?專題04 期中選填壓軸題（第1-4章）
一、單選題
1．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分線AE交CD于E，連接BE，且BE邊平分∠ABC，得到如下結(jié)論：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，則BE的取值范圍為0＜BE＜x，那么以上結(jié)論正確的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
2．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．其中正確的有（ ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
3．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交下點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，∠AEB的平分線交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH．則下列結(jié)論：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正確的有（ ）個(gè)．

A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2022·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（ ）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，銳角△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于點(diǎn)F．若∠BAC=40°，則∠BFC的大小是（ ）

A．105° B．110° C．100° D．120°
6．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②當(dāng)∠C=60°時(shí)，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)
7．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，連接FG，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BG，CF， 則下列結(jié)論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)在一條直線上，分別以，為邊作等邊三角形、，連接、，分別交、于點(diǎn)，相交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法：①；；③；④；⑤連接，則平分．其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)為（ ）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
9．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△AOB和△DOC中，，，，．連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)

A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期中）如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段下列結(jié)論：①可以由繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與的距離為4；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
11．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則的值為（ ）

A．13 B．12 C．11 D．10
12．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF交AP于點(diǎn)G，以下五個(gè)結(jié)論：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互補(bǔ)；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的，其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
13．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正確的有（ ）

A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
14．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，如果勾股形的三邊長(zhǎng)為三個(gè)正整數(shù)，則稱三邊長(zhǎng)叫“勾股數(shù)”；如果勾股形的兩直角邊長(zhǎng)為正整數(shù)，那么稱斜邊長(zhǎng)的平方叫“整弦數(shù)”對(duì)于以下結(jié)論：①20是“整弦數(shù)”；②兩個(gè)“整弦數(shù)”之和一定是“整弦數(shù)”；③若c2為“整弦數(shù)”，則c不可能為正整數(shù)；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均為正整數(shù)，則m與n之積為“整弦數(shù)”；⑤若一個(gè)正奇數(shù)（除1外）的平方等于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，則這個(gè)正奇數(shù)與這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
15．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折，得到，與交于點(diǎn)F，連接．若，則點(diǎn)C到的距離為（ ）

A． B． C． D．
16．（2022·重慶大足·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，，于E，于F，交于H，、的延長(zhǎng)線交于E，給出下列結(jié)論：

①； ②；
③； ④若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，則；
其中正確的結(jié)論有（ ）．
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
17．（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）如圖，在三角形，，，是上中點(diǎn)，是射線上一點(diǎn)．是上一點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)在上，連接，，，，則的長(zhǎng)為（ ）

A． B．8 C． D．9
18．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)拔萃實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點(diǎn)E，連接，分別交于點(diǎn)F、G，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，，則下列結(jié)論：①；②是等腰三角形；③；④．其中正確的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

二、填空題
19．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，OF⊥AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四邊形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正確結(jié)論是 ___．

20．（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝_______°．

21．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，，，．是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，則的值為______．

22．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，與在直線的異側(cè)，直線交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，則______．

23．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，D、E是內(nèi)兩點(diǎn)．AD平分，，若，則______cm．

24．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E；連接，則下列結(jié)論正確的是___________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

①； ②當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，﹔
③若，則； ④若，則面積的最大值為2．
25．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿BD所在直線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．如圖，若，則C，E兩點(diǎn)之間的距離為________．

26．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若記表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分例如：， ，則（其中“”“”依次相間）的值為___________
27．（2022·甘肅白銀·八年級(jí)期末）我們經(jīng)過(guò)探索知道，，，，若已知，則_______（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．
28．（2022·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第四中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為上的點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)度為_________．

29．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)D、E是線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N，直線BD與直線NE相交于點(diǎn)F．當(dāng)時(shí)，___________．

30．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊上方作等邊三角形，連接，設(shè)的長(zhǎng)度為，則的取值范圍為______．

31．（2022·四川成都·八年級(jí)期末）如圖，中，，，，點(diǎn)D為斜邊上一點(diǎn)，且，以為邊、點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)作，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．

32．（2022·陜西·西北大學(xué)附中八年級(jí)期末）如圖，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過(guò)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分；其中正確的結(jié)論是___________．（填正確結(jié)論的序號(hào)）


答案與解析
一、單選題
1．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．若∠DAB的角平分線AE交CD于E，連接BE，且BE邊平分∠ABC，得到如下結(jié)論：①∠AEB＝90°；②BC+AD＝AB；③BE＝CD；④BC＝CE；⑤若AB＝x，則BE的取值范圍為0＜BE＜x，那么以上結(jié)論正確的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②⑤
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠ABC+∠BAD＝180°，又BE、AE都是角平分線，可以推出∠ABE+∠BAE＝90°，從而得到∠AEB＝90°，然后延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，先證明△ABE與△FBE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE＝EF，然后證明△AED與△FEC全等，從而可以證明①②⑤正確，AB與CD不一定相等，所以③④不正確．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AE、BE分別是∠BAD與∠ABC的平分線，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°，
故①小題正確；
如圖，延長(zhǎng)AE交BC延長(zhǎng)線于F，

