2022-2023學(xué)年山東省青島市即墨區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  觀察下列圖形，是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各式從左邊到右邊的變形中，是因式分解的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  已知一個等腰三角形的兩邊長分別是和，則該等腰三角形的周長為(    )A. 或 B.  C.  D. 或4.  若，則下列式子中錯誤的是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，在軸上，點的坐標(biāo)為，將先繞點順時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移個單位長度，則變換后點的對應(yīng)點坐標(biāo)是(    )A.
B.
C.
D. 6.  如圖，中，平分，的垂直平分線交于點，交于點，連接若，，則的度數(shù)為(    )A.
B.
C.
D. 7.  如圖，直線交坐標(biāo)軸于，兩點，則不等式的解集為(    )A.
B.
C.
D. 8.  已知，，則和的大小關(guān)系中正確的是(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）9.  已知，，則代數(shù)式的值是______ ．10.  在平面直角坐標(biāo)系中，若點在第二象限，則的取值范圍為______ ．11.  如果，那么的值為______．12.  如圖，邊長為的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此時陰影部分的面積為______ ．
 13.  如圖，在中，，平分，，，則的面積為______ ．
14.  若關(guān)于的方程的解是正數(shù)，那么的取值范圍是______ ．15.  如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則方不等式的解集是______ ．
16.  如圖，直線與軸交于點，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形，將沿軸向下平移，當(dāng)點落在直線上時，則平移的距離是______ ．三、解答題（本大題共8小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
如圖，求作：以為底邊的等腰，并且使得點到、的距離相等．
18.  本小題分
將下面各式因式分解：
；
；
．19.  本小題分
解不等式組：
解不等式組，并將解集在數(shù)軸上表示出來．
求不等式組的整數(shù)解．20.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點坐標(biāo)分別是，，．

將向下平移個單位后得到，請畫出；
將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到，請畫出；
判斷以，，為頂點的三角形的形狀．21.  本小題分
某文具店在一次促銷活動中規(guī)定：消費者消費滿元就可享受打折優(yōu)惠期中考試后，小韋同學(xué)在該店為班級買獎品，準(zhǔn)備買支鋼筆和若干本筆記本已知每支鋼筆元，每本筆記本元，那么她至少買多少本筆記本才能享受打折優(yōu)惠？22.  本小題分
如圖，在中，，為邊的中點，過點作，，垂足分別為，．
求證：≌；
若，，求的周長和面積．
23.  本小題分
閱讀下列文字與例題：
將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．
例如：以下兩個式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．
；

試用上述方法分解因式：；           
的三邊長、、滿足，判斷的形狀．24.  本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，為等邊三角形，是軸上一個動點不與原點重合，以線段為一邊在其右側(cè)作等邊三角形．

求點的坐標(biāo)；
在點的運動過程中，的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大??；如改變，請說明理由．
連接，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：選項A、、的圖形都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 2.【答案】 【解析】解：、沒有化為整式的乘積的形式，故不是因式分解，此選項不合題意；
B、，左邊右邊，故此選項不合題意；
C、，是因式分解，故此選項符合題意；
D、是整式的乘法，故此選項不合題意；
故選：．
利用因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，分別分析得出即可．
此題主要考查了因式分解的意義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：當(dāng)腰為時，，
、、不能組成三角形；
當(dāng)腰為時，，
、、能組成三角形，
該三角形的周長為．
故選：．
分腰為和腰為兩種情況考慮，先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定三角形是否存在，再根據(jù)三角形的周長公式求值即可．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，由三角形三邊關(guān)系確定三角形的三條邊長為解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：、，，故正確，不符合題意；
B、，，故正確，不符合題意；
C、，，故正確，不符合題意；
D、，，故錯誤，符合題意；
故選：．
根據(jù)不等式的性質(zhì)，進行計算逐一判斷即可解答．
本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：點的坐標(biāo)為，，
點的坐標(biāo)為，
如圖所示，將先繞點順時針旋轉(zhuǎn)，
則點的坐標(biāo)為，
再向右平移個單位長度，則變換后點的對應(yīng)點坐標(biāo)為，
故選：．

根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)變換后點的對應(yīng)點坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)解答即可．
本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)和平移，掌握旋轉(zhuǎn)變換、平移變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：平分，
，，
，
是的垂直平分線，
，
，
，
故選：．
根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，計算即可．
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
 7.【答案】 【解析】解：由圖可知：當(dāng)時，，即，即，
所以不等式的解集為．
故選：．
寫出直線在軸上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
 8.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故選：．
首先求得，進一步分解因式，利用非負數(shù)的性質(zhì)判定即可．
此題考查完全平方公式的運用，以及非負數(shù)的性質(zhì)，作差比較大小是一種常用的方法．
 9.【答案】 【解析】解：，，
，
故答案為：．
將所求式子因式分解，再整體代入計算即可．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握提公因式法和整體思想．
 10.【答案】 【解析】解：點在第二象限，
點的橫坐標(biāo)是負數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)，
即：，
解得：，
故答案為：．
點在第二象限的條件是：橫坐標(biāo)是負數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)，可得，，求不等式組的解即可
此題主要考查了各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號特征以及解不等式，記住各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號是解決的關(guān)鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 11.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
．
故答案為．
把展開得到，利用恒等變形得到，，然后求出、后計算的值．
本題考查了因式分解十字相乘法等：對于型的式子的因式分解．這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；可以直接將某些二次項的系數(shù)是的二次三項式因式分解：．
 12.【答案】 【解析】解：如圖，設(shè)與交于點，

