?期中選填壓軸題
一、單選題
1．下列給出的四個(gè)命題，真命題的有（????）個(gè)
①若方程兩根為-1和2，則；
②若，則；
③若，則方程一定無解；
④若方程的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，那么，．
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
2．對(duì)于一元二次方程，下列說法：
①若，則；
②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；
②若是一元二次方程的根，則其中正確的（??）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
3．如圖，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別位于格點(diǎn)上，從C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，與點(diǎn)A，B為頂點(diǎn)作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是（?????）

A．1 B．? C．? D．
4．如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，且四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是劣弧AD上一動(dòng)點(diǎn)，PB、PC分別與AD相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．當(dāng)PA＝AB且AE＝EF＝FD時(shí)，AE的長度為（　　）

A． B． C． D．
5．如圖，半徑為1的經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B是直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則BM的最大值為（????）

A． B． C． D．
6．如圖，在等邊中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在上，且，作的外接圓，交于點(diǎn)．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段長度的變化情況為（????）

A．一直不變 B．一直變大 C．先變小再變大 D．先變大再變小
7．如圖，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，射線BD與射線CE交于點(diǎn)P，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中有下列結(jié)論：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值為；③BP存在最小值為；④點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為．其中，正確的（??????）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D是上任一點(diǎn)（不與B、C重合），連接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于點(diǎn)C，AF⊥CF交⊙O于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE?DA；③若AD＝2，則四邊形ABDC的面積為；④若CF＝2，則圖中陰影部分的面積為．正確的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
9．如圖，是等腰直角三角形，，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E，于AB分別相交于點(diǎn)G、H，且DG的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F，分析下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)
10．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG．點(diǎn)F，G分別在邊AD，BC上，連結(jié)OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是（　?。?br />
A．BC﹣AB＝2 B．AC＝2AB C．AF＝CD D．CD+DF＝5
11．如圖，已知上的兩條弦和互相垂直于點(diǎn)，點(diǎn)在弦上，點(diǎn)在弦上，且，連接和，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，射線與線段交于點(diǎn)，若，，則的長為（????）

A． B． C． D．4
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），（4，3），以點(diǎn)C為圓心，2為半徑畫⊙C，點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，連接AP，交⊙C于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則線段MN的最小值為（????）

A． B．3 C． D．
13．如圖，是的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上兩點(diǎn)，連結(jié)，相交于點(diǎn)，連結(jié)，．已知于點(diǎn)，．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則．其中正確的是（????）

A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
14．如圖，AB為⊙O直徑，且AB＝4．點(diǎn)C為半圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），D為弧CB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且CD＝BD＝DE．則CE的最大值為（　?。?br />
A．4﹣4 B．2﹣ C．8﹣4 D．4﹣2
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的直徑2，直線AB的函數(shù)解析式為y＝x﹣1，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，將線段AB作平移變換，使所得的線段的兩端都落在⊙O上，則平移后A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（，）或（，） B．（，）或（，）
C．（，）或（，） D．（，）或（，）
16．如圖，過⊙O外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，過PA上一點(diǎn)Q作切線QC交PB于T，切點(diǎn)為C，且QC⊥PA，若BT＝2，∠TOQ＝75°，則陰影部分的面積為（　?。?br />
A． B． C． D．

二、填空題
17．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說法，正確的有_____（填序號(hào)）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，則；
③若滿足，則關(guān)于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，則必有．
18．對(duì)于有理數(shù)，定義的含義為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若，則的值等于____．
19．閱讀下列材料：求函數(shù)的最大值．
解：將原函數(shù)化為的一元二次方程，得．
因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，所以．
根據(jù)材料給你的啟示，則函數(shù)的最小值是__________．
20．在平面直角坐標(biāo)系Oy中，已知點(diǎn)A（4，3），B（4，4），⊙A的半徑為1，直線l：y＝kx（k≠0），給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)k＝1時(shí)，直線l與⊙A相離；
②若直線l是⊙A的一條對(duì)稱軸，則；
③若直線l與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則；
④若直線l上存在點(diǎn)Q，⊙A上存在點(diǎn)C，使得∠BQC＝90°，則k的最大值為其中正確的是______________（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
21．如圖，在中，，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙為的外接圓，⊙交直線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則的最小值為______________．

22．如圖，是的弦，，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，，連接、，是的中線，（1）若，則____________；（2）的最大值＝______________．

23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑的圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，則CF長度的最大值是______．

24．如圖，正方形OABC的邊長為4，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是______．

25．如圖，以G（0，2）為圓心，半徑為4的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，當(dāng)點(diǎn)E在⊙O的運(yùn)動(dòng)過程中，線段FG的長度的最小值為_____．

26．在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，G分別為射線DA，線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，CE交以DE為直徑的圓于點(diǎn)M，則GM+GN的最小值為_____．

27．如圖，在中，是邊上的中線，以為直徑的⊙交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，，，則______；_______．

28．如圖，正方形ABCD的邊長是4，F(xiàn)點(diǎn)是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)H是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CH為直徑作，連接HF交于E點(diǎn)，連接DE，則線段DE的最小值為______．

29．如圖矩形中，半圓O的直徑為，點(diǎn)E從D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)與半圓O相切時(shí)，_______
（2）點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的外心，則點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路線的長為___________．

30．如圖，在半徑為的中，有，，三點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度在劣弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，以，，，四點(diǎn)中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形（非等邊三角形）時(shí)，的值為__________________．



