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專題 4.1 曲線運動 運動的合成與分解
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考點一 曲線運動
1．速度方向：沿曲線上該點的切線方向。
2．性質：做曲線運動的物體，速度的方向時刻改變，故曲線運動一定是變速運動。
3．物體做曲線運動的條件
(1)運動學角度：物體的加速度方向跟速度方向不在同一條直線上。
(2)動力學角度：物體所受合外力的方向跟速度方向不在同一條直線上。
4．合力與軌跡的關系：物體做曲線運動的軌跡一定夾在合力方向和速度方向之間，速度方向與軌跡相切，合力方向指向曲線的“凹”側。
考點二 運動的合成與分解
1．基本概念
(1)運動的合成：已知分運動求合運動。
(2)運動的分解：已知合運動求分運動。
2．分解原則：可根據(jù)運動的實際效果分解，也可采用正交分解。
3．遵循的規(guī)律：位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循平行四邊形定則。
4．合運動和分運動的關系
5.運動的合成與分解的運算法則
運動的合成與分解是指描述運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解，由于它們均是矢量，故合成與分解都遵循平行四邊形定則．
6．合運動性質的判斷
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(加速度\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(恒定：勻變速運動,變化：非勻變速運動)),加速度方向與速度方向\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共線：直線運動,不共線：曲線運動))))
7．兩個直線運動的合運動性質的判斷
8.解決運動的合成和分解的一般思路
(1)明確合運動或分運動的運動性質．
(2)確定合運動是在哪兩個方向上的合成或分解．
(3)找出各個方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)．
(4)運用力與速度的關系或矢量的運算法則進行分析求解．
考點三 曲線運動的動力學分析
1．合力方向與軌跡的關系
無力不彎曲，彎曲必有力．曲線運動軌跡始終夾在合力方向與速度方向之間，而且向合力的方向彎曲，或者說合力的方向總是指向軌跡的“凹”側．
2．合力方向與速率變化的關系
（1）軌跡特點：軌跡在速度方向和合力方向之間，且向合力方向一側彎曲。
（2）合力的效果：合力沿切線方向的分力改變速度的大小，沿徑向的分力改變速度的方向。
①當合力方向與速度方向的夾角為銳角時，物體的速率將增大。
②當合力方向與速度方向的夾角為鈍角時，物體的速率將減小。
③當合力方向與速度方向垂直時，物體的速率不變。（舉例：勻速圓周運動）
考點四 運動分解中的兩類實例模型
小船渡河問題
1．小船渡河問題的分析思路
2．小船渡河的兩類問題、三種情景
繩(桿)端速度分解模型
(1)模型特點：繩(桿)拉物體或物體拉繩(桿)，以及兩物體通過繩(桿)相連，物體運動方向與繩(桿)不在一條直線上，求解運動過程中它們的速度關系，都屬于該模型．
(2)模型分析
①合運動→繩拉物體的實際運動速度v
②分運動→eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(其一：沿繩（或桿）的分速度v1,其二：與繩（或桿）垂直的分速度v2))
(3)解題原則：根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見實例如下：
(4)解題思路
高頻考點一 曲線運動的動力學分析
例1、雙人滑運動員在光滑的水平冰面上做表演，甲運動員給乙運動員一個水平恒力F，乙運動員在冰面上完成了一段優(yōu)美的弧線MN.vM與vN正好成90°角，則此過程中，乙運動員受到甲運動員的恒力可能是圖中的( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】 C
【解析】 根據(jù)圖示物體由M向N做曲線運動，物體在vM方向的速度減小，同時在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正確的，C正確，A、B、D錯誤．
【變式訓練】圖示為質點做勻變速運動的軌跡示意圖，質點運動到D點時速度方向與加速度方向恰好垂直。則質點從A點運動到E點的過程中，下列說法中正確的是（ ）
A. 質點經(jīng)過C點的速率比D點大
B. 質點經(jīng)過A點時的動能小于經(jīng)過D點時的動能
C. 質點經(jīng)過D點時的加速度比B點的加速度大
D. 質點從B到E過程中加速度方向與速度方向的夾角一直減小
