?第六節(jié)　雙曲線
考試要求：1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程．
2．了解雙曲線的簡單幾何性質．

一、教材概念·結論·性質重現(xiàn)
1．雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．

集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0．
(1)當ac時，點P不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
圖形


性質
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸
實軸|A1A2|＝2a；
虛軸|B1B2|＝2b；
實半軸長a，虛半軸長b
a，b，c
的關系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3．雙曲線中的幾個常用結論
(1)焦點到漸近線的距離為b．
(2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．
(3)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為(通徑)．
過雙曲線的焦點與雙曲線一支相交所得弦長的最小值為；與兩支相交所得弦長的最小值為2a．
(4)過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|．
(5)雙曲線的離心率公式可表示為e＝．
(6)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的形狀與e的關系：|k|＝＝＝，e越大，即漸近線斜率的絕對值就越大，雙曲線開口就越開闊．
(7)－＝1(a＞0，b＞0)與－＝1(a＞0，b＞0)互為共軛雙曲線，其離心率倒數的平方和為1．
(8)已知雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，與其漸近線相同的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)．
二、基本技能·思想·活動經驗
1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．
(1)平面內到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線． (　×　)
(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦點在x軸上的雙曲線． (　×　)
(3)雙曲線方程－＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0． (　√　)
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于． (　√　)
2．過雙曲線x2－y2＝8的左焦點F1有一條弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點，則△PF2Q的周長是(　　)
A．28
B．14－8
C．14＋8
D．8
C　解析：根據雙曲線定義可知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝8，所以|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋8＝14＋8．故選C．
3．雙曲線－＝1的漸近線方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
C　解析：雙曲線－＝1中，a＝3，b＝2，雙曲線的漸近線方程為y＝±x．
4．焦點是(0，±2)，且與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線的方程是(　　)
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．x2－y2＝2 D．y2－x2＝2
D　解析：由已知，得雙曲線焦點在y軸上，且為等軸雙曲線．故選D．
5．經過點A(3，－1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________．
－＝1　解析：當焦點在x軸上時，設雙曲線的標準方程為－＝1，
把A(3，－1)代入方程得－＝1，a2＝8，所以雙曲線的標準方程為－＝1．
當焦點在y軸上時，設雙曲線的標準方程為－＝1，
把A(3，－1)代入方程得－＝1，a2＝－8(舍)．
故所求雙曲線方程為－＝1．


考點1　雙曲線的定義——基礎性

1．已知兩圓C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，動圓M與兩圓C1，C2都相切，則動圓圓心M的軌跡方程是(　　)
A．x＝0 B．－＝1(x≥)
C．－＝1 D．－＝1或x＝0
D　解析：動圓M與兩圓C1，C2都相切，有四種情況：①動圓M與兩圓都外切；②動圓M與兩圓都內切；③動圓M與圓C1外切、與圓C2內切；④動圓M與圓C1內切、與圓C2外切．
在①②情況下，顯然，動圓圓心M的軌跡方程為x＝0；
在③的情況下，設動圓M的半徑為r，
則|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－．
故得|MC1|－|MC2|＝2；
在④的情況下，同理得|MC2|－|MC1|＝2．
由③④得|MC1|－|MC2|＝±2．已知|C1C2|＝8，
根據雙曲線定義，可知點M的軌跡是以C1(－4,0)，C2(4,0)為焦點的雙曲線，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程為－＝1．故選D．
2．設過雙曲線x2－y2＝9左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點P，Q，若|PQ|＝7，則△F2PQ的周長為(　　)
A．19 B．26
C．43 D．50
B　解析：如圖所示，由雙曲線的定義

可得
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，
所以△F2PQ的周長為|PF2|＋|QF2|＋|PQ|
＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26．

1．定義理解：①距離之差的絕對值，不能漏掉“絕對值”，否則軌跡是一支．
②2aa>0，c>b>0；數量關系c2＝a2＋b2．這兩個關系與橢圓中的均不同，不能混淆．

