?第五節(jié)　橢圓

一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)
1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．
(1)若a>c，則集合P為橢圓．
(2)若a＝c，則集合P為線段．
(3)若ab>0)
＋＝1(a>b>0)
圖形


性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝∈(0,1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2


(1)橢圓焦點(diǎn)位置與x2，y2系數(shù)間的關(guān)系：
給出橢圓方程＋＝1時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?m>n>0，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?00)的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同． (×)
2．橢圓＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A．(±3,0) B．(0，±3)
C．(±9,0) D．(0，±9)
B　解析：根據(jù)橢圓方程可得焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝a2－b2＝25－16＝9，所以c＝3，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±3)．
3．已知橢圓C：＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為(　　)
A． B． C． D．
C　解析：不妨設(shè)a>0.因?yàn)闄E圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，所以焦點(diǎn)在x軸上，且c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以橢圓C的離心率e＝＝.
4．若F1(3,0)，F(xiàn)2(－3,0)，點(diǎn)P到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，則點(diǎn)P的軌跡方程是______________．
＋＝1　解析：因?yàn)閨PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1.
5．已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
或　解析：設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)．由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y＝±1，
把y＝±1代入＋＝1，得x＝±.
又x＞0，所以x＝，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)為或.


考點(diǎn)1　橢圓的定義及應(yīng)用——基礎(chǔ)性

(1)(2020·廣東東莞4月模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．若△AF2B是邊長為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B　解析：如圖所示，因?yàn)椤鰽BF2是邊長為4的等邊三角形，
所以|AF2|＝4，|AF1|＝|AB|＝2，所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝6，所以a＝3.
又因?yàn)閨F1F2|＝2c＝＝2，所以c＝，則b2＝a2－c2＝6，故橢圓C的方程為＋＝1.故選B．

(2)(2020·懷寧縣第二中學(xué)高三月考)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是(　　)
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
D　解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心M(x，y)，半徑為r.因?yàn)閳AM與圓C1：(x－4)2＋y2＝169內(nèi)切，與C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r.
|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由橢圓的定義，點(diǎn)M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)，長軸為16的橢圓，則a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，
所以動(dòng)圓的圓心M的軌跡方程為＋＝1.
(3)(2020·深圳高三二模)已知A，F(xiàn)分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的下頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，過A且傾斜角為60°的直線l分別交x軸和橢圓C于M，N兩點(diǎn)，且點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為b.若△FMN的周長為6，則△FAN的面積為________．
　解析：如圖所示，

由題意得，A(0，－b)，F(xiàn)(－c,0)，直線MN的方程為y＝x－b.
把y＝b代入橢圓方程，解得x＝a，
所以N.
因?yàn)镹在直線MN上，所以b＝×a－b，解得＝.
又a2＝b2＋c2，所以＝b2＋c2，解得b＝c.
令y＝x－b＝0，則M，即M(c，0)，
所以M為橢圓的右焦點(diǎn)，所以|FM|＝2c.
由橢圓的定義可知，|NF|＋|NM|＝2a，因?yàn)椤鱂MN的周長為6，所以2a＋2c＝6，
因?yàn)椋剑琤＝c，所以a＝2c，所以c＝1，a＝2，b＝，
所以S△FAN＝·|FM|·
＝c·b＝.

橢圓定義的應(yīng)用技巧
(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點(diǎn)三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等．
(2)橢圓的定義常和余弦定理、正弦定理結(jié)合使用，求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長和面積問題．

1．(2020·北京四中高三開學(xué)考試)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長為4，則橢圓C的方程為(　　)
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
A　解析：若△AF1B的周長為4，由橢圓的定義可知，4a＝4，所以a＝.因?yàn)閑＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1.故選A．
2．(2020·上海高三三模)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓在第一象限的一點(diǎn)，且△OAF為等邊三角形，則a＝________.
　解析：如圖所示，△OAF為等邊三角形，由|OF|＝|OF1|＝|OA|＝1，得△AF1F是直角三角形．
所以|F1F|＝2，|AF|＝1，|AF1|＝.由橢圓的定義得2a＝|AF1|＋|AF|＝＋1，所以a＝.


考點(diǎn)2　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程——綜合性

(1)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
C　解析：把橢圓方程化成＋＝1.若m＞n＞0，則＞＞0.所以橢圓的焦點(diǎn)在y軸上．反之，若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則＞＞0，即有m＞n＞0.故“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件．
(2)過點(diǎn)(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________．
＋＝1　解析：(方法一)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.
由橢圓的定義知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2得b2＝4.
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(方法二)因?yàn)樗髾E圓與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝25－9＝16.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．因?yàn)閏2＝16，且c2＝a2－b2，所以a2－b2＝16.①
又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，所以＋＝1，即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.

