)，其中．對(duì)于A：假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，因?yàn)?/span>，，，則，解得，故當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：假設(shè)存在點(diǎn)，使得直線AM與直線所成的角為60°，，，因?yàn)?/span>，即，所以不存在點(diǎn)，使得直線AM與直線所成的角為60°，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：假設(shè)存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為，，且點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，所以當(dāng)點(diǎn)為線段的靠近的四等分點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積為，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，則，，，，因?yàn)?/span>，，則，因?yàn)?/span>、，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即不存在點(diǎn)，使得，即選項(xiàng)D正確．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．  解析：因?yàn)?/span>，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以，因此14．15．  解析：正四棱臺(tái)以為原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，過點(diǎn)作垂直于平面ABCD的直線為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正四棱臺(tái)的高為，則，，，其中，所以，，所以，令，顯然是開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最小值，所以，解得．16．  解析：∵直線AB過原點(diǎn)，所以A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，，又∵，，∴四邊形為矩形，∴則，易得在中，，∵，∴，∵，∴，∵在第一象限，∴，∴，∴．令，則有，∴，∴，，即．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．解析：（1）根據(jù)題意，設(shè)復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)，即，解得，所以．又∵，∴，得，所以．（2）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以所以解得．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．18．解析：（1）聯(lián)立，解得，可知交點(diǎn)設(shè)與直線平行的直線方程為把交點(diǎn)代入可得，∴，．∴所求的直線方程為：．（2）設(shè)與直線垂直的直線方程為，∵到的距離為，解得或，∴直線的方程為：或19．解析：（1）由題意知：，，，平面，平面，∴平面AOB，又，所以，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面PAB的距離為，由得，解得；（2）以為原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，由題意知，則，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則，取，則，可得平面PAB的一個(gè)法向量為，所以．20．解析：（1）圓可化為∵，∴圓心到直線的距離為，又∵圓心到直線的距離為，∴，∴或（2）由題意，∵，∴，∴點(diǎn)不在圓上．①當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為即．由圓心到切線的距離等于半徑，得，解得，所以所求切線的方程為．②當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為．綜上，所求切線的方程為或．21．解析：（1）在中，由余弦定理得：，∴，∴，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面BCDE，又平面，∴∵，，，平面，∴平面（2）作于點(diǎn)，∵平面平面ABC，平面平面，平面BCDE，∴平面，即為直線CE與平面ABC所成的角，∴，又，∴為等腰直角三角形，∴為BC中點(diǎn)，過作，交AB于，則為AB中點(diǎn)，∴，則EF，BF，FG兩兩互相垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為x，y，z軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，∵平面，∴是平面ABC的一個(gè)法向量；設(shè)平面ABE的法向量，則，令，解得：，，，∴由圖形可知，二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．22．解析：（1）由題意知解之得，，故橢圓方程為；（2）直線，由已知，，設(shè)直線AQ的斜率為，則AQ的方程為，得，由得，即，所以，所以，將代入，得，即，所以直線BQ的方程為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)線段GH的最小值是．（3）設(shè)，，，則直線MP的方程為，令，得，同理，故，又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，，得，所以為定值．   

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