∵∠AEB＝90°，
∴BE⊥AF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
在△ABE與△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AB＝BF，AE＝FE，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠F，
在△ADE與△FCE中， ，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝CF，
∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，故②小題正確；
∵△ADE≌△FCE，
∴CE＝DE，即點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，
∵BE與CE不一定相等
∴BE與CD不一定相等，故③小題錯(cuò)誤；
若AD＝BC，則CE是Rt△BEF斜邊上的中線，則BC＝CE，
∵AD與BC不一定相等，
∴BC與CE不一定相等，故④小題錯(cuò)誤；
∵BF＝AB＝x，BE⊥EF，
∴BE的取值范圍為0＜BE＜x，故⑤小題正確．
綜上所述，正確的有①②⑤．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，證明BE⊥AF并作出輔助線是解題的關(guān)鍵，本題難度較大，對(duì)同學(xué)們的能力要求較高．
2．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，分別為邊上的高，相交于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論：①；②；③；④若，則周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．其中正確的有（ ）

A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④
【答案】B
【分析】證明△BDF≌△ADC，可判斷①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延長(zhǎng)CF交AB于H，證明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判斷③；根據(jù)①可以得到E是AC的中點(diǎn)，然后可以推出EF是AC的垂直平分線，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)可判斷④．
【解析】解：∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，F(xiàn)D=CD，故①正確，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②錯(cuò)誤；
延長(zhǎng)CF交AB于H，

∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正確；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周長(zhǎng)=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周長(zhǎng)等于AB，故④正確，
綜上：①③④正確，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，也考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定，也利用了三角形的周長(zhǎng)公式解題，綜合性比較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高．＜
3．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交下點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G，∠AEB的平分線交CG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接AH．則下列結(jié)論：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正確的有（ ）個(gè)．

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】①利用三角形內(nèi)角和定理即可說(shuō)明其正確；②利用垂直平分線的性質(zhì)即可說(shuō)明其正確；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的結(jié)論結(jié)合等量代換和等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；⑤利用③中的結(jié)論結(jié)合等量代換和等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解析】
如圖所示，設(shè)EH與AD交于點(diǎn)M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正確；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF為等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分線，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH為AF的垂直平分線，
∴AH＝HF，
∴②正確；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正確；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正確；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正確，
綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為5個(gè)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與邊的關(guān)系．
4．（2022·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)C是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（ ）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP=BQ；故③正確；
②根據(jù)②△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可知②正確；
④根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯(cuò)誤；
⑤利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正確．
【解析】①∵等邊△ABC和等邊△DCE，
∴BC=AC,DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
故①正確；
③∵△ACD≌△BCE(已證)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠ECD=60°(已證)，
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°，
∴∠ACB=∠BCQ=60°，
在△ACP與△BCQ中，
∠CAD=∠CBE，AC=BC，∠ACB=∠BCQ=60°，
∴△ACP≌△BCQ(ASA)，
∴AP=BQ；
故③正確；
②∵△ACP≌△BCQ，
∴PC=QC，
∴△PCQ是等邊三角形，
∴∠CPQ=60°，
∴∠ACB=∠CPQ，
∴PQ∥AE；
故②正確；
④∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD?AP=BE?BQ，
即DP=QE，
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠Q(mào)E，
則DP≠DE，故④錯(cuò)誤；
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③⑤，錯(cuò)誤的結(jié)論只有④，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，此圖形是典型的“手拉手”模型，熟練掌握此模型的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，銳角△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于點(diǎn)F．若∠BAC=40°，則∠BFC的大小是（ ）

A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)C′D交AB′于H．利用全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)證明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解決問(wèn)題．
【解析】解：如圖延長(zhǎng)C′D交AB′于H．

∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，能熟記全等三角形的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．
6．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分線AE，BF相交于點(diǎn)O，AE交BC于E，BF交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，下列三個(gè)結(jié)論：①∠AOB=90°+∠C；②當(dāng)∠C=60°時(shí)，AF+BE=AB；③若OD=a，AB+BC+CA=2b，則S△ABC=ab．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)
【答案】B
【分析】由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解∠AOB與∠C的關(guān)系，進(jìn)而判定①；在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再證得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，進(jìn)而判定②正確；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根據(jù)三角形的面積可證得③正確．
【解析】解：∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°?∠OBA?∠OAB＝180°?∠CBA?∠CAB
＝180°?（180°?∠C）＝90°＋∠C，①錯(cuò)誤；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC＋∠ABC＝120°，
∵AE，BF分別是∠BAC與ABC的平分線，
∴∠OAB＋∠OBA＝（∠BAC＋∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如圖，在AB上取一點(diǎn)H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分線，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°?60°?60°＝60°，

∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH＋AH＝BE＋AF，故②正確；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，