考點2　雙曲線的標準方程——綜合性

(1)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，且與橢圓＋＝1有公共焦點，則C的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　解析：橢圓＋＝1的焦點坐標為(±3,0)，則雙曲線的焦點坐標為(±3,0)，可得c＝3，雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝x，可得＝，即＝，可得＝，解得a＝2，b＝，所求的雙曲線C的方程為－＝1．故選B．
(2)(多選題)(2020·新高考全國Ⅰ卷)已知曲線C：mx2＋ny2＝1，則下列說法正確的是(　　)
A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±x
D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線
ACD　解析：對于A，當m＞n＞0時，有＞＞0，方程化為＋＝1，表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確．
對于B，當m＝n＞0時，方程化為x2＋y2＝，表示半徑為的圓，故B錯誤．
對于C，當m＞0，n＜0時，方程化為－＝1，表示焦點在x軸上的雙曲線，其中a＝，b＝，漸近線方程為y＝± x；當m＜0，n＞0時，方程化為－＝1，表示焦點在y軸上的雙曲線，其中a＝ ，b＝，漸近線方程為y＝± x，故C正確．
對于D，當m＝0，n＞0時，方程化為y＝± ，表示兩條平行于x軸的直線，故D正確．

將本例(2)的方程變?yōu)?m－1)x2＋my2＝m(m－1)(m∈R)，則該方程可以表示哪些曲線？
解：對于方程(m－1)x2＋my2＝m(m－1)，
①當m＝1時，方程即y2＝0，即 y＝0，表示x軸．
②當m＝0時，方程即x2＝0，即 x＝0，表示y軸．
③當m≠1，且 m≠0時，方程即＋＝1，
若m＝m－1，即m∈?時，方程不可能是圓；
若m(m－1)＜0，方程表示雙曲線；
若m(m－1)＞0且m≠m－1，方程表示橢圓．

求雙曲線標準方程的一般方法
(1)待定系數法：設出雙曲線方程的標準形式，根據已知條件，列出關于參數a，b，c的方程并求出a，b，c的值；與雙曲線－＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)；也可設為mx2＋ny2＝1(mn0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
A　解析：由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線y＝x與直線y＝2x＋10平行，
所以＝2，且左焦點為(－5,0)．所以a2＋b2＝c2＝25．解得a2＝5，b2＝20．
故雙曲線方程為－＝1．故選A．

考點3　雙曲線的幾何性質——應用性

考向1　雙曲線的漸近線
已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點為F，點A，B是C的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點．若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
B　解析：設雙曲線的另一個焦點為F′，由雙曲線的對稱性，四邊形AFBF′是矩形，所以
S△ABF＝S△AFF′，即bc＝8，由得y＝±，所以|MN|＝＝2，所以b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝2，C的漸近線方程為y＝±x．故選B．

求雙曲線的漸近線的方法
(1)由條件求出a，b的值，根據雙曲線焦點的位置寫出漸近線方程．
(2)由條件c2＝a2＋b2得到關于a，b的方程，構造關于的方程，通過解方程求，進而寫出漸近線方程．
考向2　雙曲線的離心率
已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點．若△ABF2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C． D．3
C　解析：取AB的中點D，連接DF2，設AF2＝m，則AF1＝m－2a，BF1＝AF1＋BA＝2m－2a．因為BF1－BF2＝2m－2a－m＝m－2a＝2a，
所以m＝4a，DF1＝4a，DF2＝2a，
從而F1F2＝2c＝＝2a，e＝＝．故選C．


求雙曲線離心率或其取值范圍的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉化成關于e的方程(或不等式)求解．
考向3　與雙曲線有關的最值和范圍問題
(2021·洛陽模擬)若雙曲線－＝1的左焦點為F，點P是雙曲線右支上的動點，A(1,4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．12
B　解析：由題意知，雙曲線－＝1的左焦點F的坐標為(－4,0)，設雙曲線的右焦點為B，則B(4,0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當且僅當A，P，B三點共線且P在A，B之間時取等號．
所以|PF|＋|PA|的最小值為9．

與雙曲線有關的取值范圍問題的解題思路
(1)若條件中存在不等關系，則借助此關系直接變換求解．
(2)若條件中沒有不等關系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關系或借助曲線中的不等關系來解決．

1．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與直線x＋y－4＝0垂直，則該雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C．2 D．4
C　解析：由題意可知·＝－1，所以＝，
所以e＝＝＝2．故選C．
2．已知點F是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，點E是該雙曲線的左頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．若∠AEB是鈍角，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)
A．(1＋，＋∞) 　　 B．(1,1＋)
C．(2，＋∞) 　　 D．(2,1＋)
C　解析：因為雙曲線關于x軸對稱，且直線AB垂直x軸，
所以∠AEF＝∠BEF．
因為∠AEB是鈍角，所以AF＞EF．
因為F為右焦點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，
所以AF＝．
因為EF＝a＋c，所以＞a＋c，即c2－ac－2a2＞0．
解得＞2或b>0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°．
(1)求橢圓的離心率的取值范圍；
(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．
(1)解：設|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝，
即cos 60°＝＝－1≥－1＝－1＝1－＝1－2e2，當且僅當m＝n時取“＝”，所以e2≥．
又e∈(0,1)，所以e∈．
(2)證明：由(1)，知cos 60°＝＝－1，所以mn＝b2，
所以S＝mnsin 60°＝b2，
即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．
如圖所示，已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，點M為雙曲線上一點，并且∠F1MF2＝θ，求△MF1F2的面積．

