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專題5.1開普勒定律 萬有引力定律及其應(yīng)用
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考點(diǎn)一 開普勒定律 萬有引力定律的理解與應(yīng)用
1．開普勒行星運(yùn)動定律
(1)行星繞太陽的運(yùn)動通常按圓軌道處理．
(2)開普勒行星運(yùn)動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動．
(3)開普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同．
2．萬有引力定律
公式F＝Geq \f(m1m2,r2)適用于質(zhì)點(diǎn)、均勻介質(zhì)球體或球殼之間萬有引力的計(jì)算．當(dāng)兩物體為勻質(zhì)球體或球殼時(shí)，可以認(rèn)為勻質(zhì)球體或球殼的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，引力的方向沿兩球心的連線．
考點(diǎn)二 萬有引力與重力的關(guān)系
1．地球表面的重力與萬有引力
地面上的物體所受地球的吸引力產(chǎn)生兩個(gè)效果，其中一個(gè)分力提供了物體繞地軸做圓周運(yùn)動的向心力，另一個(gè)分力等于重力．
(1)在兩極，向心力等于零，重力等于萬有引力；
(2)除兩極外，物體的重力都比萬有引力小；
(3)在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個(gè)分力F向和mg剛好在一條直線上，則有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝eq \f(GMm,R2)－mRωeq \\al(2,自).
2．星體表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))；mg＝Geq \f(mM,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq \f(GMm,（R＋h）2)，得g′＝eq \f(GM,（R＋h）2)
所以eq \f(g,g′)＝eq \f(（R＋h）2,R2).
考點(diǎn)三 中心天體質(zhì)量和密度的估算
中心天體質(zhì)量和密度常用的估算方法
應(yīng)用公式時(shí)注意區(qū)分“兩個(gè)半徑”和“兩個(gè)周期”
(1)天體半徑和衛(wèi)星的軌道半徑,通常把天體看成一個(gè)球體，天體的半徑指的是球體的半徑．衛(wèi)星的軌道半徑指的是衛(wèi)星圍繞天體做圓周運(yùn)動的圓的半徑．衛(wèi)星的軌道半徑大于等于天體的半徑．
(2)自轉(zhuǎn)周期和公轉(zhuǎn)周期,自轉(zhuǎn)周期是指天體繞自身某軸線運(yùn)動一周所用的時(shí)間，公轉(zhuǎn)周期是指衛(wèi)星繞中心天體做圓周運(yùn)動一周所用的時(shí)間．自轉(zhuǎn)周期與公轉(zhuǎn)周期一般不相等．
考點(diǎn)四 應(yīng)用開普勒定律及萬有引力定律分析天體追及相遇問題
1．相距最近
兩衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同，且位于和中心連線的半徑上同側(cè)時(shí)，兩衛(wèi)星相距最近，從運(yùn)動關(guān)系上，兩衛(wèi)星運(yùn)動關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3…)．
2．相距最遠(yuǎn)
當(dāng)兩衛(wèi)星位于和中心連線的半徑上兩側(cè)時(shí)，兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，從運(yùn)動關(guān)系上，兩衛(wèi)星運(yùn)動關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)．
3.對于天體追及問題的處理思路
(1)根據(jù)eq \f(GMm,r2)＝mrω2，可判斷出誰的角速度大；
(2)根據(jù)天體相距最近或最遠(yuǎn)時(shí)，滿足的角度差關(guān)系進(jìn)行求解．
考點(diǎn)五 補(bǔ)償法思想的應(yīng)用
對于形狀不規(guī)則、缺損或不完整的物理模型，往往不符合典型情境下的概念、規(guī)律的適用條件，不能直接應(yīng)用公式求解，此時(shí)需要用另外一個(gè)物體和原物體組合在一起成為一個(gè)完整或?qū)ΨQ的簡單、規(guī)范的物理模型，整體可以應(yīng)用相關(guān)規(guī)律求解，同時(shí)“補(bǔ)”上的物體的相關(guān)物理量也很好求，待求的物理量可以利用整體去掉“補(bǔ)”上的部分求得。
高頻考點(diǎn)一 開普勒定律 萬有引力定律的理解與應(yīng)用
例1、若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗(yàn)證 ( )
A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的1/602
B．月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的1/602
