四川省2023屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：______________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是（    ）A． B． C． D．2．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．3．某高職院校對(duì)年單招參考的名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本頻率分布直方圖（如圖），則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>分以下的學(xué)生人數(shù)是（    ）A． B． C． D．4．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（    ）A． B． C． D．5．函數(shù)的部分圖象大致為（    ）A． B．C． D．6．的值為（    ）A．1 B． C．－ D．7．設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，且到直線(xiàn)的最小距離為，若，且有，則=（    ）A．2 B． C． D．38．如圖，已知正方體中，F為線(xiàn)段的中點(diǎn)，E為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)E，使；②存在點(diǎn)E，使平面；③EF與所成的角不可能等于60°；④三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)E的變化而變化．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（    ）A．4 B．3 C．2 D．19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)C：的右焦點(diǎn)為F，以OF為直徑的圓與C的兩條漸近線(xiàn)分別交于與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)A，B，若，則的周長(zhǎng)為（    ）A．6 B． C． D．10．已知函數(shù)，給出下列4個(gè)結(jié)論：①的最小值是；②若，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；③將的函數(shù)圖象橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)的圖象，則；④若存在互不相同的，，，使得，則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（    ）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②11．已知函數(shù) ， 若對(duì)于區(qū)間上的任意， 都有， 則（    ）A．的最小值是 1 B．的最小值小于 1C．的最大值是 1 D．這樣的的不存在12．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．二、填空題13．已知向量，，，若A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，則_________．14．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，以的中點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓弧，交邊于點(diǎn)，從正方形中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形中的概率為_____．15．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，是E上一點(diǎn)，直線(xiàn)與E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．16．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且，則___________.三、解答題17．已知數(shù)列，，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，．條件①：是公差為2的等差數(shù)列；條件②：．從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．如圖（1），已知邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，沿對(duì)角線(xiàn)BD將其翻折，使，設(shè)此時(shí)AC的中點(diǎn)為O，如圖（2）．(1)求證：點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面上的射影；(2)求點(diǎn)A到平面BCD的距離．19．已知袋子中放有大小和形狀相同，標(biāo)號(hào)分別是0，1，2的小球，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球1個(gè).從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的球標(biāo)號(hào)為b. 記“”為事件A．(1)求事件A的概率；(2)在區(qū)間內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“”恒成立的概率.20．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的值.21．已知函數(shù)．(1)若單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：．22．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率積為，記的軌跡為曲線(xiàn).(1)求曲線(xiàn)的方程，并說(shuō)明是什么曲線(xiàn)；(2)已知直線(xiàn)：與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且在曲線(xiàn)存在點(diǎn)，使得，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo).23．已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)函數(shù)的值域?yàn)镽時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案1．D【分析】直接寫(xiě)出z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再求關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)即可.【詳解】z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)是.故選：D.2．C【分析】根據(jù)集合交集的定義運(yùn)算即可．【詳解】集合，，則故選：C3．D【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>分以下的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可知，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>分以下的學(xué)生人數(shù)為.故選：D.4．C【分析】根據(jù)三視圖判斷出立體圖形并根據(jù)圓錐表面積公式即可求解.【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑為1，高為3，如圖：則該幾何體的表面積是.故選：C.5．A【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可排除BD，根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可排除C得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以為偶函數(shù)，故排除BD；當(dāng)時(shí)，，，則，故排除C.故選：A．6．D【分析】根據(jù)正切兩角和公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】，所以，故選：D7．C【分析】求出曲線(xiàn)的斜率為1的切線(xiàn)方程（切點(diǎn)坐標(biāo)），兩平行線(xiàn)間距離（切點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離）即為，根據(jù)分段函數(shù)計(jì)算函數(shù)值得．【詳解】已知函數(shù)定義域是，由得，由，解得或（舍去）時(shí)，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，又，，所以．故選：C．8．D【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線(xiàn)為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間線(xiàn)面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、向量的夾角判斷異面直線(xiàn)所成角、三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在的直線(xiàn)為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，點(diǎn)，則，而，，，因此，，，，，對(duì)于①而言就是否存在實(shí)數(shù)，使，而，，，，此即，這樣的不存在，①錯(cuò)誤；對(duì)于②而言就是否存在實(shí)數(shù)，使平面，首先我們?cè)谄矫?/span>內(nèi)任意找到兩條相交直線(xiàn)的方向向量，不妨就找和，，于是，即就是當(dāng)為的中點(diǎn)的時(shí)候，②正確；同理，對(duì)于③而言，還是判斷這樣的實(shí)數(shù)是否存在，，設(shè)其夾角為，則，令，此即，將上式平方解得，將回代原式結(jié)論成立，這樣的存在；③錯(cuò)誤；對(duì)于④來(lái)說(shuō)，點(diǎn)無(wú)論在上怎樣移動(dòng)，底面的高不變，故而底面面積不變，三棱錐的高為定值，所以其體積不會(huì)隨著點(diǎn)的變化而變化，故④錯(cuò)誤．所以正確的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：D.9．B【分析】結(jié)合雙曲線(xiàn)圖像對(duì)稱(chēng)性，可得軸，根據(jù)圓的性質(zhì)和雙曲線(xiàn)，，的關(guān)系可計(jì)算出，，的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知軸，，，又因?yàn)?