2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù) 學(xué)本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．2．如圖，在正方體中，在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列直線與平面的夾角為定值的是（    ）A． B． C． D．3．若需要刻畫預(yù)報(bào)變量和解釋變量的相關(guān)關(guān)系，且從已知數(shù)據(jù)中知道預(yù)報(bào)變量隨著解釋變量的增大而減小，并且隨著解釋變量的增大，預(yù)報(bào)變量大致趨于一個(gè)確定的值，為擬合和之間的關(guān)系，應(yīng)使用以下回歸方程中的（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（    ）A． B． C． D．4．有一個(gè)沙漏如圖所示，由圓柱與圓錐組合而成，上下對(duì)稱，沙漏中沙子完全流下剛好填滿下半部分的圓柱部分，已知沙漏總高度為，圓柱部分高度為，則初始狀態(tài)的沙子高度為（    ）A． B． C． D．5．已知，都是銳角，且，，則，滿足的關(guān)系是（    ）A． B． C． D．6．挪威畫家愛德華·蒙克于1893年創(chuàng)作的《吶喊》是表現(xiàn)主義繪畫的代表作品，刻畫了一個(gè)極其痛苦的表情．畫作局部如下圖所示，人像的臉近似為一個(gè)橢圓，下巴近似為一個(gè)圓，圓心在橢圓的下焦點(diǎn)上，橢圓與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，，橢圓的兩焦點(diǎn)與圓的圓心在同一直線上，記橢圓的中心為．連接直線，，，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)與圓相切，圓的半徑為，．記該橢圓的離心率為，為不超過的最大整數(shù)，則的值為（    ）A．2 B．4 C．6 D．87．正八邊形上存在一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與，不重合），已知正八邊形邊長為2，則的最大值為（    ）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則（    ）A．0 B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．投擲一枚均勻的骰子8次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷一定出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（    ）A．第25百分位數(shù)為2，極差為4 B．平均數(shù)為，第75百分位數(shù)為C．平均數(shù)為3，方差為3  D．眾數(shù)為4，平均數(shù)為10．已知函數(shù)和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（    ）A．  B．在定義域上單調(diào)遞增C．的導(dǎo)函數(shù) D．11．已知，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（    ）A． B． C． D．12．勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸．勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體．如圖，若用棱長為4的正四面體作勒洛四面體，則（    ）A．平面截勒洛四面體所得截面的面積為B．記勒洛四面體上以，為球心的兩球球面交線為弧，則其長度為C．該勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為4D．該勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)是虛數(shù)單位，已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則________．14．平面直角坐標(biāo)系中有線段，對(duì)應(yīng)直觀圖上的線段是，若，則的斜率為________．15．已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在第一象限）．設(shè)點(diǎn)，分別為，的內(nèi)心，則的取值范圍是________．16．設(shè)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖象與曲線都有交點(diǎn)，則的最小值為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）為測(cè)量地形不規(guī)則的一個(gè)區(qū)域的徑長，采用間接測(cè)量的方法，如圖，陰影部分為不規(guī)則地形，利用激光儀器和反光規(guī)律得到，為鈍角，，，．（1）求的值；（2）若測(cè)得，求待測(cè)徑長．18．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在，求出相應(yīng)的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；若不存在，說明理由．19．（12分）如圖，四棱錐內(nèi)，平面，四邊形為正方形，，．過的直線交平面于正方形內(nèi)的點(diǎn)，且滿足平面平面．（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡長度；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求二面角的余弦值．20．（12分）一部電視連續(xù)劇共有集，某同學(xué)看了第一集后，被該電視劇的劇情所吸引，制定了如下的觀看計(jì)劃：從看完第一集后的第一天算起，把余下的集電視劇隨機(jī)分配在天內(nèi)；每天要么不看，要么看完完整的一集；每天至多看一集．已知這部電視劇最精彩的部分在第集，設(shè)該同學(xué)觀看第一集后的第天觀看該集．（1）求的分布列；（2）證明：最有可能在第天觀看最精彩的第集．21．（12分）已知拋物線：，：相交于點(diǎn)，在第一象限內(nèi)一點(diǎn)處的切線交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，在，處的切線交于點(diǎn)．（1）證明：當(dāng)面積最小時(shí)，為中點(diǎn)；（2）過作的垂線交于另一點(diǎn)，連接交于另一點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（12分）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．（1）判斷是否為的極值點(diǎn)，并說明理由；（2）若，為最小的零點(diǎn)，證明：當(dāng)時(shí)，．2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1-5：ABDCC 6-8：BDD二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．BD 10．BD 11．BC 12．AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．38 14．0或 15． 16．四、解答題：本題共6小題，共70分．17．解：（1）（2）18．解：（1）由于，向前寫一項(xiàng)并相除得，從而，累加可得時(shí)．又當(dāng)時(shí)亦符合該通項(xiàng)，因此的通項(xiàng)公式為，．（2）設(shè)，數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列，所有奇數(shù)項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，所有偶數(shù)項(xiàng)均為正數(shù)．所以若出現(xiàn)最大項(xiàng)，一定在偶數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)；若出現(xiàn)最小項(xiàng)，一定在奇數(shù)項(xiàng)出現(xiàn)．（i）考察奇數(shù)項(xiàng)，令，解得，所以有，這表明數(shù)列的最小項(xiàng)為．（ii）考察偶數(shù)項(xiàng)，令，解得，所以有，這表明數(shù)列的最大項(xiàng)為．綜上所述，存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，最大項(xiàng)為第四項(xiàng)，最小項(xiàng)為第三項(xiàng)．19．解：解：（1）作交于．因?yàn)?/span>平面平面，且平面平面，所以平面．又因?yàn)?/span>平面，所以．因?yàn)?/span>平面，且平面，所以．因?yàn)?/span>，，、平面，，所以平面．又因?yàn)?/span>平面，所以．因此，的軌跡為圓弧，其長度為．（2）20．解：（1）要在第一集后的第天中觀看后集電視劇，考慮第集在時(shí)的概率則在天要看集，在天要看1集，，且故的分布列是（2）記，，要求中的最大項(xiàng)考慮由于，，即時(shí)，有同理可得時(shí)，有．中的最大項(xiàng)為，即最有可能在第天觀看第集．21．解：（1）將代入，，：，：設(shè)，處切線：設(shè)，，：，：，即：，點(diǎn)到距離令，，所以最小時(shí)，而為中點(diǎn)當(dāng)面積最小時(shí)，為中點(diǎn)．（2），即，，與軸交點(diǎn)聯(lián)立，：聯(lián)立則令，所以當(dāng)最小時(shí)，，故22．解：（1）當(dāng)時(shí)，無意義；當(dāng)時(shí)，若不是極值點(diǎn)；若，故不是極值點(diǎn)．綜上所述，不是極值點(diǎn)．（2）時(shí)，，，要證：時(shí)，，由于，．．令，，．則存在，使得在上單調(diào)增，上單調(diào)減，且．故．只要證：記，只需證：．由于，，當(dāng)時(shí)，．則在上單調(diào)減，于是只需證：．由，得證！  
 

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