位似圖形的定義位似圖形的性質(zhì)位似圖形的畫法平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換
那么，這兩個圖形叫做位似圖形，點 O 叫做位似中心 . 這兩個圖形之間的變換叫做位似變換 .注意： 兩個位似圖形的位似中心有且只有一個 .
2. 位似與相似的關(guān)系(1)相似僅要求兩個圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對應(yīng)頂點的連線相交于一點；(2)如果兩個圖形是位似圖形，那么這兩個圖形必是相似圖形，但是相似的兩個圖形不一定是位似圖形，因此 , 位似是相似的特殊情況 .
特別提醒：位似中心可能位于兩個位似圖形的同側(cè)， 也可能位 于兩個位似圖形之間， 還可能位于兩個位似圖形的內(nèi)部 或邊上或 某一個頂點處 . 常見位似圖形 的構(gòu)成如圖 22.4-1所示 .
判斷如圖 22.4-2 所示的各圖中的兩個圖形是不是位似圖形，如果是，請指出其位似中心 .
解題秘方：緊扣“位似圖形的定義”進行判斷 .
方法提醒判斷兩個圖形是否為位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似；然后看每組對應(yīng)頂點的連線是否交于一點.
解： ①是位似圖形，位似中心為點 A；②不是位似圖形；③是位似圖形，位似中心為點 O.
位似圖形具有的性質(zhì)(1)位似圖形每組對應(yīng)頂點的連線必過位似中心；(2)位似圖形任意一組對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比； (3)位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在一條直線上)，且對應(yīng)線段之比相等；
(4)兩個圖形位似，則兩個圖形必相似，其周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方 .
特別提醒：1. 位似圖形是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切特征 .2. 位似與平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)一樣，是圖形的變換方式，但位似可以改變圖形的位置和大小，即位似是圖形的相似變換 .
找出如圖 22.4-3 所示的位似圖形的位似中心 .
解題秘方：緊扣“位似圖形每組對應(yīng)頂點的連線必過位似中心”進行查找 .
方法提醒確定位似圖形的位似中心時，要認真觀察圖形，尋找對應(yīng)頂點，然后經(jīng)過每組對應(yīng)頂點作直線，它們的交點即為位似中心 .注意：實際作圖時，只需作出兩組對應(yīng)頂點的連線即可 .
解：如圖 22.4-4，點 P1， P2， P3 即為所求的位似中心 .
畫位似圖形的步驟(1)確定位似中心(位似中心可以在圖形外部，也可以在圖形內(nèi)部，還可以在圖形的邊上或某一個頂點處) ；(2)分別連接位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點，并延長；(3)根據(jù)相似比，確定所畫位似圖形的關(guān)鍵點的位置；
(4)順次連接所作各點，得到放大或縮小的圖形 .注意： 畫位似圖形時，要弄清相似比，即分清是已知圖形與新圖形的相似比，還是新圖形與已知圖形的相似比 .
[ 開放題 ] 如圖 22.4-5，已知四邊形 ABCD，將四邊形 ABCD 放大，使放大后的圖形與原圖形是位似圖形，且放大后的圖形與原圖形對應(yīng)線段的比為 2 ∶ 1.
解題秘方：緊扣“位似圖形的定義和性質(zhì)”，按畫位似圖形的步驟作圖 .
解： 根據(jù)位似中心的不同位置情況進行作圖(畫法不唯一) . 畫法一 位似中心在四邊形的頂點上，如圖 22.4-6，以點 A 為位似中心，四邊形 AB1C1D1 就是所求作的圖形 .畫法二 位似中心在四邊形的邊上，如圖 22.4-7，以 AD邊上一點為位似中心，四邊形 A1B1C1D1 就是所求作的圖形 .
另解位似中心在四邊形內(nèi)部，如圖 22.4-8，以四邊形 ABCD 內(nèi)部一點為 位 似 中 心， 四 邊 形A1B1C1D1 就 是 所 求 作 的圖形 .位似中心在四邊形外部，如圖 22.4-9，以四邊形 ABCD 外部一點為 位 似 中 心， 四 邊 形A1B1C1D1 就 是 所 求 作 的圖形 .
平面直角坐標(biāo)系中圖形的位似變換
1. 位似變換時對應(yīng)點的坐標(biāo)變化規(guī)律在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為 k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于 k或 －k.注意： 這里的相似比指的是新圖形與原圖形的對應(yīng)邊的比 .
2. 位似變換與平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三種變換的聯(lián)系和區(qū)別(1)位似、平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)都是圖形變換的基本形式，它們的本質(zhì)區(qū)別在于：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三種圖形變換是全等變換，而位似變換是相似變換 .(2)在直角坐標(biāo)系中，把一個圖形進行平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)或位似變換，其對應(yīng)點的坐標(biāo)都有各自的變化規(guī)律：
① 平移變換是橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)加上(或減去)平移的距離；②在軸對稱變換中，以 x 軸為對稱軸，則對應(yīng)點的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；以 y 軸為對稱軸，則縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；③在旋轉(zhuǎn)變換中，一個圖形繞原點旋轉(zhuǎn) 180°，則旋轉(zhuǎn)前后兩個圖形對應(yīng)點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都分別互為相反數(shù)；
④在位似變換中，當(dāng)以原點為位似中心時，變換后與變換前兩個圖形對應(yīng)點的橫坐標(biāo)之比的絕對值、縱坐標(biāo)之比的絕對值都等于變換后的圖形與變換前的圖形的相似比 .
特別提醒在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心時，使位似圖形與原圖形的相似比為k，那么：當(dāng)位似圖形與原圖形在原點的同側(cè)時，原圖形上的點（x，y）對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為（kx，ky）；
當(dāng)位似圖形與原圖形在原點的兩側(cè)時，原圖形上的點（x，y）對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為（－kx，－ky）.當(dāng) k>1 時，圖形擴大為原來的 k 倍；當(dāng) 0

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22.4 圖形的位似變換

版本： 滬科版

年級： 九年級上冊

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