期中復(fù)習(xí)壓軸特訓(xùn)（壓軸題精選41題）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)歸納滿分攻略講練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?期中復(fù)習(xí)壓軸題精選41題特訓(xùn)
一．選擇題（共17小題）
1．若一個多邊形的內(nèi)角和為外角和的3倍，則這個多邊形為（　?。?br /> A．八邊形 B．九邊形 C．十邊形 D．十二邊形
【答案】A
【解答】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得
（n﹣2）?180°＝3×360°，
解得：n＝8，即這個多邊形為八邊形．
故選：A．
2．已知△ABC，
（1）如圖1，若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°+∠A；
（2）如圖2，若P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°﹣∠A；
（3）如圖3，若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，則∠P＝90°﹣∠A．
上述說法正確的個數(shù)是（　?。?br />
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【解答】解：（1）若P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
則∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB
則∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）
在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：
∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
故成立；
（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°時(shí)，結(jié)論不成立；
（3）若P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點(diǎn)，
則∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，
∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠PBC+∠BCP＝90°+∠A，
在△BCP中利用內(nèi)角和定理得到：
∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A，
故成立．
∴說法正確的個數(shù)是2個．
故選：C．
3．如圖，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是（　?。?br />
A．50 B．62 C．65 D．68
【答案】A
【解答】解：∵AE⊥AB且AE＝AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠BGA＝90°，
∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG，
∵∠EFA＝∠AGB，∠EAF＝∠ABG，AE＝AB，
∴△EFA≌△AGB（AAS），
∴AF＝BG，AG＝EF．
同理證得△BGC≌△CHD得GC＝DH，CH＝BG．
故FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16
故S＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．
故選：A．

4．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（　　）

A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2
【答案】D
【解答】解：過E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，
∴∠PEQ＝90°，
∴∠PEM+∠MEQ＝90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，
∴∠PEM＝∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC＝∠EQC＝90°，
∴EP＝EQ，四邊形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S△EQN＝S△EPM，
∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，
∵正方形ABCD的邊長為a，
∴AC＝a，
∵EC＝2AE，
∴EC＝a，
∴EP＝PC＝a，
∴正方形PCQE的面積＝a×a＝a2，
∴四邊形EMCN的面積＝a2，
故選：D．
5．如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（　?。?br />
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
【答案】B
【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，
∵DE＝DG，
∴DM＝DG，
∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，
∴DF＝DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵△ADG和△AED的面積分別為50和39，
∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，
S△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．
故選：B．

6．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，BM，下面結(jié)論：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，
其中結(jié)論正確的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解答】解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴①正確；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°，
∴②正確；
在△ABP和△DBQ中，，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP＝BQ，
∴△BPQ為等邊三角形，
∴③正確；
∵∠DMA＝60°，
∴∠AMC＝120°，
∴∠AMC+∠PBQ＝180°，
∴P、B、Q、M四點(diǎn)共圓，
∵BP＝BQ，
∴，
∴∠BMP＝∠BMQ，
即MB平分∠AMC；
∴④正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有4個；
故選：D．
7．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，AD、CE交于點(diǎn)F．則下列說法正確的個數(shù)為（　?。?br /> ①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③若AB＝2AE，則CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC．

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】C
【解答】解：①在△ABC中，∠ABC＝60°，
∴∠ACB+∠CAB＝120°，
∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，
∴∠FCA＝，∠FAC＝CAB，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°，故①正確；
②當(dāng)AD是△ABC的中線時(shí)，S△ABD＝S△ADC，
而AD平分∠BAC，故②錯誤；
③如圖，延長CE至G，使GE＝CE，連接BG，
∵AB＝2AE，
∴AE＝BE，
∵∠AEC＝∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE＝∠G，
∵CE為角平分線，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠G，
∴BC＝BG，
∴BE⊥CE，故③正確；
④如圖，作∠AFC的平分線交AC于點(diǎn)G，

由①得∠AFC＝120°，
∴∠AFG＝∠CFG＝60°，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF，
∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），
∴AE＝AG，CD＝CG，
∴CD+AE＝CG+AG＝AC，故④正確；
⑤過G作GM⊥FC，GH⊥AF于點(diǎn)G，H，
由④知，F(xiàn)G為∠AFC的角平分線，
∴GH＝GM，
∴S△AGF：S△FGC＝AF：FC，
∵△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，
∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC，故⑤正確．
綜上所述：正確的有①③④⑤，共4個，
故選：C．