答案與解析
一、單選題
1．下列給出的四個(gè)命題，真命題的有（????）個(gè)
①若方程兩根為-1和2，則；
②若，則；
③若，則方程一定無解；
④若方程的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，那么，．
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】A
【分析】①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，即可判斷；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判斷；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判斷；④利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．
【解析】①若方程兩根為-1和2，
則，則，即；故此選項(xiàng)符合題意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝＞1或a＝＞1，
∴1﹣a＜0，
∴；此選項(xiàng)符合題意；
③∵，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定無解，故此選項(xiàng)符合題意；
④若方程x2+px+q＝0的兩個(gè)實(shí)根中有且只有一個(gè)根為0，
∴兩根之積為0，
那么p≠0，q＝0，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系等，熟記各計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．
2．對(duì)于一元二次方程，下列說法：
①若，則；
②若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；
③若c是方程的一個(gè)根，則一定有成立；
②若是一元二次方程的根，則其中正確的（??）
A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①②
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)解決此題．
【解析】①當(dāng)x=1時(shí)，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)b2-4ac≥0成立，那么①一定正確．
②方程ax2+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而推斷出②正確．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，得ac2+bc+c=0．當(dāng)c≠0，則ac+b+1=0；當(dāng)c=0，則ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正確．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則ax02+bx0+c＝0成立，那么④正確．
綜上：正確的有①②④，共3個(gè)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)，熟練掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判別式、等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
3．如圖，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F(xiàn)分別位于格點(diǎn)上，從C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，與點(diǎn)A，B為頂點(diǎn)作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是（?????）

A．1 B．? C．? D．
【答案】D
【分析】根據(jù)從C、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，選取D、C、F時(shí)，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．
【解析】解：根據(jù)從C、D、E、F四個(gè)點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，一共有4種可能，選取D、C、F時(shí)，所作三角形是等腰三角形，
故P（所作三角形是等腰三角形）=．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查概率公式和等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟記隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的商．
4．如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，且四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是劣弧AD上一動(dòng)點(diǎn)，PB、PC分別與AD相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．當(dāng)PA＝AB且AE＝EF＝FD時(shí)，AE的長度為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作輔助線，構(gòu)建矩形的對(duì)角線，根據(jù)等邊對(duì)等角得∠ABP＝∠APB，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ACB＝∠ACP，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角得∠ABC＝90°，AE＝EF＝FD得FC＝2FD，∠DCF＝30°，得出∠ACB＝30°，求出BC的長，則可得AD的長，再三等分即可．
【解析】解：連接AC、BD，

∵PA＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACP＝∠DAC，
∴AF＝CF，
∵AE＝EF＝FD，
∴AF=DE=CF，則FC＝2FD，
設(shè)FD＝x，則FC＝AF＝2x，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC=∠BCD＝90°，
∴AC為⊙O的直徑，
在Rt△DFC中，F(xiàn)C＝2FD，
∴∠DCF＝30°，
∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∵⊙O的半徑為1，
∴AC＝2，
∴AB＝1，BC，
∴AD＝BC，
∵AE＝EF＝FD，
∴AE．
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題是有關(guān)圓的計(jì)算題，考查了矩形，含30°的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及圓周角、圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，熟練掌握矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且平分；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．
5．如圖，半徑為1的經(jīng)過平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B是直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則BM的最大值為（????）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，即①當(dāng)B點(diǎn)在x軸上方時(shí)，作△OAB的外接圓，連接OP、AP，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，延長CP交于點(diǎn)B'，則點(diǎn)B在點(diǎn)B'處時(shí)，BM的值最大， 先求得△OPA是等邊三角形，OA= ，從而得OC= AC=OA=，進(jìn)而由勾股定理，得PC=，，從而求得PM=PC-CM=1，即可求得BM的最大值；
②當(dāng)B點(diǎn)在x軸下方時(shí)，結(jié)合①中所求結(jié)果，可求得此時(shí)BM的最大值為，進(jìn)行比較即可．
【解析】解：①當(dāng)B點(diǎn)在x軸上方時(shí)，作△OAB的外接圓，連接OP、AP，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，延長CP交于點(diǎn)B'，如圖：

則點(diǎn)B在點(diǎn)B'處時(shí)，BM的值最大，理由如下：
點(diǎn)B是直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABO = 30°，
∠APO= 2∠ABO = 60°
PO= PA， A，
△OPA是等邊三角形，OA= ，
PO= PA= OA=，
PC⊥OA，
OC= AC=OA=，
M點(diǎn)在B'C上，點(diǎn)B在點(diǎn)B'處時(shí)，BM的值最大，
在Rt△POC中，由勾股定理，得
PC=，
連接OM，如圖：

的半徑為1 ，
.OM=1，
在中，由勾股定理，得
，
PM=PC-CM=，
B'M=PB'+PM=，
此時(shí)，BM的最大值為；
②當(dāng)B點(diǎn)在x軸下方時(shí)，作△OAB的外接圓，連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)C，延長交于點(diǎn)，如圖：

由①可知，，，
∴，
∵，
∴BM的最大值為．
故選： C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理及等邊三角形的判定及性以及平面直角坐標(biāo)系，熟練掌握垂徑定理及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，在等邊中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)分別在上，且，作的外接圓，交于點(diǎn)．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段長度的變化情況為（????）

A．一直不變 B．一直變大 C．先變小再變大 D．先變大再變小
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求ON = 1，F(xiàn)O=OB= GO= OH = 2，則點(diǎn)O在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由勾股定理可求GH， 即可求解．
【解析】如圖，連接BO， EO， FO， GO， HO，過點(diǎn)O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，F(xiàn)O= 2，
OB=GO=OH=2，
∴點(diǎn)O在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=