解：在△MF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos θ．①
因為|F1F2|2＝4c2，|MF1|2＋|MF2|2＝(|MF1|－|MF2|)2＋2|MF1|·|MF2|＝4a2＋2|MF1|·|MF2|，
所以①式化為4c2＝4a2＋2|MF1|·|MF2|(1－cos θ)，
所以|MF1|·|MF2|＝，
所以S＝|MF1|·|MF2|·sin θ＝＝＝．


已知A，F(xiàn)，P分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左頂點、右焦點以及右支上的動點．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，則雙曲線的離心率為(　　)
A． B．
C．2 D．1＋
[四字程序]
讀
想
算
思
A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點和右焦點，P是雙曲線右支上的動點
1．雙曲線的離心率的表達式是什么？
2．如何把幾何條件∠PFA＝2∠PAF轉化為代數式子
設∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之間的聯(lián)系
數形結合
∠PFA＝2∠PAF，求雙曲線的離心率
1．e＝＝．
2．轉化為直線的傾斜角，進而用直線的斜率表示二者之間的關系
tan∠PFA＝tan 2α＝

利用特殊值法或者代數運算，都要結合圖形解決問題


思路參考：特殊值法，不妨設∠PFA＝90°求解．
C　解析：因為∠PFA＝2∠PAF恒成立，
不妨令∠PFA＝90°，則∠PAF＝45°．

在雙曲線－＝1中，令x＝c，易得P．
因為tan∠PAF＝1，所以＝a＋c，
所以c2－ac－2a2＝0，
所以(c＋a)(c－2a)＝0，
解得c＝2a，即e＝2．

思路參考：利用誘導公式表示出直線PA，PF之間斜率的關系求解．
C　解析：設∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝＝．
設點P(x0，y0)，故－＝1．①
因為k2＝，k1＝，
所以＝．②
聯(lián)立①②消去y0得：
x＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)
當且僅當時，(*)式恒成立，
此時e＝＝2．

思路參考：構造相似三角形，結合平面幾何知識求解．
C　解析：如圖1，∠ACB＝2∠ABC，由平面幾何知識，
△ACD∽△BAD，故＝，
所以c2－b2＝ab，反之亦然．

圖1
在雙曲線中，設點P(x0，y0)，
過點P作PM⊥AF，如圖2．

圖2
因為∠PFA＝2∠PAF，
同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|．
又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2＋|MP|2)－(|MF|2＋|MP|2)＝(|AM|＋|MF|)(|AM|－|MF|)＝|AF|·(2x0＋a－c)，
所以|PF|＝2x0＋a－c．
由雙曲線的焦半徑公式知，|PF|＝ex0－a，
所以2x0＋a－c＝ex0－a，此時e＝＝2．

思路參考：設出點P(m，n)，利用過兩點的斜率公式與傾斜角關系求解．
C　解析：如圖，作PM⊥AF于點M，

設∠PAF＝α，∠PFA＝2α，設點P(m，n)．
在Rt△PAM中，tan α＝，
在Rt△PFM中，tan 2α＝．
因為tan 2α＝，
所以＝，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－n2，
所以2(m＋a)(c－m)＝(m＋a)2－b2，
所以－2m2＋2(c－a)m＋2ac＝m2＋2am＋c2恒成立．
所以所以e＝＝2．

1．本題考查雙曲線的離心率的計算，其基本策略是根據雙曲線的幾何性質尋找a，c的關系式．
2．基于課程標準，解答本題要熟練掌握雙曲線的定義，直線的斜率公式和正切的二倍角公式．本題的解答體現(xiàn)了數學運算的核心素養(yǎng)．
3．基于高考數學評價體系，本題通過知識間的相互聯(lián)系和轉化，體現(xiàn)了基礎性和綜合性的統(tǒng)一．

已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為(　　)
A． B．2
C． D．2
D　解析：(方法一)由離心率e＝＝，得c＝a．又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x．由點到直線的距離公式，得點(4,0)到雙曲線C的漸近線的距離為＝2．
(方法二)離心率e＝的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，所以點(4,0)到雙曲線C的漸近線的距離為＝2．

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