∵∠BAC和∠ABC的平分線相交于點(diǎn)O，
∴點(diǎn)O在∠C的平分線上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB＋AC＋BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM＋×AC×OH＋×BC×OD＝（AB＋AC＋BC）?a＝ab，③正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，連接FG，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BG，CF， 則下列結(jié)論：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正確的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】證得△CAF≌△GAB（SAS），從而推得①正確；利用△CAF≌△GAB及三角形內(nèi)角和與對(duì)頂角，可判斷②正確；證明△AFM≌△BAD（AAS），得出FM=AD，∠FAM=∠ABD，則③正確，同理△ANG≌△CDA，得出NG=AD，則FM=NG，證明△FME≌△GNE（AAS）．可得出結(jié)論④正確．
【解析】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，
又∵AB=AF=AC=AG，
∴△CAF≌△GAB（SAS），
∴BG=CF，故①正確；
∵△FAC≌△BAG，
∴∠FCA=∠BGA，
又∵BC與AG所交的對(duì)頂角相等，
∴BG與FC所交角等于∠GAC，即等于90°，
∴BG⊥CF，故②正確；
過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AE交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，
∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠BAD=∠AFM，
又∵AF=AB，
∴△AFM≌△BAD（AAS），
∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，
故③正確，
同理△ANG≌△CDA，
∴NG=AD，
∴FM=NG，
∵FM⊥AE，NG⊥AE，
∴∠FME=∠ENG=90°，
∵∠AEF=∠NEG，
∴△FME≌△GNE（AAS）．
∴EF=EG．
故④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的三線合一性質(zhì)與互余、對(duì)頂角，三角形內(nèi)角和等幾何基礎(chǔ)知識(shí)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)在一條直線上，分別以，為邊作等邊三角形、，連接、，分別交、于點(diǎn)，相交于點(diǎn)．則下列說(shuō)法：①；；③；④；⑤連接，則平分．其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)為（ ）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)SAS先證，可得①正確；再根據(jù)AAS證，得②正確；由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得AD=BE，AM=BN，從而可得DM=EN，所以③正確；再由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等及對(duì)頂角相等得∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD，得證∠BOM=∠ACB=60°，∠AOE=120°,④正確；連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，作CF⊥BE于點(diǎn)F，由全等三角形的對(duì)應(yīng)高相等得CH=CF，從而由角平分線的判定證得平分，得⑤正確．
【解析】解：∵△ABC與△DCE是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴(SAS)
∴AD=BE，
故①正確；
∵，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，
∴，
故②正確；
∵，
∴AM=BN，
∴AD-AM=BE-BN
即DM=EN
故③正確；
∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD
∴∠BOM=∠ACB=60°
∴∠AOE=120°
故④正確；
如圖，連接OC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，作CF⊥BE于點(diǎn)F，

∵，
∴CH=CF，
∴平分，
故⑤正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，此題圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)識(shí)圖，找準(zhǔn)全等的三角形．
9．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△AOB和△DOC中，，，，．連接AC、BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①，②；③OM平分∠AOD；④MO平分∠BMC．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】證明△AOC≌△BOD，判斷②正確；根據(jù)△AOC≌△BOD，推出∠OAC=∠OBD，根據(jù)三角形內(nèi)角和判斷①；根據(jù)全等的性質(zhì)得到，推出OE=OF即可判斷④；假設(shè)∠DOM=∠AOM，證明△COM≌△BOM，推出OA=OC，由與OA＜OC矛盾判斷③．
【解析】∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCD=∠ODC，
∵∠AOB＝∠COD＝108°，
∴∠OAB+∠OBA＝∠OCD+∠ODC=72°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝36°，
∵∠AOB＝∠COD，∠BOD=∠AOB+∠AOD，∠AOC=∠AOD+∠COD，
即∠AOC=∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，∠OAC=∠OBD，故②正確；
∵∠OAB+∠OBA=36°，
∵∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠OAC+∠ABD=∠MAB+∠ABM=∠AMD=36°×2=72°，
∴∠AMB=180°-∠AMD=180°-72°=108°，故①正確；
過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，即有∠OFM=∠OEM=90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD，，
∴OE=OF，
∴Rt△OFM≌Rt△OEM，
∴∠FMO=∠EMO，
∴MO平分∠BMC，故④正確；
∵∠AOB＝∠COD，
∴當(dāng)∠DOM=∠AOM時(shí)，OM平分∠AOD，
假設(shè)∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠COM=∠BOM，
∵M(jìn)O平分∠AMD，∠AMB=∠DMC，
∴∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
與OA＜OC矛盾，
∴③錯(cuò)誤；
故選：B．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，假設(shè)法，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期中）如圖，是正內(nèi)一點(diǎn)，，，，將線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段下列結(jié)論：①可以由繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與的距離為4；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【分析】逐項(xiàng)分析所給結(jié)論的正確性，即可選擇．
【解析】解：如圖所示：