∵動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP的長是先變小再變大，
∴ GH的長度是先變大再變小，
故選： D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
7．如圖，在Rt△ABC中，，，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，射線BD與射線CE交于點(diǎn)P，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中有下列結(jié)論：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值為；③BP存在最小值為；④點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為．其中，正確的（??????）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根據(jù)，，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可證∠DAB=∠EAC，再證△DAB≌△EAC（SAS），可判斷①△AEC≌△ADB正確；作以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓，當(dāng)CP為⊙A的切線時(shí)，CP最大，根據(jù)△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可證∠P=∠BAC=90°，CP為⊙A的切線，證明四邊形DAEP為正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判斷②CP存在最大值為正確；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判斷③BP存在最小值為不正確；取BC中點(diǎn)為O，連結(jié)AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，當(dāng)AE⊥CP時(shí),CP與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時(shí)sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根據(jù)圓周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，當(dāng)AD⊥BP′時(shí)，BP′與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時(shí)sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根據(jù)圓周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)軌跡為，L=L可判斷④點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為正確即可．
【解析】解：∵，，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．
∴∠DAE=90°，AD=AE=，
∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
故①△AEC≌△ADB正確；

作以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓，當(dāng)CP為⊙A的切線時(shí)，CP最大，
∵△AEC≌△ADB，
∴∠DBA=∠ECA，
∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，
∴∠P=∠BAC=90°，
∵CP為⊙A的切線，
∴AE⊥CP，
∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，
∴四邊形DAEP為矩形，
∵AD=AE，
∴四邊形DAEP為正方形，
∴PE=AE=3，
在Rt△AEC中，CE=，
∴CP最大=PE+EC=3+，
故②CP存在最大值為正確；

∵△AEC≌△ADB，
∴BD=CE=，
在Rt△BPC中，BP最小=，
BP最短=BD-PD=-3，
故③BP存在最小值為不正確；
取BC中點(diǎn)為O，連結(jié)AO，OP，
∵AB=AC=6，∠BAC=90°，
∴BP=CO=AO=，
當(dāng)AE⊥CP時(shí),CP與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時(shí)sin∠ACE=，
∴∠ACE=30°，
∴∠AOP=2∠ACE=60°，
當(dāng)AD⊥BP′時(shí)，BP′與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時(shí)sin∠ABD=，
∴∠ABD=30°，
∴∠AOP′=2∠ABD=60°，
∴點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，OA長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)軌跡為，
∴L= L．
故④點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為正確；
正確的是①②④．
故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，線段中點(diǎn)定義，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的切線，正方形判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，弧長公式，本題難度大，利用輔助線最長準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．
8．如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，D是上任一點(diǎn)（不與B、C重合），連接BD、CD，AD交BC于E，CF切⊙O于點(diǎn)C，AF⊥CF交⊙O于點(diǎn)G．下列結(jié)論：①∠ADC＝60°；②DB2＝DE?DA；③若AD＝2，則四邊形ABDC的面積為；④若CF＝2，則圖中陰影部分的面積為．正確的個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】如圖1，△ABC是等邊三角形，則∠ABC＝60°，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等∠ADC＝∠ABC＝60°，所以判斷①正確；如圖1，可證明△DBE∽△DAC，則，所以DB?DC＝DE?DA，而DB與DC不一定相等，所以判斷②錯(cuò)誤；如圖2，作AH⊥BD于點(diǎn)H，延長DB到點(diǎn)K，使BK＝CD，連接AK，先證明△ABK≌△ACD，可證明S四邊形ABDC＝S△ADK，可以求得S△ADK＝，所以判斷③正確；如圖3，連接OA、OG、OC、GC，由CF切⊙O于點(diǎn)C得CF⊥OC，而AF⊥CF，所以AF∥OC，由圓周角定理可得∠AOC＝120°，則∠OAC＝∠OCA＝30°，于是∠CAG＝∠OCA＝30°，則∠COG＝2∠CAG＝60°，可證明△AOG和△COG都是等邊三角形，則四邊形OABC是菱形，因此OA∥CG，推導(dǎo)出S陰影＝S扇形COG，在Rt△CFG中根據(jù)勾股定理求出CG的長為4，則⊙O的半徑為4，可求得S陰影＝S扇形COG＝＝，所以判斷④正確，所以①③④這3個(gè)結(jié)論正確．
【解析】解：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴∠ADC＝∠ABC＝60°，
故①正確；
∵∠BDE＝∠ACB＝60°，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠ADC，
又∠DBE＝∠DAC，
∴△DBE∽△DAC，
∴,
∴DB?DC＝DE?DA，
∵D是上任一點(diǎn)，
∴DB與DC不一定相等，
∴DB?DC與DB2也不一定相等，
∴DB2與DE?DA也不一定相等，
故②錯(cuò)誤；

如圖2，作AH⊥BD于點(diǎn)H，延長DB到點(diǎn)K，使BK＝CD，連接AK，
∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ABK＝∠ACD，
∴AB＝AC，
∴△ABK≌△ACD（SAS），
∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，
∴DH＝KH＝DK，