將邊長為的正方形先向上平移，再向右平移，
，，
，，
陰影部分的面積，
故答案為：．
由平移的性質(zhì)可得，，可求，，即可求解．
本題考查了正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：如圖所示，過作于，

，平分，
，
又，
的面積為，
故答案為：．
過作于，依據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得到的長，進而得出的面積．
本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．
 14.【答案】 【解析】解：方程移項合并得：，
當(dāng)時，解得：，
由解是正數(shù)，得到，
解得：，
故答案為：．
方程移項合并，把系數(shù)化為，表示出解，根據(jù)解為正數(shù)求出的范圍即可．
此題考查了一元一次方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：把代入，得，
解得，
則，
在中，令，則，
因為當(dāng)時，兩直線都在軸上方，且在上方，
即，
所以關(guān)于的不等式的解集為．
故答案為：．
先利用解析式確定點坐標(biāo)，然后結(jié)合函數(shù)圖象寫出兩直線都在軸上方，且在上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
 16.【答案】 【解析】解：，
當(dāng)時，，
解得：，
即，
過作于，

是以為斜邊的等腰直角三角形，
，
即點的坐標(biāo)是，
設(shè)平移的距離為，
則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，
代入得：，
解得：，
即平移的距離是，
故答案為：．
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得、的長度，即得點的坐標(biāo)，表示出的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，即可求出答案．
本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形和平移的性質(zhì)等知識點，能求出的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：如圖所示，即為所求．
 【解析】是以為底邊的等腰三角形，則點在的垂直平分線上，點到、的距離相等，則點在的角平分線上，由此作圖即可．
本題主要考查了線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】解：

；


；


； 【解析】先提公因式，再利用完全平方公式分解；
先提公因式，再利用平方差公式分解；
利用平方差公式，再利用完全平方公式分解．
此題主要考查了分解因式，熟練掌握提公因式，平方差公式以及完全平方公式是解題關(guān)鍵．
 19.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集為：，
數(shù)軸表示如下：

，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集為：，
整數(shù)解為，，，，，． 【解析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出來；
分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而得出整數(shù)解．
本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集的應(yīng)用，注意：解一元一次不等式得步驟是：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成．
 20.【答案】解：如圖所示，即為所求；

如圖所示，即為所求；
的形狀為等腰直角三角形，
，，
，
故的形狀為等腰直角三角形． 【解析】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了平移變換、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定．
利用點平移的坐標(biāo)特征寫出、、的坐標(biāo)，然后描點連線即可得到；
利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出、、的對應(yīng)點、、，從而得到；
根據(jù)勾股定理和勾股定理逆定理解答即可．
 21.【答案】解：設(shè)小韋買本筆記本才能享受打折優(yōu)惠，
依題意得：，
解得：．
為整數(shù)，
的最小值為．
答：小韋至少買本筆記本才能享受打折優(yōu)惠． 【解析】設(shè)小韋買本筆記本才能享受打折優(yōu)惠，根據(jù)總價單價數(shù)量結(jié)合總價不低于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中最小整數(shù)值即可得出結(jié)論．
本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】證明：，，
，
，
，
是的中點，．
在和中，
，
≌；
解：，，
為等邊三角形．
，
，
，
，
，
，
，
的周長為，
連接，

，
，
的面積為． 【解析】根據(jù)，，，可證明再利用是的中點，得出≌即可得出結(jié)論．
根據(jù)，，得出為等邊三角形．然后求出，再根據(jù)題目中給出的已知條件即可算出的周長，連接，利用勾股定理求出，利用面積公式計算面積即可．
此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握．
 23.【答案】解：原式；
因為，所以，所以，所以或，所以的形狀是等腰三角形或等邊三角形． 【解析】此題考查了用提公因式法和公式法分解因式，分組分解法以及等腰三角形和等邊三角形的概念，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
原式后三項提取，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
先把的左邊運用分組分解法進行分解，得出，從而得出或，即可判斷的形狀．
 24.【答案】解：如圖，過點作軸于點，

，
，
為等邊三角形，
，，
，而，
，，
點的坐標(biāo)為；

，始終不變．理由如下：
、均為等邊三角形，
，，，
，
在與中，
，
≌，
；

當(dāng)點在軸負半軸上時，點在點的下方，連接，
，，
，．
又，
，
，，
由可知，≌，
，
此時的坐標(biāo)為；
當(dāng)點在軸正半軸時，點必在第一象限，和不可能平行，
綜上：點的坐標(biāo)為．
 【解析】過點作軸于點，證明，，借助直角三角形的邊角關(guān)系即可解決問題；
證明≌，得到，即可解決問題；
根據(jù)點在的正半軸還是負半軸兩種情況討論，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)以及梯形的性質(zhì)，注意利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．
 

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