∵為正三角形，
， ，
∵線段以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段，
， ，
，
，
又，，
，
又，
可以由繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
故結(jié)論①正確；
連接 ，
，，
是等邊三角形，
，
故結(jié)論②正確；
，
，
在中， ， ，
，
是直角三角形， ，
，
故結(jié)論③正確；
四邊形的面積 ，
過(guò)點(diǎn)O作 ，
是等邊三角形，
，
，
，
，
∴四邊形的面積 ，
故結(jié)論④不正確；
如圖所示：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) ，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至 ，連接 ，

， ，
是等邊三角形，
，
，
，
是直角三角形，且 ，
同結(jié)論④證明過(guò)程可求得： ， ，
，
故結(jié)論⑤正確；
綜上所述：結(jié)論①②③⑤正確．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形面積，面積的割補(bǔ)法，綜合掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，三角形紙片ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點(diǎn)G，連接BE交AD于點(diǎn)F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則的值為（ ）

A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】A
【分析】首先根據(jù)SAS證明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根據(jù)三角形的面積公式求出AD，根據(jù)勾股定理求出BD即可．
【解析】解：由折疊得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，設(shè)DE邊上的高線長(zhǎng)為h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、三角形的面積、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用三角形的面積求出AD的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2022·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF交AP于點(diǎn)G，以下五個(gè)結(jié)論：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互補(bǔ)；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的，其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠B=∠C，即可判斷①；根據(jù)四邊形內(nèi)角和是360°可判斷③，根據(jù)等腰直角三角形求出AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，求出∠FPC=∠EPA，根據(jù)ASA推出△APE≌△CPF，推出AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，再逐個(gè)判斷②④⑤即可．
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴∠B=∠C=×（180°-90°）=45°，AP⊥BC，AP=BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C，
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，故①④正確；
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，EF=PE，
所以，EF隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，
只有當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，EF=PE=AP，在其它位置時(shí)EF≠AP，故②錯(cuò)誤；
在四邊形AEPF中，∠BAC=90°，∠EPF=90°，
∴∠AFP+∠AEP=360°-（∠BAC+∠EPF）=180°，
即∠AFP和∠AEP互補(bǔ)，故③正確；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∵BP=CP，
∴S△APC=S△ABC，
∴四邊形AEPF的面積=S△APE+S△APF
=S△CPF+S△APF
=S△APC
=S△ABC，故⑤錯(cuò)誤，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出△APE≌△CPF是解此題的關(guān)鍵．
13．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∠CAB的角平分線AP和∠MCB的平分線CF相交于點(diǎn)D，AD交CB于點(diǎn)P，CF交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥CF交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①∠CDA＝45°；②AF﹣CG＝CA；③DE＝DC；④CF＝2CD+EG；其中正確的有（ ）

A．②③ B．②④ C．①②③④ D．①③④
【答案】C
【分析】①設(shè)∠GCD＝x，∠DAC＝y(tǒng)，則： ，故．
②根據(jù)三線合一，延長(zhǎng)GD與AC相交于點(diǎn)P，則CG＝CP，AP＝AF；
③證△ACD與△AED全等即可，同時(shí)可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
④在DF上截取DM＝CD，證即可．
【解析】解：設(shè)∠GCD＝x，∠DAC＝y(tǒng)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：
，
∴，故①正確；
延長(zhǎng)GD與AC相交于點(diǎn)P，

∵DE⊥CF，
∴∠CDG＝∠CDP＝90°，
∵CF平分∠GCP，
∴∠GCD＝∠PCD，
在△GCD和△PCD中，
，
∴△GCD≌△PCD（ASA），
∴CG＝CP，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADP＝∠ADF，
在△AFD和△APD中，
，
∴△AFD≌△APD（ASA），
∴AF＝AP，
∴AF﹣CG＝CA，故②正確；
同理△ACD≌△AED（ASA），
∴CD＝DE，故③正確；
在DF上截取DM＝CD，則DE是CM的垂直平分線，
∴CE＝EM，
∵∠ECG＝∠GCD﹣45°，∠MEF＝∠DEF﹣45°，
∴∠ECG＝∠FEM，
∵EF＝CP，CP＝CG，
∴EF＝CG，
在△EMF和△CEG中，
，
∴（SAS），
∴FM＝GE，
∴CF＝2CD+EG，故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，如果勾股形的三邊長(zhǎng)為三個(gè)正整數(shù)，則稱三邊長(zhǎng)叫“勾股數(shù)”；如果勾股形的兩直角邊長(zhǎng)為正整數(shù)，那么稱斜邊長(zhǎng)的平方叫“整弦數(shù)”對(duì)于以下結(jié)論：①20是“整弦數(shù)”；②兩個(gè)“整弦數(shù)”之和一定是“整弦數(shù)”；③若c2為“整弦數(shù)”，則c不可能為正整數(shù)；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均為正整數(shù)，則m與n之積為“整弦數(shù)”；⑤若一個(gè)正奇數(shù)（除1外）的平方等于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，則這個(gè)正奇數(shù)與這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【分析】①根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解；②根據(jù)定義舉出反例即可求解；③根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解；④先求出m與n之積，再根據(jù)“整弦數(shù)”的定義即可求解；⑤先設(shè)一個(gè)正奇數(shù)（除1外）為2n+1（n為正整數(shù)），進(jìn)一步得到兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．
【解析】解：①∵
∴20是“整弦數(shù)”，符合題意；
②如5，2是“整弦數(shù)”，
∵不是“整弦數(shù)”，
∴兩個(gè)“整弦數(shù)”之和不一定是“整弦數(shù)”，不符合題意；
③若，則，，c2為“整弦數(shù)”，則c為正整數(shù)”，不符合題意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均為正整數(shù)，