∵∠AHD＝90°，∠ADH＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∵AD＝2，
∴DH＝AD＝1，
∴DK＝2DH＝2，，
∴S△ADK＝，
∴S四邊形ABDC＝S△ABD+S△ACD＝S△ABD+S△ABK＝S△ADK＝，
故③正確；
如圖3，連接OA、OG、OC、GC，則OA＝OG＝OC，
∵CF切⊙O于點(diǎn)C，
∴CF⊥OC，
∵AF⊥CF，
∴AF∥OC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAG＝∠OCA＝30°，
∴∠COG＝2∠CAG＝60°，
∴∠AOG＝60°，
∴△AOG和△COG都是等邊三角形，
∴OA＝OC＝AG＝CG＝OG，
∴四邊形OABC是菱形，
∴OA∥CG，
∴S△CAG＝S△COG，
∴S陰影＝S扇形COG，
∵∠OCF＝90°，∠OCG＝60°，
∴∠FCG＝30°，
∵∠F＝90°，
∴FG＝CG，
∵FG2+CF2＝CG2，CF＝，
∴（CG）2+（）2＝CG2，
∴CG＝4，
∴OC＝CG＝4，
∴S陰影＝S扇形COG＝＝，
故④正確，
∴①③④這3個(gè)結(jié)論正確，
故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓切線的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．
9．如圖，是等腰直角三角形，，以斜邊AB上的點(diǎn)O為圓心的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E，于AB分別相交于點(diǎn)G、H，且DG的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F，分析下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)
【答案】C
【分析】連接OD、OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠C=90°，∠A=45°，得到四邊形DCEO是正方形，求得OD=AD=AC=，于是得到HG=2OD=3；故①正確；求得∠EOB=45°，得到∠ODG=135°，得到∠OGD=∠ODG=22.5°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BG=BF，故②正確；根據(jù)角平分線的判定定理得到O在∠ACB的角平分線上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到O是AB中點(diǎn)，求得AD=CD=OD=OE=，得到OG=，根據(jù)勾股定理得到AB=AC=，于是得到AH=BG=，故③正確．
【解析】解：連接OD、OE，

∵⊙O與AC、BC切于點(diǎn)D． E，
∴∠ODC=∠OEC=90°，OE=OD，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=90°,∠A=45°，
∴四邊形DCEO是正方形，
∴OD∥BC，OE=OD，OD⊥AC，
∴△ADO是等腰直角三角形，
∴OD=AD=AC=，
∴HG=2OD=3；故①正確；
∵AC=BC,
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠EOB=45°，
∴∠ODG=135°，
∵OD=OG，
∴∠OGD=∠ODG=22.5°，
∴∠BGF=22.5°，
∵∠BGF+∠F=∠ABC=45°，
∴∠F=22.5°，
∴BG=BF，故②正確；
∵OE=OD，
∴O在∠ACB的角平分線上，
∴O是AB中點(diǎn)，
∴AD=CD，
又∵AC=3，
∴AD=CD=OD=OE=，
∴OG=，
又∵AB=AC=，
∴OB=，
∴BG=OB?OG=，
同理AH=BG=，故③正確；
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形、切線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于正確的作輔助線．
10．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，現(xiàn)將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG．點(diǎn)F，G分別在邊AD，BC上，連結(jié)OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結(jié)論不成立的是（　?。?br />
A．BC﹣AB＝2 B．AC＝2AB C．AF＝CD D．CD+DF＝5
【答案】C
【分析】如圖，設(shè)⊙O與BC的切點(diǎn)為M，連接MO并延長MO交AD于點(diǎn)N，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OG＝DG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2即可判斷A；設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，推出⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r＝（a+b﹣c），根據(jù)勾股定理得到BC+AB＝2+4，AC＝＝2（1+），即可判斷B；再設(shè)DF＝x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N＝3+﹣1﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1，由勾股定理可得x＝4﹣，即可判斷D和C．
【解析】解：如圖，設(shè)⊙O與BC的切點(diǎn)為M，連接MO并延長MO交AD于點(diǎn)N，
∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，折痕為FG，
∴OG＝DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC＝90°，
∵∠MOG+∠MGO＝90°，
∴∠MOG＝∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
，
∴△OMG≌△GCD，（AAS），
∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．
∵AB＝CD，
∴BC﹣AB＝2．故A正確；
設(shè)AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，
⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓可得r＝（a+b﹣c），
∴c＝a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，
又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，
解得a1＝1﹣（舍去），a2＝1+，
∴BC+AB＝2+4，
∴AB＝1+，BC＝3+，
∴AC＝＝2（1+），
∴AC＝2AB；故B正確；
再設(shè)DF＝x，在Rt△ONF中，F(xiàn)N＝3+﹣1﹣x=2+﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1=，
由勾股定理可得（2+﹣x）2+（）2＝x2，
解得x＝4﹣，
∴CD﹣DF＝+1﹣（4﹣）＝2﹣3，CD+DF＝+1+4﹣＝5，故D正確；
∴AF＝AD﹣DF＝2﹣1，
∴AF≠CD，故C錯(cuò)誤；
故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查的是矩形與折疊問題和圓的綜合大題，掌握矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、內(nèi)切圓的性質(zhì)和利用勾股定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵．
11．如圖，已知上的兩條弦和互相垂直于點(diǎn)，點(diǎn)在弦上，點(diǎn)在弦上，且，連接和，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，射線與線段交于點(diǎn)，若，，則的長為（????）

A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】連接，，，由題意并結(jié)合中位線定理可知PO=QO，且PO⊥QO，進(jìn)而可知 為等腰直角三角形，然后計(jì)算，過Q作QM垂直于BC，在中由勾股定理計(jì)算出，再在中由勾股定理計(jì)算的長即可．
【解析】解：連接，，，如圖，
∵，
∴，
∴為直徑，
∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
∴且，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
過點(diǎn)作交于，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴在中，由勾股定理可知，即，
解得，
在中，，
∴，
∴，
由勾股定理可知，即，
整理，得，
解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，能夠構(gòu)造適合的輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），（4，3），以點(diǎn)C為圓心，2為半徑畫⊙C，點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，連接AP，交⊙C于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則線段MN的最小值為（????）