C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的1/6
D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的1/60
【答案】B
【解析】設(shè)月球的質(zhì)量為M月，地球的質(zhì)量為M，蘋果的質(zhì)量為m，則月球受到的萬有引力為F月＝eq \f(GMM月,（60r）2)，蘋果受到的萬有引力為F＝eq \f(GMm,r2)，由于月球質(zhì)量和蘋果質(zhì)量之間的關(guān)系未知，故二者之間萬有引力的關(guān)系無法確定，故A錯(cuò)誤；根據(jù)牛頓第二定律eq \f(GMM月,（60r）2)＝M月a月，eq \f(GMm,r2)＝ma，整理可得a月＝eq \f(1,602)a，故B正確；在月球表面處eq \f(GM月m′,req \\al(2,月))＝m′g月，由于月球本身的半徑大小及其質(zhì)量與地球的半徑、質(zhì)量關(guān)系未知，故無法求出月球表面和地球表面重力加速度的關(guān)系，故C錯(cuò)誤；蘋果在月球表面受到的引力為F′＝eq \f(GmM月,req \\al(2,月))，由于月球本身的半徑大小及其質(zhì)量與地球的半徑、質(zhì)量關(guān)系未知，故無法求出蘋果在月球表面受到的引力與在地球表面受到的引力之間的關(guān)系，故D錯(cuò)誤．
【變式訓(xùn)練】牛頓在思考萬有引力定律時(shí)就曾想，把物體從高山上水平拋出速度一次比一次大，
落點(diǎn)一次比一次遠(yuǎn)．如果速度足夠大，物體就不再落回地面，它將繞地球運(yùn)動，成為人造地球衛(wèi)星．如圖
所示是牛頓設(shè)想的一顆衛(wèi)星，它沿橢圓軌道運(yùn)動．下列說法正確的是 ( )
地球的球心與橢圓的中心重合
B．衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速率小于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率
C．衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度小于在近地點(diǎn)的加速度
D．衛(wèi)星與橢圓中心的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積
【答案】C
【解析】地球的球心與橢圓的焦點(diǎn)重合，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒(動能和引力勢能之和保持不變)，衛(wèi)星在近地點(diǎn)的動能大于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的動能，根據(jù)動能公式，衛(wèi)星在近地點(diǎn)的速率大于在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速率，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律，衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的加速度小于在近地點(diǎn)的加速度，選項(xiàng)C正確；根據(jù)開普勒定律，衛(wèi)星與地球中心的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
高頻考點(diǎn)二 萬有引力與重力的關(guān)系
例2、宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象．若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為( )
A．0 B．eq \f(GM,（R＋h）2) C．eq \f(GMm,（R＋h）2) D．eq \f(GM,h2)
【答案】B
【解析】飛船受到的萬有引力等于它在該處所受的重力，即Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝mg，得g＝eq \f(GM,（R＋h）2)，選項(xiàng)B正確．
【變式訓(xùn)練】近期天文學(xué)界有很多新發(fā)現(xiàn)，若某一新發(fā)現(xiàn)的星體質(zhì)量為m、半徑為R、自轉(zhuǎn)周期為T、引力常量為G.下列說法正確的是( )
A．如果該星體的自轉(zhuǎn)周期T2π eq \r(\f(R3,Gm))，則該星體會解體
C．該星體表面的引力加速度為 eq \f(Gm,R)
D．如果有衛(wèi)星靠近該星體表面做勻速圓周運(yùn)動，則該衛(wèi)星的速度大小為 eq \r(\f(Gm,R))
【答案】 AD
【解析】 如果在該星體“赤道”表面有一物體，質(zhì)量為m′，當(dāng)它受到的萬有引力大于跟隨星體自轉(zhuǎn)所需的向心力時(shí)，即Geq \f(mm′,R2)>m′Req \f(4π2,T2)時(shí)，有T>2πeq \r(\f(R3,Gm))，此時(shí)，星體處于穩(wěn)定狀態(tài)不會解體，而當(dāng)該星體的自轉(zhuǎn)周期T

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