8．如圖，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，則下列結(jié)論：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【解答】解：①在AE取點(diǎn)F，使EF＝BE，

∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，
∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，
∴AD＝AF，
∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE，
∴AE＝（AB+AD），故①正確；
②在AB上取點(diǎn)F，使BE＝EF，連接CF．
在△ACD與△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC＝∠AFC．
∵CE垂直平分BF，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B．
又∵∠AFC+∠CFB＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正確；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，
又∵CF＝CB，
∴CD＝CB，故③正確；
④易證△CEF≌△CEB，
所以S△ACE﹣S△BCE＝S△ACE﹣S△FCE＝S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF，
∴S△ACF＝S△ADC，
∴S△ACE﹣S△BCE＝S△ADC，故④錯誤；
即正確的有3個，
故選：C．
9．如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列結(jié)論：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．四個結(jié)論中成立的是（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】A
【解答】解：過E作EF⊥AD于F，如圖，

∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE＝EF，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴EC＝EF＝BE，故③錯誤；
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，故②正確；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，故④正確；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，故①正確．
因此正確的有①②④，
故選：A．
10．如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數(shù)為（　?。?br />
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，
故①正確，符合題意；
∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，
故②正確，符合題意；
如圖所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，

則∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正確，符合題意；
∵∠AOB＝∠COD，
∴當(dāng)∠DOM＝∠AOM時(shí)，OM才平分∠BOC，
假設(shè)∠DOM＝∠AOM，
∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠COM＝∠BOM，
∵M(jìn)O平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB，
∴OA＝OC，
與題意不符，
故③錯誤，不符合題意；
綜上，符合題意的有①②④；
故選：B．
11．如圖，已知AB∥CD，AB+CD＝BC，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，GM⊥CD于點(diǎn)M，GN⊥BC于點(diǎn)N，連接AG、BG．張宇同學(xué)根據(jù)已知條件給出了以下幾個結(jié)論：①∠BGC＝90°；②GM＝GN；③BG平分∠ABC；④CG平分∠BCD．其中正確的個數(shù)有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解答】解：如圖，過點(diǎn)G作GE∥AB，交BC于點(diǎn)E，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∵點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴GE是梯形ABCD的中位線，
∴AB+CD＝2GE，
∵AB+CD＝BC，
∴BC＝2GE，
∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴BC＝2BE＝2EC，
∴BE＝EC＝GE，
∵BE＝GE，
∴∠EBG＝∠BGE，
∵AB∥GE，
∴∠ABG＝∠BGE，
∴∠ABG＝∠EBG，
∴BG平分∠ABC，故③正確；
∵CE＝GE，
∴∠EGC＝∠ECG，
∵CD∥GE，
∴∠EGC＝∠DCG，
∴∠ECG＝∠DCG，
∴CG平分∠BCD，故④正確；
∵GM⊥CD，GN⊥BC，
∴GM＝GN，故②正確；
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG＝∠ABC，
∵CG平分∠BCD，
∴∠BCG＝∠BCD，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBG+∠BCG＝×180°＝90°，
∴∠BGC＝90°，故①正確．
綜上所述：正確的有①②③④，共4個．
故選：D．
12．如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A6B6A7的邊長為（　?。?br />
A．6 B．12 C．32 D．64
【答案】C
【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此類推：A6B6＝32B1A2＝32．
故選：C．

13．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（　?。?br />
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周長的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故選：B．

14．如圖，四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，

∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故選：D．
15．如圖，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，當(dāng)△APQ是以PQ為底的等腰三角形時(shí)，運(yùn)動的時(shí)間是（　　）

A．2.5秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒
【答案】D
【解答】解：設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為xcm，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，
當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4（cm）．
故選：D．
16．圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的正三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為的正三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的正三角形紙板（即其邊長為前一塊被剪掉如圖正三角形紙板邊長的）后，得圖③，④，…，記第n（n≥3）塊紙板的周長為Pn，則Pn﹣Pn﹣1的值為（　?。?br />
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：P1＝1+1+1＝3，
P2＝1+1+＝，
P3＝1+++×3＝，
P4＝1+++×2+×3＝，
…
∴P3﹣P2＝﹣＝＝，
P4﹣P3＝﹣＝＝，
則Pn﹣Pn﹣1＝＝．
故選：C．