A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，連接ON交⊙O于點(diǎn)，連接CM，??由點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，得，從而得點(diǎn)M在⊙O上，由勾股定理得，進(jìn)而求得MN的最小值．
【解析】解：以點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，連接ON交⊙O于點(diǎn)，連接CM，

點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)M在⊙O上運(yùn)動(dòng)，
N（4，3），
，
即，
，
MN的最小值為3，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理，構(gòu)造輔助線，找出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，是的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)是半圓上兩點(diǎn)，連結(jié)，相交于點(diǎn)，連結(jié)，．已知于點(diǎn)，．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則．其中正確的是（????）

A．①②③ B．②③④ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】證明AC2+BC2=AB2=4即可判斷①；根據(jù)OD⊥AC，得到∠DAE+∠ADO=90°，根據(jù)∠DAE=∠DBC，即可判斷②；推出△AOD是等邊三角形，即可判斷③；利用全等三角形的性質(zhì)證明DE=BC，再利用三角形的中位線定理證明BC=2OE即可判斷④．
【解析】解：∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，
∴AC2+BC2=AB2=4，
由已知條件無法得到AD與BC之間的大小關(guān)系，
故無法得到與4的大小關(guān)系，故①錯(cuò)誤；
∵OD⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠DAE+∠ADO=90°，
∵∠DAE=∠DBC，
∴∠DBC+∠ADO=90°，故②正確；
∵AE⊥OE，
∴，
∵AC=BD，
∴，
∴，
∴∠AOD=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∵AE⊥OD
∴DE=OE，故③正確，
∵∠DEP=∠BCP=90°，DP=PB，∠DPE=∠BPC，
∴△PDE≌△PBC（AAS），
∴DE=BC，
∵OE∥BC，AO=OB，
∴AE=EC，
∴BC=2OE，
∴DE=2OE，故④正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
14．如圖，AB為⊙O直徑，且AB＝4．點(diǎn)C為半圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），D為弧CB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，且CD＝BD＝DE．則CE的最大值為（　?。?br />
A．4﹣4 B．2﹣ C．8﹣4 D．4﹣2
【答案】A
【分析】設(shè)，利用等弦對(duì)等弧，等弧所對(duì)的圓周角相等，等邊對(duì)等角，三角形的外角的性質(zhì)，通過角度的變換求得，確定的位置，進(jìn)而證明，得到的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓弧，進(jìn)而根據(jù)直徑是最長的弦求解即可．
【解析】解：延長，交于點(diǎn)，連接，OF

設(shè)

CD＝BD


為直徑



















在以點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，
，當(dāng)為的直徑時(shí)，取得最大值，最大值為
故選A
【點(diǎn)睛】本題考查了等弧所對(duì)的圓周角相等，弦與弧之間關(guān)系，找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，理解直徑是最長的弦是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的直徑2，直線AB的函數(shù)解析式為y＝x﹣1，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，將線段AB作平移變換，使所得的線段的兩端都落在⊙O上，則平移后A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。?br />
A．（，）或（，） B．（，）或（，）
C．（，）或（，） D．（，）或（，）
【答案】A
【分析】根據(jù)條件先計(jì)算圖1中的直角△AOB的三邊長，得∠BOA＝30°；根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，同位角相等，可以得不管直線AB向上或向下平移與x軸夾角都是30°，分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)直線AB向下平移時(shí)，如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形及平移后的點(diǎn)A′與兩坐標(biāo)軸的垂線，由30°角的性質(zhì)和三角函數(shù)求出A′Q和OQ的長，寫出點(diǎn)A′的坐標(biāo)即可；②同理在圖3中求出A′的坐標(biāo)．
【解析】解：如圖﹣1，在函數(shù)，令x＝0，得到y(tǒng)＝﹣1，

∴ B（0，﹣1）． 同理可以得到，
∴在Rt△AOB中，．
∴AB＝2，∠OAB＝30°．
∴直線與x軸的夾角總是30° （銳角）．
∵直線AB在平移過程中，不會(huì)改變k值，
∴平移后的直線與x軸的夾角仍然是30°．
以下分兩種情況：
當(dāng)直線向下平移到如圖﹣2位置．

則有∠OCA1＝30°，A1B1＝2．
過O點(diǎn)作OD⊥A1B1于點(diǎn)D，過點(diǎn)A1作 A1E⊥OC，連接 OA1．
在等腰三角形OA1B1中，根據(jù)“三線合一”，得到，
∵半徑，在Rt△ODA1中，根據(jù)勾股定理可以求得．
∴在Rt△OCD中，∠OCA1＝30°，．
∴，．
∴．
∴在Rt△ECA1中， ，
∴．
∴ ．
∵點(diǎn)A1在第四象限，所以點(diǎn)；
當(dāng)直線向上平移到如圖﹣3位置．

∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換--平移，明確平移前后的兩線段相等且平行，本題根據(jù)已知直線的解析式求出線段的長，得出30°角是關(guān)鍵，采用了分類討論的思想，分別向上平移和向下平移；構(gòu)建對(duì)應(yīng)的直角三角形，與特殊的三角函數(shù)、勾股定理相結(jié)合得出結(jié)論．
16．如圖，過⊙O外一點(diǎn)P作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，過PA上一點(diǎn)Q作切線QC交PB于T，切點(diǎn)為C，且QC⊥PA，若BT＝2，∠TOQ＝75°，則陰影部分的面積為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接OC．證明∠COT＝∠BOT＝30°，求出OB，根據(jù)S陰＝2S△OBT﹣S扇形OBC求解即可．
【解析】解：連接OC．

