一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1. 復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限
2. 如果角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. 2C. D.
3. 若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為4，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則，，…，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（ ）
A. 4，1B. 17，8C. 17，9D. 17，3
4. 已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，若過直線的平面截圓錐所得的截面是面積為8的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
5.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A.若，，，則
B.若，，則
C.若，，，則
D.若，，，，則
6.2021年3月，樹人中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行“慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年”黨史知識(shí)競(jìng)賽.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖圖和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖圖
圖1 圖2
則下列命題錯(cuò)誤的是（ ）
A.成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人
B.成績(jī)第名的100人中，高一人數(shù)不超過一半
C.成績(jī)第名的50人中，高三最多有32人
D.成績(jī)第名的50人中，高二人數(shù)比高一的多
7．如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD⊥CD，，AC⊥BC，∠B＝60，現(xiàn)將△ACD沿AC邊折起，并連接BD，當(dāng)三棱錐D﹣ABC的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為（ ）
A．4πB．8πC．12πD．16π
8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2a+b＝2ccsB，若CD是角C的平分線，AD＝，DB＝，求CD的長(zhǎng)．（ ）
A．3B．2C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
9.袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，從中取兩個(gè)球，每次取一個(gè)球，取球后不放回，設(shè)事件第一個(gè)球是紅球，第二個(gè)球是黃球，則下列結(jié)論正確的是
A.A與B互為對(duì)立事件 B.A與B互斥 C. D.
10. 設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（ ）
A. 若|，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
11. 已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
D. 若實(shí)數(shù)使得方程上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則一定有
12. 如圖1，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，，，分別為，，的中點(diǎn)，沿?及把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使得??三點(diǎn)重合于，得到四面體(如圖2).下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 四面體外接球體積為 B. 頂點(diǎn)在面上的射影為的重心
C. 與面所成角的正切值為
D. 過點(diǎn)的平面截四面體的外接球所得截面圓的面積的取值范圍是
三、填空題：
13. 甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行籃球投籃練習(xí)，甲同學(xué)一次投籃命中的概率為，乙同學(xué)一次投籃命中的概率為，假設(shè)兩人投籃命中與否互不影響，則甲?乙兩人各投籃一次，至少有一人命中的概率是___________.
14. 已知一組數(shù)據(jù)為85，87，88，90，92，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為________.
15. 若平面向量若平面向量，，兩兩所成的角相等，且1，1，3，則= _______.
16. 對(duì)函數(shù)，設(shè)點(diǎn)是圖象上的兩端點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)滿足.點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且（為實(shí)數(shù)），則稱的最大值為函數(shù)的“高度”，則函數(shù)在區(qū)間上的“高度”為 ____________.
四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效.
17.已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最值及相應(yīng)的的值；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．
18．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周長(zhǎng)的最大值.
19. （本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，為正方形，為中點(diǎn)，平面平面，，.
（1）證明：；
（2）證明：；
（3）求三棱錐的體積．
20. 哈爾濱市第三中學(xué)校響應(yīng)教育部門疫情期間“停課不停學(xué)”的號(hào)召，實(shí)施網(wǎng)絡(luò)授課，為檢驗(yàn)學(xué)生上網(wǎng)課的效果，高三學(xué)年進(jìn)行了一次網(wǎng)絡(luò)模擬考試.全學(xué)年共1500人，現(xiàn)從中抽取了100人的數(shù)學(xué)成績(jī)，繪制成頻率分布直方圖（如下圖所示）.已知這100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求a，b的值，并估計(jì)抽取的100名同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；
（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從分?jǐn)?shù)在，的兩組同學(xué)中隨機(jī)抽取6名同學(xué)，從這6名同學(xué)中再任選2名同學(xué)作為“網(wǎng)絡(luò)課堂學(xué)習(xí)優(yōu)秀代表”發(fā)言，求這2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率.
21.(12分)如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，.
（1）求直線與平面所成的角的大??；
（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.
22．對(duì)于函數(shù)，，，如果存在實(shí)數(shù)，使得，那么稱為，的生成函數(shù)．
（1）設(shè)，，，，生成函數(shù)．若不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
（2）設(shè)函數(shù)，，是否能夠生成一個(gè)函數(shù)．且同時(shí)滿足：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上的最小值為，若能夠求函數(shù)的解析式，否則說明理由．
廣東省廣州市廣州大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期9月入學(xué)考數(shù)學(xué)試題答案
一、單項(xiàng)選擇題：
二、多項(xiàng)選擇題：
三、填空題：
13． ； 14．89 ； 15．2或5 ； 16． 4
四、17．【答案】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2）．
18.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
，
解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.
19.證明：（1）連接交于點(diǎn)，連接,1分
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，所以,2分
又因?yàn)椋? 3分
所以 .4分
（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?分
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?平面，6分
所以平面，7分
因?yàn)槠矫妫?br>所以.8分
解：（3）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，9分
由，，
得，，10分
記點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，11分
所以.12分
說明：若平面在第2問已經(jīng)證明，則前兩問共9分.
20. 【答案】（1），；中位數(shù)；（2）.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖的面積和為1，則
，得，
又由100人中分?jǐn)?shù)段的人數(shù)比分?jǐn)?shù)段的人數(shù)多6人
則，解得，
中位數(shù)中位數(shù)為
（2）設(shè)“抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)”為事件A，
由題意知，在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取4人，分別用，，，表示，
在分?jǐn)?shù)為的同學(xué)中抽取2人，分別用，表示，
從這6名同學(xué)中抽取2人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有：
，，，，，，，，，，，，，，，共15種
抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的結(jié)果有：，，，，，，，，共8種
所以抽取的2名同學(xué)的分?jǐn)?shù)不在同一組內(nèi)的概率為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖求參數(shù)與中位數(shù)的方法、枚舉法解決古典概型的問題，屬于基礎(chǔ)題.
21.【答案】（1）；（2）.
【解析】解法一：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面平面，平面平面,
則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面，
延長(zhǎng)AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，則，，所以，故，
所以AM與平面BCD所成的角為.
（2）CE是平面與平面的交線.由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為.
因?yàn)椤螧CE=120°，所以∠BCF=60°.，，
所以，所求二面角的正弦值是.
解法二：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.
以O(shè)為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），
M（0，0，），B（0，，0），A（0，，2），
（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.
因（0，，），平面的法向量為.
則有，所以，即AM與平面BCD所成的角為.
（2），.設(shè)平面ACM的法向量為，
由得.
解得，，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.
22：
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
D
C
D
D
B
題號(hào)
9
10
11
12
答案
CD
ABC
ACD
ACD

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