∴m與n之積為“整弦數(shù)”，符合題意；
⑤設(shè)一個(gè)正奇數(shù)（除1外）為2n+1（n為正整數(shù)），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，
∴較小的正整數(shù)為2n2+2n，較小的正整數(shù)為2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴這個(gè)正奇數(shù)與這兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)是一組“勾股數(shù)”，符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的綜合運(yùn)用，涉及數(shù)字類變化規(guī)律、整式的混合運(yùn)算、完全平方公式等知識(shí)，正確理解“整弦數(shù)”的定義是解題關(guān)鍵．
15．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的中點(diǎn)，連接，將沿著翻折，得到，與交于點(diǎn)F，連接．若，則點(diǎn)C到的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接BE，延長(zhǎng)CD交BE于G點(diǎn)，過(guò)C作CH⊥AB于H，由折疊的性質(zhì)及中點(diǎn)性質(zhì)，可得△AEB是直角三角形，且G點(diǎn)是BE的中點(diǎn)，從而CG⊥BE，由勾股定理可求得BE的長(zhǎng)，則根據(jù)△ABC的面積相等一方面可表示為，另一方面其面積為△BCD與△ACD面積的和，從而可求得CH的長(zhǎng)．
【解析】連接BE，延長(zhǎng)CD交BE于G點(diǎn)，過(guò)C作CH⊥AB于H，如圖所示
由折疊的性質(zhì)，得：BD=ED，CB=CE
∴CG是線段BE的垂直平分線
∴BG=BE
∵D點(diǎn)是AB的中點(diǎn)
∴BD=AD，
∴AD=ED
∴∠DAE=∠DEA
∵BD=ED
∴ ∠DEB=∠DBE
∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180°
即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°
∴2∠DEA+2∠DEB=180°
∴∠DEA+∠DEB=90°
即∠AEB=90°
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
∴
∵
∴
∴

故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定、勾股定理、線段垂直平分線的判定，利用面積相等求線段的長(zhǎng)，關(guān)鍵是得出CG⊥BE，從而可求得△BCD的面積也即△ABC的面積．
16．（2022·重慶大足·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形中，，于E，于F，交于H，、的延長(zhǎng)線交于E，給出下列結(jié)論：

①； ②；
③； ④若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，則；
其中正確的結(jié)論有（ ）．
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】A
【分析】①證是等腰直角三角形，則，再由勾股定理即可得出結(jié)論；②由平行四邊形的性質(zhì)得，， ，，再證，進(jìn)而得出結(jié)論；③證，得，即可得出結(jié)論；④連接，證是等腰直角三角形，得，再證，即可解決問(wèn)題．
【解析】解：①，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，故①正確；
②四邊形是平行四邊形，
，，，，
，，
，，
，
，
，
，故②正確；
③，
，
，
，
又，
，
，
，故③正確；
④如圖，連接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
，
，
，故④正確；
其中正確的結(jié)論有4個(gè)，
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解此題的關(guān)鍵．
17．（2022·廣東深圳·八年級(jí)期末）如圖，在三角形，，，是上中點(diǎn)，是射線上一點(diǎn)．是上一點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)在上，連接，，，，則的長(zhǎng)為（ ）

A． B．8 C． D．9
【答案】D
【分析】延長(zhǎng)EA到K，是的AK=AG，連接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，設(shè)∠BFE=x，則，然后證明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC則，即可證明，推出；設(shè)，證明△ABG≌△ACK，得到，，即可推出∠ECK=∠K，得到EK=EC，則，由此即可得到答案．
【解析】解：延長(zhǎng)EA到K，是的AK=AG，連接CK，
∵在三角形，，，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵BF=FE，
∴∠FBE=∠FEB，
設(shè)∠BFE=x，則，
∵H是BC上中點(diǎn)，F(xiàn)是射線AH上一點(diǎn)，
∴AH⊥BC，
∴AH是線段BC的垂直平分線，∠FAC=45°，
∴CB=FC=FE，
∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，
∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，
∴△ABG≌△ACK（SAS），
，，
∴，
∴∠ECK=∠K，
∴EK=EC，
∵，
∴，
∴，
故選D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
18．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)拔萃實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點(diǎn)E，連接，分別交于點(diǎn)F、G，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)H，，則下列結(jié)論：①；②是等腰三角形；③；④．其中正確的有（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150°，據(jù)此可判斷；②求出∠AFG和∠FAG度數(shù)，從而得出∠AGF度數(shù)，據(jù)此得出答案；③根據(jù)ASA證明△ADF≌△BAH即可判斷；④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，則∠EAH=30°，DF=2EH即可得出．
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且頂角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正確；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
∴△AFG三個(gè)內(nèi)角都不相等，
∴△AFG不是等腰三角形，故②錯(cuò)誤；
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°，
則∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∠ADF=∠BAH，DA=AB，
∴△ADF≌△BAH（ASA），故③正確；
∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°，
∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°，
∴AH=2EH，
∵EH=1，△ADF≌△BAH（ASA）
∴DF=AH，
∴DF=AH=2EH=2，故④正確；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．