∵PA，QC 是⊙O的切線，
∴∠A＝∠QCO＝90°，
∵CQ⊥PA，
∴∠QCO＝90°，
∴四邊形AOCQ是矩形，
∵OA＝OC，
∴四邊形AOCQ是正方形，
∴∠QOC＝45°，
∵∠QOT＝75°，
∴∠COT＝30°，
∵TC，TB是⊙O的切線，
∴∠OBT＝∠OCT＝90°，∠COT＝∠BOT＝30°，
在Rt△OBT中，∠BOT＝30°，BT＝2，
∴OBBT＝2，
∴S陰＝2S△OBT﹣S扇形OBC＝22×242π．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，切線的性質(zhì)，解直角三角形，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題．

二、填空題
17．如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另外一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于“倍根方程”的說法，正確的有_____（填序號(hào)）．
①方程是“倍根方程”；
②若是“倍根方程”，則；
③若滿足，則關(guān)于x的方程是“倍根方程”；
④若方程是“倍根方程”，則必有．
【答案】②③④
【分析】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；
②根據(jù)“倍根方程”和其中一個(gè)根，可求出另一個(gè)根，進(jìn)而得到m，n之間的關(guān)系；
③當(dāng)滿足時(shí)，有，求出兩個(gè)根，再根據(jù)代入可得兩個(gè)根之間的關(guān)系，講而判斷是否為“倍根方程”；
④用求根公式求出兩個(gè)根，當(dāng)或時(shí)，進(jìn)一步化簡，得出關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可．
【解析】①解方程，得，
，
方程不是“倍根方程”．故①不正確；
②是“倍根方程”，且，
因此或．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，故②正確；
③，
，
，
，
因此是“倍根方程”，故③正確；
④方程的根為，
若，則，
即，
，
，
，
，
，
若，則，
，
，
，
，
．故④正確，
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定義的倍根方程的意義，理解倍根方程的意義和正確求出方程的解是解決問題的關(guān)鍵．
18．對(duì)于有理數(shù)，定義的含義為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若，則的值等于____．
【答案】
【分析】根據(jù)6m-4n-m2-n2與13的大小，確定m，n的值．
【解析】解：∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，
∴13≤6m-4n-m2-n2．
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0．
解得m=3，n=-2．
∴mn=3-2=．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題意理解新定義的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
19．閱讀下列材料：求函數(shù)的最大值．
解：將原函數(shù)化為的一元二次方程，得．
因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，所以．
根據(jù)材料給你的啟示，則函數(shù)的最小值是__________．
【答案】
【分析】將原函數(shù)化為的一元二次方程，再利用?求解即可得到答案.
【解析】將原函數(shù)化為的一元二次方程，得，
∵x為實(shí)數(shù)，
∴，
∴，
∴函數(shù)的最小值是，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解材料中的解題方法和思路是解題的關(guān)鍵.
20．在平面直角坐標(biāo)系Oy中，已知點(diǎn)A（4，3），B（4，4），⊙A的半徑為1，直線l：y＝kx（k≠0），給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)k＝1時(shí)，直線l與⊙A相離；
②若直線l是⊙A的一條對(duì)稱軸，則；
③若直線l與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則；
④若直線l上存在點(diǎn)Q，⊙A上存在點(diǎn)C，使得∠BQC＝90°，則k的最大值為其中正確的是______________（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
【答案】②③④
【分析】①當(dāng)k＝1時(shí)，直線l過點(diǎn)B，得到直線l與⊙A相交；
②根據(jù)直線l是⊙A的一條對(duì)稱軸，判定直線過圓心A，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)值計(jì)算出；
③根據(jù)切線的性質(zhì)得到進(jìn)行判斷；
④做AC平行于軸，交直線⊙A于點(diǎn)C，QC平行于軸，BQ平行于軸, QC、BQ相交于點(diǎn)Q，計(jì)算出Q的坐標(biāo)，得出，再根據(jù)時(shí)C不在⊙A上得出是最大值．
【解析】①如下圖所示，當(dāng)k＝1，直線l的表達(dá)式為：y＝x

當(dāng)時(shí)，
∴直線l過點(diǎn)B
∵⊙A的半徑為1
∴BA=1
∴點(diǎn)B在⊙A上
故當(dāng)k＝1時(shí)，直線l與⊙A相離錯(cuò)誤；
②如下圖所示

∵圓的對(duì)稱軸必須過圓心
∴直線l經(jīng)過圓心A
∴
∴
∴若直線l是⊙A的一條對(duì)稱軸，則正確；
③如下圖所示
∵直線l與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)P
∴直線l與⊙A相切，且存在和兩個(gè)切點(diǎn)

∵
∴
∵，AP=1
∴
∵
∴
∴若直線l與⊙A只有一個(gè)公共點(diǎn)P，則正確；
④如下圖所示，AC平行于軸，交直線⊙A于點(diǎn)C
作QC平行于軸，作BQ平行于軸, QC、BQ相交于點(diǎn)Q

∵QC∥軸，BQ∥軸，AB=AC
∴∠BQC＝90°，四邊形QCAB是正方形
∴QB=1
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）
∵直線l：y＝kx過點(diǎn)Q
∴
∴
當(dāng)時(shí)，如圖所示，直線移動(dòng)至，點(diǎn)移動(dòng)至，點(diǎn)C移動(dòng)至
∵，QC為⊙A的切線， ∥QC
∴當(dāng)時(shí)，直線與⊙A相離，點(diǎn)不在⊙A上
∴若直線l上存在點(diǎn)Q，⊙A上存在點(diǎn)C，使得∠BQC＝90°，則k的最大值為
故答案為：②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)和直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)．
21．如圖，在中，，，，是內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，⊙為的外接圓，⊙交直線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，若，則的最小值為______________．