17．邊長為a的等邊三角形，記為第1個等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個正六邊形，記為第1個正六邊形，取這個正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個等邊三角形，記為第2個等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個正六邊形，記為第2個正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個正六邊形的邊長為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：連接AD、DF、DB．
∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∵∠AFE＝∠ABC＝120°，
∴∠AFD＝∠ABD＝90°，
在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），
∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，
∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，
∴AD∥EF，
∵G、I分別為AF、DE中點(diǎn)，
∴GI∥EF∥AD，
∴∠FGI＝∠FAD＝60°，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，△QKM是等邊三角形，
∴∠EDM＝60°＝∠M，
∴ED＝EM，
同理AF＝QF，
即AF＝QF＝EF＝EM，
∵等邊三角形QKM的邊長是a，
∴第一個正六邊形ABCDEF的邊長是a，即等邊三角形QKM的邊長的，
過F作FZ⊥GI于Z，過E作EN⊥GI于N，
則FZ∥EN，
∵EF∥GI，
∴四邊形FZNE是平行四邊形，
∴EF＝ZN＝a，
∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已證），
∴∠GFZ＝30°，
∴GZ＝GF＝a，
同理IN＝a，
∴GI＝a+a+a＝a，即第二個等邊三角形的邊長是a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個正六邊形的邊長是×a；
同理第第三個等邊三角形的邊長是×a，與上面求出的第一個正六邊形的邊長的方法類似，可求出第三個正六邊形的邊長是××a；
同理第四個等邊三角形的邊長是××a，第四個正六邊形的邊長是×××a；
第五個等邊三角形的邊長是×××a，第五個正六邊形的邊長是××××a；
第六個等邊三角形的邊長是××××a，第六個正六邊形的邊長是×××××a，
即第六個正六邊形的邊長是×a，
故選：A．

二．填空題（共12小題）
18．如圖所示，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個圖形需要黑色棋子的個數(shù)是　n2+2n　．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：第一個是1×3，
第二個是2×4，
第三個是3×5，
…
第 n個是n?（n+2）＝n2+2n
故答案為：n2+2n．
19．用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結(jié)（如圖1所示），然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE．圖中，∠BAC＝　36　度．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵∠ABC＝＝108°，△ABC是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BCA＝36度．
20．如圖，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點(diǎn)A2013，則∠A2013＝　　度．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∴∠A1＝m°，
∵∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，
…
以此類推∠A2013＝∠A＝°．
故答案為：．
21．某科技小組制作了一個機(jī)器人，它能根據(jù)指令要求進(jìn)行行走和旋轉(zhuǎn)．某一指令規(guī)定：機(jī)器人先向前行走1米，然后左轉(zhuǎn)45°，若機(jī)器人反復(fù)執(zhí)行這一指令，則從出發(fā)到第一次回到原處，機(jī)器人共走了　8　米．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：機(jī)器人轉(zhuǎn)了一周共360度，360°÷45°＝8，共走了8次，機(jī)器人走了8×1＝8米．
22．如圖，在圖1中，互不重疊的三角形共有4個，在圖2中，互不重疊的三角形共有7個，在圖3中，互不重疊的三角形共有10個，…，則在第n個圖形中，互不重疊的三角形共有個　3n+1?。ㄓ煤琻的代數(shù)式表示）．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：根據(jù)題意，結(jié)合圖形，顯然后一個圖總比前一個圖多3個三角形．則在第n個圖形中，互不重疊的三角形共有4+3（n﹣1）＝3n+1．
23．如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　4：5：6?。?br />
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，作OF⊥BC于點(diǎn)F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）＝AB：BC：AC＝40：50：60＝4：5：6．
故答案為：4：5：6．

