阿基米德與皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法測(cè)出了皇冠的體積，你知道他是如何測(cè)量的嗎？
1. 借助立體及平面圖形學(xué)會(huì)分析復(fù)雜問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系.
2. 能利用一元一次方程解決簡(jiǎn)單的圖形問(wèn)題.
3. 利用體積不變、周長(zhǎng)不變列方程.
某居民樓頂有一個(gè)底面直徑和高均為4 m的圓柱形儲(chǔ)水箱．現(xiàn)該樓進(jìn)行維修改造，為減少樓頂原有儲(chǔ)水箱的占地面積，需要將它的底面直徑由4 m減少為3.2 m．那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4 m變?yōu)槎嗌伲?br/>等積問(wèn)題有哪些等量關(guān)系呢？
①前后容積（體積）相等;
在這個(gè)問(wèn)題中的等量關(guān)系是___________________________
設(shè)水箱的高變?yōu)?x 米，填寫下表：
舊水箱的容積=新水箱的容積.
列方程時(shí)關(guān)鍵是找出問(wèn)題中的___________
解：設(shè)水箱的高變?yōu)?x米，
答：高變成了 6.25 米.
張師傅要將一個(gè)底面直徑為20厘米，高為9厘米的“矮胖”形圓柱，鍛壓成底面直徑為10厘米 的“瘦長(zhǎng)”形圓柱.假設(shè)在張師傅鍛壓過(guò)程中，圓柱體積保持不變，那么圓柱的高變成了多少？
解：設(shè)鍛壓后圓柱的高為 x 厘米，填寫下表：
鍛壓前的體積=鍛壓后的體積
根據(jù)等量關(guān)系，列出方程：
因此，高變成了 厘米.
解：（1）設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x米， 則它的長(zhǎng)為(x+1.4)米，
由題意得 2 ( x+1.4 +x ) =10.解得 x=1.8. 長(zhǎng)為：8+1.4=3.2（米）;
答：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3.2米，寬為1.8米,面積是5.76平方米.
（長(zhǎng)+寬）× 2 = 周長(zhǎng).
用一根長(zhǎng)為10米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形.
（1）使得該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多1.4米，此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各是多少米呢？面積是多少？
（2）使得該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多0.8米，此時(shí)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少米？它所圍成的長(zhǎng)方形與（1）所圍成的長(zhǎng)方形相比，面積有什么變化？
解：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x 米，則它的長(zhǎng)為（x+0.8）米.由題意,得 2(x +0.8+ x) =10. 解得 x =2.1.長(zhǎng)為 2.1+0.8=2.9（米）;面積為 2.9×2.1=6.09(平方米);面積增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.
（3）使得該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬相等，即圍成一個(gè)正方形，此時(shí)正方形的邊長(zhǎng)是多少米？圍成的面積與（2）所圍成的面積相比，又有什么變化？
解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x米. 由題意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 邊長(zhǎng)為：2.5米； 面積為：2.5×2.5=6.25(平方米). 面積增加：6.25-6.09=0.16（平方米）.
2.變形前體積 = 變形后體積.
1.列方程的關(guān)鍵是正確找出等量關(guān)系.
4.長(zhǎng)方形周長(zhǎng)不變時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)長(zhǎng)與寬相等時(shí)，面積最大.
3.線段長(zhǎng)度一定時(shí)，不管圍成怎樣的圖形，周長(zhǎng)不變.
墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的裝飾物，小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長(zhǎng)方形，如下圖所示，那么，小穎所釘長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各為多少厘米？
分析：等量關(guān)系是 變形前后周長(zhǎng)相等,
解：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是 x 厘米.則
因此，小穎所釘長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16厘米，寬是10厘米.
小穎所釘長(zhǎng)方形的寬是10厘米.
2×（x+10）= 10×4+ 6×2
把一根9m長(zhǎng)的鋼管截成1m長(zhǎng)和2m長(zhǎng)兩種規(guī)格均有的短鋼管，且沒(méi)有余料，設(shè)某種截法中1m長(zhǎng)的鋼管有a根，則a的值可能有（　?。〢．3種B．4種C．5種D．9種
1．如圖，小明從一個(gè)正方形的紙片上剪下一個(gè)寬為6 cm的長(zhǎng)條后，再?gòu)氖Ｏ碌募埰霞粝乱粋€(gè)寬為8 cm的長(zhǎng)條．如果兩次剪下的長(zhǎng)條面積正好相等，那么原正方形的邊長(zhǎng)是(　　)A．20 cm B．24 cm C．48 cm D．144 cm
2.從一個(gè)底面半徑是10cm的涼水杯中，向一個(gè)底面半徑為5cm，高為8cm的空玻璃杯中倒水，當(dāng)玻璃杯倒?jié)M水后，涼水杯的水面將下降( )A．8cm　　B．2cm　　C．5cm　 D．4cm
3．有一塊棱長(zhǎng)為4厘米的正方體銅塊，要將它熔化后鑄成長(zhǎng)4厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方體銅塊，鑄成后的銅塊的高是_________厘米．(不計(jì)損耗)4．李紅用40cm長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，要使長(zhǎng)比寬多4cm，求圍成的長(zhǎng)方形的面積，若設(shè)長(zhǎng)方形的寬為xcm，根據(jù)題意列出方程是_____________，面積是__________．
5．如圖，一個(gè)裝有半瓶多飲料的飲料瓶中，飲料的高度為20cm；把飲料瓶倒過(guò)來(lái)放置，飲料瓶空余部分的高度為5cm.已知飲料瓶的容積為30cm3，則瓶?jī)?nèi)現(xiàn)有飲料______cm3.
一種牙膏出口處直徑為5 mm，小明每次刷牙都擠出1cm長(zhǎng)的牙膏，這樣一支牙膏可以用36次，該品牌牙膏推出新包裝，只是將出口處直徑改為6 mm，小明還是按習(xí)慣每次擠出1cm的牙膏，這樣，這一支牙膏能用多少次？
解：設(shè)這一支牙膏能用x次，根據(jù)題意得π×2.52×10×36=π×32×10x.解這個(gè)方程，得x=25.答：這一支牙膏能用25次．
用兩根等長(zhǎng)的鐵絲分別繞成一個(gè)正方形和一個(gè)圓，已知正方形的邊長(zhǎng)比圓的半徑長(zhǎng)2(π-2) m，求這兩根等長(zhǎng)的鐵絲的長(zhǎng)度，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明誰(shuí)的面積大．
解析:比較兩圖形的面積大小，關(guān)鍵是通過(guò)題中的等量關(guān)系列方程求得圓的半徑和正方形的邊長(zhǎng)，本題的等量關(guān)系為正方形的周長(zhǎng)=圓的周長(zhǎng)．
解：設(shè)圓的半徑為r m，則正方形的邊長(zhǎng)為[r+2(π-2)]m. 根據(jù)題意，得
答：鐵絲的長(zhǎng)為8π m，圓的面積較大．
因?yàn)?π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，所以圓的面積大．
正方形的面積為[4+2(π-2)]2=4π2(m2)．
所以圓的面積是π×42=16π(m 2)，
所以鐵絲的長(zhǎng)為2πr=8π(m)．
2πr=4(r+2π-4)，解得r=4.

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5.3 應(yīng)用一元一次方程——水箱變高了

版本： 北師大版

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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