【答案】
【分析】先求出∠ACB=∠CDP=30°，得到∠BDC=150°，則點(diǎn)D在以BC為弦，∠BDC=150°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的圓弧所在圓的圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，則∠BNC=30°，當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最小值，再證明△BMC是等邊三角形，得到∠MCB=60°，MC=BC=6，推出∠ACM=90°，利用勾股定理求出AM的長即可求出AD的長．
【解析】解：∵AE=CP，
∴∠ACB=∠CDP=30°，
∴∠BDC=150°，
∴點(diǎn)D在以BC為弦，∠BDC=150°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，
如圖所示，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的圓弧所在圓的圓心為M，取優(yōu)弧BC上一點(diǎn)N，連接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
∴∠BNC=30°，當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，AD有最小值，
∴∠BMC=60°，
又∵M(jìn)B=MC，
∴△BMC是等邊三角形，
∴∠MCB=60°，MC=BC=6，
∵∠ACB=30°，
∴∠ACM=90°，
∴，
∴，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，確定點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，是的弦，，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，，連接、，是的中線，（1）若，則____________；（2）的最大值＝______________．

【答案】???? ????
【分析】（1）如圖，延長交于點(diǎn)D，連接，根據(jù)，由圓周角定理得到，再根據(jù)已知，可得到，所以是的直徑，再根據(jù)是的中線，由垂徑定理的推論得到，最后利用勾股定理可求解；
（2）如圖，連接、，由圓周角定理得到，然后利用勾股求出圓的半徑，再根據(jù)點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，是的中線，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系定理可得到，，當(dāng)為的直徑時(shí)最大，這時(shí)可求得的最大值．
【解析】解：（1）如圖，延長交于點(diǎn)D，連接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的直徑，
∵是的中線，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得．
故答案為：

（2）如圖，連接、，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵點(diǎn)P是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)，是的中線，
∴，，
即，
當(dāng)為的直徑時(shí)最大，此時(shí)，
即
∴的最大值為．
故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓與三角形的綜合問題—?jiǎng)狱c(diǎn)問題，主要考查了圓周角定理、垂徑定理的推論、勾股定理、三角形的三邊關(guān)系定理等知識(shí)．發(fā)現(xiàn)當(dāng)為的直徑時(shí)可使取得最大值是解決問題的關(guān)鍵．
23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是以點(diǎn)B為圓心，BD長為半徑的圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，則CF長度的最大值是______．

【答案】
【分析】如圖，延長AC到T，使得CT=AC，連接BT，TE，BE．再證明CF=ET，求出ET的最大值即可．
【解析】解：如圖，延長AC到T，使得CT=AC，連接BT，TE，BE．

∵AC=CT，BC⊥AT，
∴BA=BT，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=3，
∴∠BAT=60°，AC=BC?tan30°=3，
∴AB=2AC=6，
∴△ABT是等邊三角形，
∴BT=AB=6，
∵AD=BD=BE，
∴BE=3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值為9，
∵AC=CT，AF=FE，
∴CF=ET，
∴CF的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線、構(gòu)造三角形的中位線是解答本題的關(guān)鍵．
24．如圖，正方形OABC的邊長為4，以O(shè)為圓心，EF為直徑的半圓經(jīng)過點(diǎn)A，連接AE，CF相交于點(diǎn)P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是______．

【答案】
【分析】連接AF，根據(jù)題意可確定，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是以G為圓心的弧，在⊙G上取一點(diǎn)H，連接EH、FH．根據(jù)圓周角定理可求出，，即可推出，從而求出．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求出，即得出，從而求出，進(jìn)而可利用勾股定理求圓G的半徑，最后利用弧長公式計(jì)算即可．
【解析】解：如圖，連接AF，
∵四邊形AOCB是正方形，
∴，
∴，
∵EF是⊙O直徑，
∴，
∴，
∴．
∵，為定值，
∴點(diǎn)P在是以點(diǎn)G為圓心，GE為半徑的圓上，運(yùn)動(dòng)的路徑為以點(diǎn)G為圓心的劣弧EF．

∵，
∴，
∴．
∵在中，，即，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查正方形的性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，較難，屬于中考填空題中的壓軸題．正確添加輔助線并確定軌跡的路線是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，以G（0，2）為圓心，半徑為4的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙G上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于F，當(dāng)點(diǎn)E在⊙O的運(yùn)動(dòng)過程中，線段FG的長度的最小值為_____．

【答案】2﹣2
【分析】作 GM⊥AC 于 M ，連接 AG ．因?yàn)?∠AFC=90° ，推出點(diǎn) F 在以 AC 為直徑的 ⊙M 上推出當(dāng)點(diǎn) F 在 MG 的延長線上時(shí)， FG 的長最小，最小值 =FM?GM ，求出 FM 、 GM 即可解決問題．
【解析】解：過G作GM⊥AC于M，連接AG，如圖所示：

∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵G（0，2），
∴OG＝2，
在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝＝2，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴點(diǎn)F在以AC為直徑的⊙M上，
當(dāng)點(diǎn)F在MG的延長線上時(shí)，F(xiàn)G的長最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，
故答案為：2﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、直角三角形30度角的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
26．在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，G分別為射線DA，線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，CE交以DE為直徑的圓于點(diǎn)M，則GM+GN的最小值為_____．