24．如圖，∠BOC＝9°，點(diǎn)A在OB上，且OA＝1，按下列要求畫圖：
以A為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A1，得第1條線段AA1；
再以A1為圓心，1為半徑向右畫弧交OB于點(diǎn)A2，得第2條線段A1A2；
再以A2為圓心，1為半徑向右畫弧交OC于點(diǎn)A3，得第3條線段A2A3；…
這樣畫下去，直到得第n條線段，之后就不能再畫出符合要求的線段了，則n＝　9?。?br />
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：由題意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
則∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，
∵∠BOC＝9°，
∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n為整數(shù)，故n＝9．
故答案為：9．
25．如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長為　6?。?br />
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，
在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM+∠CDN＝60°
∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周長是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．

26．如圖所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，則PD等于　2?。?br />
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：過點(diǎn)P作PM⊥OB于M，
∵PC∥OA，
∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，
∴∠BCP＝30°，
∴PM＝PC＝2，
∵PD＝PM，
∴PD＝2．
故答案為：2．

27．如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為　　．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：過P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等邊三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝1，
∴DE＝．
故答案為：．

28．如圖，AD，BE在AB的同側(cè)，AD＝2，BE＝2，AB＝4，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，若∠DCE＝120°，則DE的最大值是　6?。?br />
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)M，作點(diǎn)B關(guān)于直線CE的對稱點(diǎn)N，連接DM，CM，CN，MN，NE．
由題意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2，
∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC，
∵∠DCE＝120°，
∴∠ACD+∠BCE＝60°，
∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN，
∴∠ACM+∠BCN＝120°，
∴∠MCN＝60°，
∵CM＝CN＝2，
∴△CMN是等邊三角形，
∴MN＝2，
∵DE≤DM+MN+EN，
∴DE≤6，
∴當(dāng)D，M，N，E共線時(shí)，DE的值最大，最大值為6，
故答案為：6．
29．如圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直線AC或BC上取點(diǎn)M，使得△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有　8　個．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：如圖，
①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB＝AM）；
②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM＝BA）．
③AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線BC于點(diǎn)M8；
∴符合條件的點(diǎn)有8個．
故答案為：8．

三．解答題（共12小題）
30．已知直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，點(diǎn)A在射線OQ上運(yùn)動，點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動，點(diǎn)A，B均不與點(diǎn)O重合．
（1）如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，則∠AIB＝　135°?。?br /> （2）如圖2，AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，BC的反向延長線交AI的延長線于點(diǎn)D．
①若∠BAO＝30°，則∠ADB＝　45　°．
②在點(diǎn)A，B的運(yùn)動過程中，∠ADB的大小是否會發(fā)生變化？若不變，求出∠ADB的度數(shù)；若變化，請說明理由．
（3）如圖3，已知點(diǎn)E在BA的延長線上，∠BAO的平分線AI，∠OAE的平分線AF與∠BOP的平分線所在的直線分別相交于點(diǎn)D，F(xiàn)．在△ADF中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的3倍，請直接寫出∠ABO的度數(shù)．

【答案】（1）135°；（2）①45°，②不變．∠ADB＝45° （3）60°或45°．
【解答】解：（1）∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴，
∴∠BIC＝180°﹣∠IBA﹣∠IAB
＝
＝
＝
＝
＝90°+α，
∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，
∴∠BOA＝90°，
∴，
故答案為：135°．
（2）①∵直線MN與PQ互相垂直，垂足為O，
∴∠BOA＝90°，
∵∠BAO＝30°，
∴∠ABM＝120°，
∵AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，
∴，∠BAD＝＝15°，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°，
故答案為：45．
②不變，∠ADB＝45°．
設(shè)∠BAO＝α，
∵AI平分∠BAO交OB于點(diǎn)I，BC平分∠ABM，
∴，∠MBA＝90°+α，，
∴∠ADB＝∠CBA﹣∠BAD＝45，
∴不變，∠ADB＝45°．
（3）∵∠BAO的平分線AI，∠OAE的平分線AF，
∴∠DAF＝90°，
∵一個角是另一角的3倍，
∴分兩種情況討論：
①當(dāng)∠DAF＝3∠ADF時(shí)，∠ADF＝30°，
∵OF為∠BOP的平分線，
∴∠DOA＝135°，
∴∠OAI＝15°，
∴∠OAB＝30°，
∴∠OBA＝90°﹣30°＝60°；
②當(dāng)∠AFD＝3∠ADF時(shí)，∠ADF＝22.5°，
∵OF為∠BOP的平分線，
∴∠DOA＝135°，
∴∠OAI＝22.5°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OBA＝90°﹣45°＝45°．
∴∠OBA等于60°或45°．
31．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為　垂直　，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為　相等??；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】證明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．
②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．
由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．
即CF⊥BD．