/span>，所以，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的圓上，所以，所在的漸近線(xiàn)方程為，點(diǎn)到漸進(jìn)線(xiàn)距離為，所以，所以，，所以的周長(zhǎng)為，故選：B10．A【分析】化簡(jiǎn)得到，，①正確，時(shí)，，②正確，，時(shí)不相等，③錯(cuò)誤，，解得，④正確，得到答案.【詳解】，對(duì)①：當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)②：，則，時(shí)，，正確；對(duì)③：，時(shí)，，不相等，錯(cuò)誤；對(duì)④：，，，則，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，解得，正確.故選：A11．A【分析】由題可得，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù) 對(duì)于區(qū)間上上任意，都有，因?yàn)?/span>，則，且，由，可得，由，可得，所以函數(shù)上函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，又當(dāng)時(shí)，而， 所以，所以，即實(shí)數(shù)的最小值是1.故選：A.12．B【分析】構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可比較大小.【詳解】設(shè)，則，設(shè) ，由于在單調(diào)遞增，且其值均大于0， 單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞減，又 ，所以在單調(diào)遞減，且，所以在時(shí)，，因此在時(shí)單調(diào)遞減，故，即，即，設(shè)  當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，即，綜上可知，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷大小.構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式或者比較數(shù)的大小時(shí)，常采用兩種思路：求直接求最值和等價(jià)轉(zhuǎn)化.無(wú)論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.13．6【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.【詳解】因，，則，又，且A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，即，因此，解得，所以.故答案為：614．【分析】由已知求出扇形面積與正方形面積，再由測(cè)度比是面積比得所求概率．【詳解】如圖，正方形面積，因，故，所以，同理，所以，又，∴．∴從正方形中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形中的概率為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，求出扇形面積是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15．10【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，，，從而，又，得，故，即可得的周長(zhǎng).【詳解】由題意，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支上，根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，，，從而，又，，，，故，所以的周長(zhǎng)，故答案為：10．16．【分析】利用正弦定理化邊為角，再逆用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，由正弦定理可得：，即，所以，在中，因?yàn)?/span>，所以，即，所以，故答案為：17．(1)(2) 【分析】（1）選①：由與的關(guān)系即可求解；選②：由等差數(shù)列的定義即可求；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為數(shù)列的前項(xiàng)和，所以.選擇條件①：因?yàn)?/span>是公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為，所以，整理，得，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)也符合，所以；選擇條件②：因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，整理，得，所以是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，即.（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以，所以，所以，整理，得.18．(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）連接DO，BO，利用勾股定理證明，再證明平面，即可得證；（2）利用等體積法求解即可.【詳解】（1）連接DO，因?yàn)?/span>，O為AC的中點(diǎn)，所以，設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，又因?yàn)?/span>，所以，連接BO，則，又因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面上的射影；（2）設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，且，則的面積為，則，的面積為，由（1）知，平面，，所以，由得，，所以，即點(diǎn)A到平面BCD的距離為．19．(1)；(2). 【分析】（1）將標(biāo)號(hào)為0的小球記為0，標(biāo)號(hào)為1的小球記為，標(biāo)號(hào)為2的小球記為2，再用坐標(biāo)表示取球情況，可得取球總情況數(shù)，則；（2）設(shè)事件“恒成立”為事件B，由題可得事件B等價(jià)于“恒成立”，又全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?/span>，事件B所構(gòu)成的區(qū)域，則所求概率為兩區(qū)域面積之比.【詳解】（1）將標(biāo)號(hào)為0的小球記為0，標(biāo)號(hào)為1的小球記為，標(biāo)號(hào)為2的小球記為2，則從袋子中兩次不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球可能的結(jié)果：，，，，共12種.其中滿(mǎn)足“”的有，共4種.故；（2）設(shè)事件“恒成立”為事件B，因，故事件B等價(jià)于恒成立.又全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域，事件B所構(gòu)成的區(qū)域，如下圖所示.則.20．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意得，，再結(jié)合即可求得答案；（2）聯(lián)立直線(xiàn)、橢圓方程可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式可得答案.【詳解】（1）橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)殡x心率為，所以，所以，所以橢圓的方程為.（2）由得，解得，所以，或，可得，，或者，，所以.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1），因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，即，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最值，利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（2）由題意可知，且，要證明，只需證明．由得，所以．令，，則需證明．令，則，令，可求得，從而在時(shí)單調(diào)遞減，所以，原不等式即可得證．【詳解】（1）由得，因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，所以在時(shí)恒成立，即，令，則，可知時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，則時(shí)取最大值，所以，所以，的取值范圍是．（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不合題意；因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，不合題意，可知，且，要證明，只需證明．由得則，所以，.令，則，要證明，需證明．令，且，則，令，且，則，則在時(shí)單調(diào)遞增，故，故，則在時(shí)單調(diào)遞減，所以，，即，則有，所以，即原不等式成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)．一般思路為利用條件將問(wèn)題逐步轉(zhuǎn)化，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．22．(1)：（），是除去左右兩個(gè)端點(diǎn)的雙曲線(xiàn)(2)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. 【分析】（1）利用斜率公式列出方程即可；（2）將直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立消去，設(shè)，利用韋達(dá)定理得和，再設(shè) ，由列方程解出的值即可.【詳解】（1）動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率積為即：（），是除去左右兩個(gè)端點(diǎn)的雙曲線(xiàn)（2）將直線(xiàn)與曲線(xiàn)聯(lián)立得，設(shè)，則，設(shè)，由得，即，又因?yàn)?/span>，解得，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.23．(1)(2) 【分析】（1）利用零點(diǎn)分段法解不等式，求出函數(shù)的定義域；（2）由的值域?yàn)镽得到能取遍所有正數(shù)，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式得到，故，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令，即①，或②，或③，解①得：，解②得：，解③得：，所以定義域?yàn)?/span>；（2）因?yàn)?/span>的值域?yàn)镽，故能取遍所有正數(shù)，由絕對(duì)值三角不等式，故，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是. 

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