【答案】AD
【解析】質點運動到D點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，速度沿D點軌跡的切線方向，則知加速度斜向左上方，合外力也斜向左上方，質點做勻變速曲線運動，合外力恒定不變，質點由A到D過程中，合外力做負功，由動能定理可得，C點的速度比D點速度大，質點經(jīng)過A點時的動能大于經(jīng)過D點時的動能，故A正確，B錯誤；質點做勻變速曲線運動，則有加速度不變，所以質點經(jīng)過D點時的加速度與B點相同，故C錯誤；質點從B到E過程中加速度方向與速度方向的夾角一直減小，故D正確。所以AD正確，BC錯誤。
高頻考點二 運動的合成與分解
例2、質量為2 kg的質點在xOy平面上做曲線運動，在x方向的速度圖象和y方向的位移圖象如圖所示，下列說法正確的是( )
A．質點的初速度為5 m/s B．質點所受的合外力為3 N，做勻加速曲線運動
C．2 s末質點速度大小為6 m/s D．2 s內質點的位移大小約為12 m
【答案】ABD
【解析】.由x方向的速度圖象可知，在x方向的加速度為1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移圖象可知在y方向做勻速直線運動，速度為vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此質點的初速度為5 m/s，A選項正確；受到的合外力為3 N，顯然，質點初速度方向與合外力方向不在同一條直線上，B選項正確；2 s末質點速度應該為v＝eq \r(62＋42) m/s＝2eq \r(13) m/s，C選項錯誤；2 s內x方向上位移大小x＝vxt＋eq \f(1,2)at2＝9 m，y方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(145) m≈12 m，D選項正確．
【變式訓練】如圖，圖甲所示，在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上運動，其v-t圖象如圖乙所示．人頂桿沿水平地面運動的s-t圖象如圖丙所示．若以地面為參考系，下列說法中正確的是（ ）
A．猴子的運動軌跡為直線 B．猴子在2s內做勻變速曲線運動
C．t=0時猴子的速度大小為8m/s D．t=2s時猴子的加速度為4m/s2
【答案】BD
【解析】豎直方向為初速度、加速度的勻減速直線運動，水平方向為速度的勻速直線運動，初速度大小為，方向與合外力方向不在同一條直線上，故做勻變速曲線運動，故選項B正確，選項A錯誤；t=2s時，，則合加速度為，選項C錯誤，選項D正確。
高頻考點四 運動分解中的兩類實例模型
小船渡河問題
例3、小船在200 m寬的河中橫渡，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s.
(1)若小船的船頭始終正對對岸，它將在何時、何處到達對岸？
(2)要使小船到達正對岸，應如何航行？歷時多長？
(3)小船渡河的最短時間為多長？
(4)若水流速度是5 m/s，船在靜水中的速度是3 m/s，則怎樣渡河才能使船漂向下游的距離最短？最短距離是多少？
【答案】見解析
【解析】(1)小船參與了兩個分運動，即船隨水漂流的運動和船在靜水中的運動．因為分運動之間具有獨立性和等時性，故小船渡河的時間等于垂直于河岸方向的分運動的時間，即t＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,4) s＝50 s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m
即船將在正對岸下游100 m處靠岸．
(2)要使小船到達正對岸，合速度v應垂直于河岸，如圖甲所示，則
cs θ＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，故θ＝60°
即船的航向與上游河岸成60°，渡河時間t＝eq \f(d,v)＝eq \f(200,4sin 60°) s＝eq \f(100\r(3),3) s.
(3)考慮一般情況，設船頭與上游河岸成任意角θ，如圖乙所示．船渡河的時間取決于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的時間為t＝eq \f(d,v船sin θ).當θ＝90°，即船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間為tmin＝50 s.
(4)因為v船＝3 m/sv水，當船頭方向與上游夾角θ滿足v船cs θ＝v水時，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河寬d
渡河位移最短
如果v船

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