（2）當(dāng)∠ACB＝45°時(shí)，CF⊥BD（如圖）．
理由：過點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長線于點(diǎn)G，
則∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，
∴△GAD≌△CAF，
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．

32．問題背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．
小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是　EF＝BE+FD??；

探索延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；
實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：問題背景：
∵小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG，F(xiàn)G＝FD+DG＝FD+BE，
∴EF＝BE+FD，
故答案為：EF＝BE+FD；
探索延伸：
上述結(jié)論EF＝BE+FD成立，
理由：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使得DG＝BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADG，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF，
又∵AG＝AE，AF＝AF，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝GF，
∵GF＝DF+DG＝DF+BE，
∴EF＝BE+FD；
實(shí)際應(yīng)用：
如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點(diǎn)C，
在四邊形AOBC中，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠FOE＝70°＝，
又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝60°+120°＝180°，
∴圖3符合探索延伸的條件，
∴EF＝AE+FB＝1.5×（60+80）＝210（海里），
即此時(shí)兩艦艇之間的距離210海里．

33．CD經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請解決下面兩個問題：
①如圖1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，則BE　＝　CF；EF　＝　|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件　∠α+∠BCA＝180°　，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立．
（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，請?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想（不要求證明）．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA；
∴△BCE≌△CAF，
∴BE＝CF；EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．
②所填的條件是：∠α+∠BCA＝180°．
證明：在△BCE中，∠CBE+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣∠α．
∵∠BCA＝180°﹣∠α，
∴∠CBE+∠BCE＝∠BCA．
又∵∠ACF+∠BCE＝∠BCA，
∴∠CBE＝∠ACF，
又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF，CE＝AF，
又∵EF＝CF﹣CE，
∴EF＝|BE﹣AF|．

（2）猜想：EF＝BE+AF．
證明過程：
∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA+∠BCE+∠ACF＝180°，∠CFA+∠CAF+∠ACF＝180°，
∴∠BCE＝∠CAF，
又∵BC＝CA，
∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC+CF＝BE+AF．
34．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，在AB上截取AE＝AC，連接DE，易證AB＝AC+CD．
（1）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想：
（2）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）猜想：AB＝AC+CD．
證明：如圖②，在AB上截取AE＝AC，連接DE，
∵AD為∠BAC的角平分線時(shí)，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED＝∠C，ED＝CD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴EB＝CD，
∴AB＝AE+DE＝AC+CD．

（2）猜想：AB+AC＝CD．
證明：在BA的延長線上截取AE＝AC，連接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD＝∠CAD．
在△EAD與△CAD中，
AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．
∴∠FED＝∠ACB，
又∵∠ACB＝2∠B
∴∠FED＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝∠B，
∴EB＝ED．
∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．
∴AC+AB＝CD．

35．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．
（1）求證：CF＝EB；
（2）請你判斷AE、AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】證明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
36．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）①經(jīng)過1s后，△BPD與△CQP全等，理由如下：
∵t＝1s，
∴BP＝CQ＝3×1＝3cm，
∵AB＝10cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴BD＝5cm．
又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm，
∴PC＝8﹣3＝5cm，
∴PC＝BD．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，

∴△BPD≌△CQP（SAS）．
②∵vP≠vQ，
∴BP≠CQ，
若△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，
則BP＝PC＝4cm，CQ＝BD＝5cm，
∴點(diǎn)P，點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間s，
∴（cm/s）；
（2）設(shè)經(jīng)過x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇，
由題意，得x＝3x+2×10，
解得．
∴點(diǎn)P共運(yùn)動了×3＝80cm．
△ABC周長為：10+10+8＝28cm，
若是運(yùn)動了三圈即為：28×3＝84cm，
∵84﹣80＝4cm＜AB的長度，
∴點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇，
∴經(jīng)過s點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇．
37．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求證：
（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】證明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∠EAB＝∠FAC＝90°，
∴∠EAC＝∠BAF，
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF，
∴EC＝BF．