本例(2)若改為：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，(，－)，則橢圓的方程為____________．
＋＝1　解析：設(shè)橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．
由
解得
所以橢圓的方程為＋＝1.


求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
(1)定義法
先根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，并確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．特別地，利用定義法求橢圓方程要注意條件2a＞|F1F2|.
(2)待定系數(shù)法
利用待定系數(shù)法要先定形(焦點(diǎn)位置)，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．

1．(2020·銀川高級(jí)中學(xué)高三月考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A，B在橢圓上，AB⊥F1F2于F2，|AB|＝4，|F1F2|＝2，則橢圓方程為(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
C　解析：由題意可得c＝，＝4，c2＝a2－b2，解得a＝3，b＝，
所以所求橢圓方程為＋＝1.故選C．
2．(2020·福建省撫州市高三模擬)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2，點(diǎn)E在C上，EF1⊥EF2，直線EF1的斜率為(c為半焦距)，則橢圓C的方程為____________．
＋＝1　解析：因?yàn)镋F1⊥EF2，且直線EF1的斜率為，根據(jù)斜率的定義可知，傾斜角的正切值＝，故根據(jù)比例關(guān)系有EF2∶EF1∶F1F2＝b∶c∶＝b∶c∶a.
故離心率＝＝＝，即＝.
故a2＝bc＋c2?a2－c2＝bc?b2＝bc，故b＝c.又2c＝2，故b＝c＝.
故a＝＝.故橢圓C的方程為＋＝1.

考點(diǎn)3　橢圓的幾何性質(zhì)——綜合性

考向1　求橢圓的離心率或取值范圍
已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則橢圓C的離心率為(　　)
A． B． C． D．
D　解析：由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示．

設(shè)|F1F2|＝2c，因?yàn)椤鱌F1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c.
因?yàn)閨OF2|＝c，過P作PE垂直x軸于點(diǎn)E，則∠PF2E＝60°，所以|F2E|＝c，|PE|＝c，即點(diǎn)P(2c，c)．
因?yàn)辄c(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為的直線上，
所以＝，解得＝，所以e＝.

求橢圓離心率的方法
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解．
考向2　與橢圓的性質(zhì)有關(guān)的最值或范圍問題
如圖，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則·的最大值為________．

4　解析：由題意知a＝2，因?yàn)閑＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故橢圓方程為＋＝1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.因?yàn)镕(－1,0)，A(2,0)，＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.則當(dāng)x0＝－2時(shí)，·取得最大值4.

橢圓的范圍與最值問題
(1)在設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x，y)時(shí)，有|x|≤a，|y|≤b，可以把橢圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)視為某一函數(shù)問題，進(jìn)而求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值．
(2)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c；橢圓短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角是橢圓上點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線夾角的最大值．

1．(多選題)(2020·菏澤期中)某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示．已知它的近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面n千米，并且F，A，B三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為R千米．設(shè)該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c，則(　　)

A．a(chǎn)－c＝m＋R
B．a(chǎn)＋c＝n＋R
C．2a＝m＋n
D．b＝
ABD　解析：由題設(shè)條件可得
所以a－c＝m＋R，故A正確；a＋c＝n＋R，故B正確；
①＋②得m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正確；
由可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2，因?yàn)閍2－c2＝b2，所以b2＝(m＋R)(n＋R)?b＝，故D正確．故選ABD．
2．已知兩定點(diǎn)A(－1,0)和B(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動(dòng)，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，求橢圓C的離心率的最大值．
解：不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>1)，
與直線l的方程聯(lián)立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0.
由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，
所以e＝＝≤，所以e的最大值為.


設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，如果橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2＝90°，求離心率e的取值范圍．
[四字程序]
讀
想
算
思
在橢圓上存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2為直角
1.在焦點(diǎn)三角形中可利用哪些性質(zhì)或結(jié)論？
2．離心率的表達(dá)式有哪些？
構(gòu)建點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與a，b，c的關(guān)系式，利用橢圓的有界性求解
轉(zhuǎn)化與化歸，函數(shù)與方程
求橢圓離心率e的取值范圍
1.在焦點(diǎn)三角形中要注意應(yīng)用
①橢圓的定義；
②勾股定理或余弦定理；
③三角形的面積公式．
2．e＝或e＝
x2＝
1.橢圓的有界性；
2．一元二次方程有實(shí)根的條件


思路參考：利用曲線范圍．
解：設(shè)P(x，y)，又知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
則＝(x＋c，y)，＝(x－c，y)．
由∠F1PF2＝90°，知⊥，
則·＝0，
即(x＋c)(x－c)＋y2＝0，
得x2＋y2＝c2.
將這個(gè)方程與橢圓方程＋＝1聯(lián)立，
消去y，可得x2＝.
由橢圓的取值范圍及∠F1PF2＝90°，
知0≤x2

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