?第六節(jié)　雙曲線

一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當(dāng)ac時(shí)，點(diǎn)P不存在．
2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實(shí)虛軸
實(shí)軸|A1A2|＝2a；虛軸|B1B2|＝2b；實(shí)半軸長a，虛半軸長b
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.常用結(jié)論
(1)過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為，也叫通徑．
(2)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有共同的漸近線的方程可表示為－＝λ(λ≠0)．
(3)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.
(4)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)
1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．
(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,2)，F(xiàn)2(0，－2)距離之差的絕對(duì)值等于4的點(diǎn)的軌跡是雙曲線． (×)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線． (×)
(3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(√)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(√)
2．雙曲線－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
B　解析：由題可知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，(2,0)．
3．若雙曲線－＝1(a>0)的離心率為，則a＝________.
4　解析：由題意可得，e2＝＝，即a2＝16.又a>0，所以a＝4.
4．經(jīng)過點(diǎn)A(3，－1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為__________．
－＝1　解析：設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，把點(diǎn)A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求雙曲線方程為－＝1.
5．已知雙曲線x2－＝1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于________．
6　解析：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為c－a＝－1，故|PF2|＝6.


考點(diǎn)1　雙曲線的定義——基礎(chǔ)性

(1)(2020·浙江卷)已知點(diǎn)O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|－|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3圖象上的點(diǎn)，則|OP|＝(　　)
A． B． C． D．
D　解析：由雙曲線定義可知，點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支上．設(shè)P(x，y)，則x2－＝1(x≥1)，
將y＝3代入可得x2＝，
所以y2＝3(x2－1)＝，所以|OP|＝＝.
故選D．
(2)(2020·肥東縣綜合高中高三三模)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)Q(0，c)(c為半焦距)．P是雙曲線C的右支上的動(dòng)點(diǎn)，且|PF1|＋|PQ|的最小值為6，則雙曲線C的方程為______________．
x2－＝1　解析：設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為F2，則|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值為|QF2|＝＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值為2a＋2c＝6.又＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故雙曲線C的方程為x2－＝1.

利用雙曲線的定義求方程要注意的問題
(1)距離之差的絕對(duì)值．
(2)2a＜|F1F2|.
(3)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置．

1．(2020·咸陽市高三三模)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)．若∠F1PF2＝90°，c＝2，S＝3，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
D　解析：由題意可得
所以(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4，|PF1|－|PF2|＝2＝2a，得a＝1，b＝＝，所以漸近線方程為y＝±x.
2．(2020·深圳市高三二模)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5，0)，P為雙曲線C上一點(diǎn)，PF1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝，則雙曲線C的方程為(　　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．－＝1
A　解析：如圖，因?yàn)镻F1⊥PF2，tan ∠PF1F2＝，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.根據(jù)雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以雙曲線C的方程為x2－＝1.


考點(diǎn)2　雙曲線的方程——綜合性

(1)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，)
A　解析：因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m2＝1.
又由所給方程表示雙曲線得(1＋n)(3－n)>0，解得－10)，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為(　　)
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－y2＝1 D．x2－y2＝1
D　解析：由題意知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線C為等軸雙曲線，漸近線的斜率分別為1和－1.因?yàn)橹本€l與一條漸近線平行，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，所以＝－1，即b＝1.所以雙曲線C的方程為x2－y2＝1.故選D．

求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的一般方法
(1)待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值；與雙曲線－＝1有相同漸近線時(shí)，可設(shè)所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值．

1．已知雙曲線C：－＝1，則雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A．(±5,0) B．(±，0) C．(0，±5) D．(0，±)
C　解析：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上，又a2＝16，b2＝9，則c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±5)．
2．與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點(diǎn)M(2，－2)的雙曲線方程為____________．
－＝1　解析：設(shè)與雙曲線－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為－y2＝k.將點(diǎn)(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1.
3．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為____________．
x2－＝1(x≤－1)　解析：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B．

根據(jù)兩圓外切的條件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.
因?yàn)閨MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6.根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a＝1，c＝3，則b2＝8.故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)．

考點(diǎn)3　雙曲線的幾何性質(zhì)——綜合性

考向1　雙曲線的漸近線
雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
A　解析：(方法一)由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
(方法二)由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.

求雙曲線的漸近線的方法
已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的方程，求漸近線的方程時(shí)，可令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知漸近線方程為y＝±x，可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
考向2　求雙曲線的離心率
(1)(2020·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝x，則該雙曲線的離心率是________．
　解析：因?yàn)殡p曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±x，所以＝，所以a＝2，則離心率e＝＝＝.
(2)(2020·瀏陽一模)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0.若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是(　　)
A． B． C．(1,2) D．(2，＋∞)
A　解析：由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝a2，圓心C2的坐標(biāo)為(a,0)，半徑r＝a.由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c20，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(　　)
A. B．2 C. D．2
D　解析：(方法一)由離心率e＝＝，得c＝a.又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到雙曲線C的漸近線的距離為＝2.
(方法二)離心率e＝的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，所以點(diǎn)(4,0)到雙曲線C的漸近線的距離為＝2.

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