（2）設(shè)AC交BF于O．
∵△EAC≌△BAF，
∴∠AFO＝∠OCM，∵∠AOF＝∠MOC，
∴∠OMC＝∠OAF＝90°，
∴EC⊥BF．

38．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點(diǎn)，由A向C運(yùn)動（與A、C不重合），Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長；
（2）當(dāng)運(yùn)動過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
設(shè)AP＝x，則PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；

（2）解法一：當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動且速度相同時(shí)，線段DE的長度不會改變．理由如下：
過P 作PF∥QC，

∴△AFP是等邊三角形，
∵P、Q 同時(shí)出發(fā)、速度相同，即BQ＝AP，
∴BQ＝PF，
∴△DBQ≌△DFP（AAS），
∴BD＝DF，
而△APF 是等邊三角形，PE⊥AF，
∵AE＝EF，
又DE+（BD+AE）＝AB＝6，
∴DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6∴DE＝3 為定值，
即DE 的長不變．
解法二：當(dāng)點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動且速度相同時(shí)，線段DE的長度不會改變．理由如下：
作QF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F，連接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵點(diǎn)P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE＝EF，
∵EB+AE＝BE+BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等邊△ABC的邊長為6，
∴DE＝3，
∴點(diǎn)P、Q同時(shí)運(yùn)動且速度相同時(shí)，線段DE的長度不會改變．

39．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一點(diǎn)，過D分別向AB，AC引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，CG是AB邊上的高．
（1）DE，DF，CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；
（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由．

【答案】（1）CG＝DE+DF．理由見解答；
（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論不成立．①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，DE﹣DF＝CG；②當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長線上時(shí)，DF﹣DE＝CG．
【解答】解：（1）DE+DF＝CG．
證明：連接AD，
則S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB?CG＝AB?DE+AC?DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在底邊的延長線上時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立．
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)D在BC延長線上時(shí)，有DE﹣DF＝CG．
理由：連接AD，則S△ABD＝S△ABC+S△ACD，
即AB?DE＝AB?CG+AC?DF
∵AB＝AC，
∴DE＝CG+DF，
即DE﹣DF＝CG．
②當(dāng)D點(diǎn)在CB的延長線上時(shí)，有DF﹣DE＝CG，
說明方法同上．

40．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以2cm/秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)以1cm/秒的速度向C點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)P、Q分別從B、A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒．解答下列問題：
（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP，AQ的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)△APQ是以PQ為底的等腰三角形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)PQ∥BC？

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°．
又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm，BP＝2t，AP＝AB﹣BP＝12﹣2t，AQ＝t．

（2）∵△APQ是以PQ為底的等腰三角形，
∴AP＝AQ，即12﹣2t＝t，
解得t＝4，即當(dāng)t＝4秒時(shí)△APQ是等腰三角形．

（3）∵當(dāng)AQ：AC＝AP：AB時(shí)，有PQ∥BC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，解得t＝3．
即當(dāng)t＝3秒時(shí)，PQ∥BC．
41．如圖，△ABC中AB＝AC，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點(diǎn)P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD的長；
（2）如圖②，過點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由．

【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】解：（1）如圖，過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，
∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，
∴BP＝CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，
∴BP＝PF，
∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，
∴證得△PFD≌△QCD，
∴DF＝CD＝CF，
又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，
∴F是BC的中點(diǎn)，即FC＝BC＝3，
∴CD＝CF＝；

（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段，
如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，
過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF為等腰三角形，
∴PB＝PF，
BE＝EF，
∴PF＝CQ，
∴FD＝DC，
∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，
∴ED為定值，
同理，如圖，若P在BA的延長線上，

作PM∥AC的延長線于M，
∴∠PMC＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PMC，
∴PM＝PB，根據(jù)三線合一得BE＝EM，
同理可得△PMD≌△QCD，
所以CD＝DM，
∵BE＝EM，CD＝DM，
∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝+﹣DM＝3+DM﹣DM＝3，
綜上所述，線段ED的長度保持不變．
：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/10/7 15:49:29；用戶：gaga；郵箱：18376708956；學(xué)號：18907713

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