二、填空題
19．（2022·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD，CE交于點(diǎn)O，OF⊥AB于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四邊形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正確結(jié)論是 ___．

【答案】①③④
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可判斷①；在上取一點(diǎn)，使得，連接，先根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)得出，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段的和差即可判斷②；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先根據(jù)三角形全等的判定定理證出，從而可得，再根據(jù)直角三角形全等的判定定理證出，從而可得，然后根據(jù)線段的和差即可判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可判斷④．
【解析】解：在中，，
，
分別是的角平分線，
，
，
，結(jié)論①正確；
如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，
在和中，，
，
，
，
由對(duì)頂角相等得：，
，
在和中，，
，
，
，結(jié)論②錯(cuò)誤；
如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
由上已證：，
，
，
，
在和中，，
，
，
在和中，，
，
，
，結(jié)論③正確；
由上已證：，
，
，
，
，
，
即，結(jié)論④正確；
綜上，正確的結(jié)論是①③④，
故答案為：①③④．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
20．（2022·江蘇南通·八年級(jí)期末）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝_______°．

【答案】105°
【分析】如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝105°．
【解析】解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°?60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，
此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案為105°.
【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)確定點(diǎn)F的位置，有難度．
21．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在上，，，．是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，則的值為______．

【答案】
【分析】由可證明，設(shè)，；由可證明，可得，即可求解
【解析】解：∵
∴設(shè)則
∴
∵是等邊三角形，
∴
∵AB//EG
∴
∴
∵
∴
在和中

∴
∴
∴
在和中

∴
∴
∴
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵
22．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，于點(diǎn)，以為邊作等邊三角形，與在直線的異側(cè)，直線交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．若，，則______．

【答案】6
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠1＝∠2，由直線AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3＝∠5，等量代換求出即可得到；在FC上截取FN，使FN＝FE，連接EN，根據(jù)等邊三角形的判定得出△EFN是等邊三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根據(jù)SAS推出△EFA≌△ENC，根據(jù)全等得出FA＝NC，從而得到，據(jù)此求解即可．
【解析】解：如圖1，∵，
∴，
∵，
∴直線垂直平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴在等邊三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在等邊三角形中，，
∴；
在上截取，使，連接，
∵，，

∴是等邊三角形，
∴，，
∵為等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
23．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，D、E是內(nèi)兩點(diǎn)．AD平分，，若，則______cm．

【答案】10
【分析】過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，延長(zhǎng)AD到H，交BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為G，由直角三角形中所對(duì)的直角邊是斜邊的一半可知，，然后由等腰三角形三線合一可知，，然后再證明四邊形DGFH是矩形，從而得到，最后根據(jù)計(jì)算即可.
【解析】解；過(guò)點(diǎn)E作，垂足為F，延長(zhǎng)AD到H，交BC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為G．
，，
，
，
，，
．
又，
，
，AD平分，
，且．
，，，
四邊形DGFH是矩形．
．
.
故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意構(gòu)造含的直角三角形是解題的關(guān)鍵.
24．（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E；連接，則下列結(jié)論正確的是___________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

①； ②當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，﹔
③若，則； ④若，則面積的最大值為2．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)以及等角的余角相等即可判斷①正確；證得△ACD是等邊三角形，得出∠BAC=60°，解得BC=AC，即可判斷②正確；證得△ADE≌△BDM即可求得DE=DM，解直角三角形即可得到BE=2EM=4DE，即可判斷③正確；根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的可得，則，則面積的最大值為2，即可判斷④正確．
【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ADC=2∠DCB，
∵AE⊥CD于點(diǎn)E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠ADC=2∠CAE，故①正確；
當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，∵AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC=AC，故②正確；
作BM⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則AE∥BM，

∴∠DAE=∠DBM，
∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴DE=DM，
若∠BED=60°，則BE=2EM=4DE，故③正確；
∵△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，DE=DM，
∴S△ABE=S△BEM=?BM?EM=?AE?2DE=AE?DE，
若AB=4，則AD=2，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，


