2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期中五校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)出題學(xué)校：蘆臺一中  楊村一中一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1．直線的傾斜角是A．    B．    C．    D．2．已知直線與平行，則的值是A．    B．或   C．    D．或3．已知，是橢圓的焦點，過且垂直于軸的直線交橢圓于兩點，且，則橢圓C的方程為A．  B．  C．  D．4．在正方體中，M為與的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是A．        B．   C．         D． 5．過點的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則該直線方程為A．       B． C．或     D．或6．在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是A．   B．    C．   D．7．圓的圓心在軸的負(fù)半軸上，與軸相交于點，且直線被圓截得的弦長為. 則圓的方程為A．      B．C．      D．8．設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在一點使得，，則該橢圓的離心率為A．    B．    C．   D．9．已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為A．         B．    C．          D．二、填空題（本題共6小題，每題5分，共30分）10．已知關(guān)于直線的對稱點為，則直線的方程是___________.11．設(shè)，向量，且，則___________.12．正方體的棱長為，、分別是、、的中點，則直線到平面的距離為___________.13．已知直線與曲線有兩個交點，則的取值范圍為___________.14．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，點，動點滿足，若動點在圓上，則的取值范圍為___________.15．如圖，，分別是橢圓的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點Q，若，則直線的斜率為___________.三、解答題（共5題，共75分）16．（本小題滿分14分）已知圓：及直線：，（1）求直線被圓所截得的弦長度的最小值及此時直線的方程．（2）求過點并與相切的直線方程． 17．（本小題滿分15分）如圖，已知在棱長為2的正方體中，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：直線平面. 18．（本小題滿分15分）已知橢圓的左右焦點分別為，，上頂點為，長軸長為，若為正三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點，斜率為的直線與橢圓相交，兩點，求的長；（3）過點的直線與橢圓相交于,兩點，若，求直線的方程.19.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是的中點，平面，且，．（1）求證：；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角的余弦值.     20.（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率為，且過點，為左頂點，為下頂點，橢圓上有一點且點在第一象限，交軸于點，交軸于點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積的最大值．  2022～2023學(xué)年度第一學(xué)期期中五校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本題共9小題，每題5分，共45分）1—5  DCCDD     6—9  ACBD二、填空題（共6小題，每題5分，共30分）10．   11．            12．13．    14．    15．三．解答題（共5題，共75分）16．（本小題滿分14分）解：由已知：圓.               .............................1分直線恒過定點                                         ............................2分由∴點在圓內(nèi)，                                          當(dāng)時，弦最短，  ....................5分,則 此時直線：,即              .......................7分（2）由圓，又在圓外，∴①當(dāng)切線方程的斜率存在時，設(shè)方程為，由圓心到切線的距離可解得，∴切線方程為，    ..................11分②當(dāng)切線方程的斜率不存在，易知直線與圓相切， ...................12分綜合①②可知切線方程為或     . .............................14分17．（本小題滿分15分）（1）證明：以D為坐標(biāo)原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).........3分由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面，所以＝(2，0，0)為平面的一個法向量.  .........................4分由于＝(0，1，－1)，則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，             所以⊥.                                 .......................6分又MN?平面，                          ..........................7分所以MN∥平面.                 ..........................8分（2）證明：因為＝(2，0，0)為平面的一個法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，     ..........................10分則，又∩            .........................14分所以直線平面                    ........................15分18．（本小題滿分15分）解：（1）由題意可得，則    為正三角形，所以 所以 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：      ..........................4分 （2）設(shè)，由題意，過點，斜率為的直線方程為 由 ，得   .........................5分則           所以 .....................7分（3）當(dāng)直線的斜率為0時，，顯然不符合題意  . ....9分當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得      所以        .........................10分由, 可得，              ..........................11分代入上面的韋達(dá)定理中可得由此消去可得，解得，即,則 ...........13分所以直線的方程為：或  .....15分 19．（本小題滿分15分）（1）平面，平面，.底面是矩形，，又，平面，平面，   .                           ..........................5分（2）以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.       ..........................10分（3）.設(shè)平面的法向量，則，即，令，則.           .........................12分又平面的法向量   .........................14分所以平面與平面夾角的余弦值為.     ...............15分20.（本小題滿分16分）解：（1）由題意得：得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.         ........................4分（2）由題意知，，設(shè)直線AP：，因為點在第一象限，所以，所以 ，由消y得，...................6分所以，由得，故， 所以，        .........................7分設(shè)，因，，，三點共線，所以，故，解得，得，...............9分所以                             因為，所以    ，            .........................13分令，則，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，所以面積的最大值為        ..........................16分

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