【答案】##
【分析】作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，，由題意可得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)通過作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的方式可以將進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)而即可求解．
【解析】解：如圖所示，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，，．

可得，
在以為直徑的圓上，
，
為直角三角形，點(diǎn)M在以CD為直徑的圓上，
為斜邊的中點(diǎn)，
，
此時(shí)當(dāng)，，三邊共線時(shí)，有長度的最小值等于，
，分別是，的中點(diǎn)，
，，
，
，
長度的最小值為，??
，
的最小值為，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱問題、勾股定理、直角三角形斜邊中線定理及圓的基本性質(zhì)，本題的重難點(diǎn)在于找出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，屬于中等題．
27．如圖，在中，是邊上的中線，以為直徑的⊙交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，，，則______；_______．

【答案】???? ???? 6
【分析】（1）連接OD，由三角形中位線的性質(zhì)得出ODAC，根據(jù)條件即三角形外角性質(zhì)得到，利用弧長公式直接求出；
（2）根據(jù)圓周角定理求得AD⊥BC，即可得出AD是BC的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝AC，再根據(jù)MN⊥AC于點(diǎn)M，BG⊥MN于G，以及對(duì)頂角相等即可證得，從而，即可得到．
【解析】解：（1）連接，如圖所示：

∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∵以為直徑的⊙中BO＝OA，
∴OD是△ABC的中位線，
∴ODAC，
，
，
是的一個(gè)外角，
，
；
（2）∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
∵以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴AB＝AC，
∵M(jìn)N⊥AC于點(diǎn)M，BG⊥MN于G，
∴∠BGD＝∠DMC＝90°，
在和中，
，
∴，
,
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長及求線段長，涉及到中線性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、弧長公式、圓周角定理、中垂線的判定與性質(zhì)、兩個(gè)三角形全等的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確做出輔助線并熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．
28．如圖，正方形ABCD的邊長是4，F(xiàn)點(diǎn)是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)H是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CH為直徑作，連接HF交于E點(diǎn)，連接DE，則線段DE的最小值為______．

【答案】##
【分析】連接CE，取CF的中點(diǎn)M，連接EM，DM，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可知點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)以CF為直徑的上，可推出，由勾股定理可得，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系得出當(dāng)且僅當(dāng)D、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE取得最小值，即可求解。
【解析】解：連接CE，取CF的中點(diǎn)M，連接EM，DM，
∵CH為直徑，
∴ ，
，
則點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)以CF為直徑的上，
，
∵正方形ABCD的邊長是4，F(xiàn)點(diǎn)是BC邊的中點(diǎn)，
， ，
，
在 中，
，
，
∴當(dāng)且僅當(dāng)D、E、M三點(diǎn)共線時(shí)，線段DE取得最小值，
最小值為： ．
故答案為： ．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角等于90度，90度圓周角所對(duì)的弦是直徑，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，綜合掌握以上知識(shí)，并能正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
29．如圖矩形中，半圓O的直徑為，點(diǎn)E從D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)與半圓O相切時(shí)，_______
（2）點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的外心，則點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)路線的長為___________．

【答案】???? 2????
【分析】（1）根據(jù)題意求得，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)切線長定理可得的長度，在中，，勾股定理建立方程求解即可；
（2）根據(jù)題意，分別求得時(shí)，的長度，即可求得點(diǎn)頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線的長度．
【解析】（1）如圖，過點(diǎn)作
四邊形是矩形，，
,
是的切線，
四邊形是矩形，
點(diǎn)E從D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從B出發(fā)以每秒2個(gè)單位長度向A運(yùn)動(dòng)，




，，，
與半圓O相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為



在中，

解得（舍去）
當(dāng)與半圓O相切時(shí)， ，
故答案為：2
（2）如圖，當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)N是的外心

在的垂直平分線上
是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，






在中，
在中，
即
解得
如圖，當(dāng)時(shí)，

中，

過點(diǎn)作
則四邊形是矩形




中,又

解得
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，切線長定理，切線的判定，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
30．如圖，在半徑為的中，有，，三點(diǎn)在圓上，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始以的速度在劣弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，以，，，四點(diǎn)中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形（非等邊三角形）時(shí)，的值為__________________．

【答案】 或
【分析】分別討論①P、B、A三點(diǎn)；②P、B、C三點(diǎn)；③P、A、C三點(diǎn)；A、B、C三點(diǎn)；利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出弧BP的圓心角，再由弧長公式計(jì)算弧長，進(jìn)而解答；
【解析】解：∵∠BAC=75°，
∴∠BOC=150°，
∵∠BOA=90°，
∴∠AOC=120°，
①P、B、A三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，BA=BP時(shí)如圖，

△OBA≌△OPB（SSS），∠BOP=∠BOA=90°，弧BP的長=，
t==7.5（s）；
PB=PA時(shí)如圖，

△OPB≌△OPA（SSS），∠BOP=（360°-90°）=135°，弧BP的長=，
t==11.25（s）；
②P、B、C三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，PB=PC時(shí)如圖，

△POB≌△POC（SSS），∠BOP=∠BOC=75°，弧BP的長=，
t==6.25（s）；
③P、A、C三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，如圖，

∵∠APC=∠AOC=60°，
∴△PAC是等邊三角形，不符合題意；
④∵AB，AC，BC三邊互不相等，∴A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成等腰三角形；
綜上所述t的值為：6.25（s），7.5（s），11.25（s）；
故答案為：6.25（s） 7.5（s） 11.25（s）
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)；根據(jù)題意作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．


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