即的最大值值為1，
∴△ABE面積的最大值為2，故④正確；
故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的性質(zhì)，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的全等的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的面積，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
25．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，，點(diǎn)D是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿BD所在直線折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．如圖，若，則C，E兩點(diǎn)之間的距離為________．

【答案】
【分析】連接CE，交BD于點(diǎn)F，由折疊性質(zhì)知，BE=BC，CD=ED，得到BD垂直平分CE，推出CF=EF=CE，根據(jù)BC=6，CD=2，∠ACB=90°，求出，根據(jù)三角形面積公式得到，得到，求出，推出．
【解析】連接CE，交BD于點(diǎn)F，
由折疊知，BE=BC，CD=ED，
∴BD垂直平分CE，
∴CF=EF=CE，
∵BC=6，CD=2，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊，線段垂直平分線，勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊圖形全等的性質(zhì)，線段垂直平分線判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，面積法求直角三角形斜邊上的高．
26．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若記表示任意實(shí)數(shù)的整數(shù)部分例如：， ，則（其中“”“”依次相間）的值為___________
【答案】
【分析】按照整數(shù)是1，整數(shù)是2，…整數(shù)是44，確定算術(shù)平方根的個(gè)數(shù)，運(yùn)用估算思想，列式，尋找規(guī)律計(jì)算．
【解析】解：∵即時(shí)，，此時(shí)n=1，2，3，
∴；
∵即時(shí)，，此時(shí)n=4，5，6，7，8，
∴；
∵即時(shí)，，此時(shí)n=9，10，11，12，13，14，15，
∴=；
由此發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律，整數(shù)部分是1的算術(shù)平方根的整數(shù)和是1，且奇數(shù)為正整數(shù)，偶數(shù)位為負(fù)整數(shù)；整數(shù)部分是2的算術(shù)平方根的整數(shù)和是-2，整數(shù)部分是3的算術(shù)平方根的整數(shù)和是3，
∵，，
∴即時(shí)，，
∴=-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，
故答案為：-22．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用估算思想，確定整數(shù)部分中的運(yùn)算規(guī)律．
27．（2022·甘肅白銀·八年級(jí)期末）我們經(jīng)過(guò)探索知道，，，，若已知，則_______（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）．
【答案】
【分析】先求出，，，，的值，代入原式利用算數(shù)平方根和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算，即可求解．
【解析】解：∵，
，
，

，
∴







故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)式規(guī)律問(wèn)題、算數(shù)平方根、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，用裂項(xiàng)法將分?jǐn)?shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)與計(jì)算是解題關(guān)鍵．
28．（2022·黑龍江·哈爾濱市呼蘭區(qū)第四中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為上的點(diǎn)，連接，若，則的長(zhǎng)度為_________．

【答案】
【分析】延長(zhǎng)DE至G，使GE=ED，連接FG、AG，過(guò)F作于H，易證，由全等的性質(zhì)得AG=BD=4，易證EF為GD的垂直平分線，所以GF=FD=，易證為等腰直角三角形，設(shè)FH=AH=x，在中，用勾股定理求得x=1，進(jìn)而求得AF=
【解析】解：延長(zhǎng)DE至G，使GE=ED，連接FG、AG，過(guò)F作于H，
在和中，


∴ AG=BD=4，


為等腰直角三角形
設(shè)，則

為GD的垂直平分線

在中，


整理得：
配方得：
開平方根得：或（舍去）
∴
∴
故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，垂直平分線的的性質(zhì)，等腰直角三角的性質(zhì)及判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線．本題添加輔助線的一個(gè)技巧是因?yàn)锽D,DF,AF三邊位置太分散了，所以通過(guò)三角形的全等改變位置，使它們集中，剛好可以構(gòu)成，從而解決問(wèn)題．
29．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在中，，點(diǎn)D、E是線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且，AM垂直BD，垂足為M，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N，直線BD與直線NE相交于點(diǎn)F．當(dāng)時(shí)，___________．

【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC，交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出?BAD??ACP，AD=CP，∠CEN=∠P，繼續(xù)證明?CPN??CEN，得出∠DEF=∠EDF=60°，然后結(jié)合圖形利用勾股定理解直角三角形，最后求比值即可．
【解析】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AC，交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，

∵Rt?ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN，
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
在?BAD與?ACP中，
，
∴?BAD??ACP，
∴AD=CP，∠CEN=∠P，
∴AD=EC，
∴CE=CP，
∵CN=CN，
∴?CPN??CEN，
∴∠P=∠NEC，
∴∠EDF=∠DEF，
∵∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵∠DEF=∠EDF=60°，
∴EF=DE，∠P=60°，
∴CP=CE=，
∴AE=AC-CE=
∵AD=，
∴CD=AC-CD=
∴EF=AC-AE-CD=，
∵BC=，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題關(guān)鍵．
30．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊上方作等邊三角形，連接，設(shè)的長(zhǎng)度為，則的取值范圍為______．

【答案】
【分析】由重合利用勾股定理可求BF的最大值；由60°聯(lián)想旋轉(zhuǎn)全等，轉(zhuǎn)換動(dòng)長(zhǎng)為定點(diǎn)到定線的長(zhǎng)，構(gòu)建等邊三角形BDG，利用△BDF≌△GDE，轉(zhuǎn)換BF=GE，然后即可求得其最小值．
【解析】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，BF最長(zhǎng)．


作FM⊥AC于M，
∵BC=6，CD：BC=1：2，
∴CD=2，BD=4，
∵△CDF是等邊三角形，
∴DM=CM=1，
∴BM=5，
∴MF=，
∴在Rt△BMF中，，
∴BF最大是．
以 BD 為邊作等邊三角形BDG，連接GE，如圖所示：

∵△BDG ，△DEF都是等邊三角形，
∴∠BDG =∠EDF=60°，BD=GD=BG，DE=DF=EF，∠BDG+ ∠GFD= ∠EDF+ ∠GFD，即∠BDF=∠GDE，
∴△BDF≌△GDE ( SAS )
∴BF=GE
當(dāng)GE⊥AC 時(shí)，GE有最小值，如圖所示GE，作DH⊥GE，
∴BF=GE=CD +DB =2+2=4，
∴BF最小是4．
故填：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由60°聯(lián)想旋轉(zhuǎn)全等，轉(zhuǎn)換動(dòng)長(zhǎng)為定點(diǎn)到定線的長(zhǎng)．
31．（2022·四川成都·八年級(jí)期末）如圖，中，，，，點(diǎn)D為斜邊上一點(diǎn)，且，以為邊、點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)作，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_______．

【答案】
【分析】作線段CD的垂直平分線EF，交DC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，證明CE=ED，且CE⊥DE，連接MD，證明點(diǎn)M在直線EF上，從而化MB的最短距離為垂線段最短計(jì)算即可．
【解析】解：作線段CD的垂直平分線EF，交DC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，
∴CE=ED，
∵∠ADC=45°，CE=ED，
∴∠DCE=45°，∠CEF=45°，∠DEF=45°，
∴∠CED=90°，

∵AC=4，∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴AB=8，BC=，
∴CE=，
∴AE=2，
∴BE=AB-AE=8-2=6
連接MD，
∵M(jìn)是CP的中點(diǎn)，∠CDP=90°，
∴MC=MD，
∴點(diǎn)M在直線EF上，
∴MB⊥EF時(shí)，MB最短，(根據(jù)垂線段最短,得到的)
∵∠EMB=90°，∠MEB=45°，∠DEF=45°，
∴∠MBE=45°，
∴ME=MB，
∴MB=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定，垂線段最短原理，準(zhǔn)確確定點(diǎn)M的位置，選擇垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．
32．（2022·陜西·西北大學(xué)附中八年級(jí)期末）如圖，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過(guò)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分；其中正確的結(jié)論是___________．（填正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②③
【分析】由三角形的角平分線的含義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可判斷①，先證明△ABP≌△FBP（ASA）與△APH≌△FPD（ASA）， 結(jié)合 可判斷②，由△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，可得S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，再證明HD∥EP， 可判斷③，若DH平分∠CDE，推導(dǎo)DE∥AB，這個(gè)顯然與條件矛盾，可判斷④；
【解析】解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°， ∴，
又∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE= ，
∴∠APB=135°，故①正確．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP， BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，


在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，

，故②正確，
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S△EPH=S△EPD，
∴S△APH=S△AED，故③正確，
若DH平分∠CDE，則∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，這個(gè)顯然與條件矛盾，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

相關(guān)試卷

特訓(xùn)07 期中選填壓軸題（第1-3章）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高分突破（浙教版）：

這是一份特訓(xùn)07 期中選填壓軸題（第1-3章）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高分突破（浙教版），文件包含特訓(xùn)07期中選填壓軸題第1-3章原卷版docx、特訓(xùn)07期中選填壓軸題第1-3章解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共69頁(yè)， 歡迎下載使用。

特訓(xùn)01 期中選填題壓軸題-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（人教版）：

這是一份特訓(xùn)01 期中選填題壓軸題-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（人教版），文件包含七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)特訓(xùn)01期中選填題壓軸題原卷版docx、七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)特訓(xùn)01期中選填題壓軸題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共29頁(yè)， 歡迎下載使用。

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中選填壓軸題：

這是一份2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中選填壓軸題，共60頁(yè)。試卷主要包含了單選題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中選填題精選（第1-4章）

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中選填題精選（第1-4章）
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中分類復(fù)習(xí)專題05 期中解答壓軸題

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中分類復(fù)習(xí)專題05 期中解答壓軸題
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中分類復(fù)習(xí)專題05 期中解答壓軸題（含答案解析）

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中分類復(fù)習(xí)專題05 期中解答壓軸題（含答案解析）
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中分類復(fù)習(xí)專題04 期中選填壓軸題（含答案解析）

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中分類復(fù)習(xí)專題04 期中選填壓軸題（含答案解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部