2．會(huì)借助方程的思想解決直線(xiàn)與橢圓相交的綜合問(wèn)題．
1．直線(xiàn)與橢圓的位置判斷
將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線(xiàn)與橢圓相交?Δ>0；直線(xiàn)與橢圓相切?Δ＝0；直線(xiàn)與橢圓相離?Δ0)交于A，B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB中點(diǎn)為M，若直線(xiàn)OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的傾斜角為150°，則橢圓C的離心率為( )
A．13 B．23 C．33 D．63
(2)若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0，2)，直線(xiàn)y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為_(kāi)_______．
(1)D (2)x28+y212＝1 [(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M(x0，y0)．
∵x12a2+y12b2＝1，x22a2+y22b2＝1，
兩式相減可得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2＝0，
把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y1-y2x1-x2＝k＝33，y0x0＝tan 150°＝－33，代入可得
b2a2＝13.∴e＝1-b2a2＝63.故選D.
(2)法一(直接法)：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0，2)，∴設(shè)橢圓方程為y2b2+4+x2b2＝1(b>0)，由y2b2+4+x2b2=1，y=3x+7 消去x，
得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0，
設(shè)直線(xiàn)y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為(A(x_1 ) ，y1)，B(x2，y2)，由題意知y1+y22＝1，
∴y1＋y2＝14b2+410b2+4＝2，解得b2＝8.
∴所求橢圓方程為x28+y212＝1.
法二(點(diǎn)差法)：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0，2)，∴設(shè)橢圓的方程為y2b2+4+x2b2＝1(b>0)．
設(shè)直線(xiàn)y＝3x＋7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y12b2+4+x12b2=1，①y22b2+4+x22b2=1，②
①－②得y1-y2y1+y2b2+4+x1-x2x1+x2b2＝0，
即y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2＝－b2+4b2，
又∵弦AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，故橫坐標(biāo)為－2，
k＝y(tǒng)1-y2x1-x2＝3，代入上式得3×2×12×-2＝－b2+4b2，解得b2＝8，故所求的橢圓方程為x28+y212＝1.]
解答弦長(zhǎng)問(wèn)題及中點(diǎn)弦問(wèn)題的注意點(diǎn)
求弦長(zhǎng)的前提是直線(xiàn)和橢圓相交，可利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)； 對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解．在用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，要注意前提條件Δ＞0；在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)是否相交．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的焦距為42，短軸長(zhǎng)為2，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P-2，1且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線(xiàn)l的斜率為1，求弦AB的長(zhǎng)；
(3)若過(guò)點(diǎn)Q1，12的直線(xiàn)l1與橢圓C交于E、G兩點(diǎn)，且Q是弦EG的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l1的方程．
[解] (1)依題意，橢圓C的半焦距c＝22，而b＝1，則a2＝b2＋c2＝9，
所以橢圓C的方程為x29＋y2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
依題意，直線(xiàn)l的方程為y＝x＋3，由y=x+3，x2+9y2=9 消去y并整理得5x2＋27x＋36＝0，
解得x1＝－125，x2＝－3，因此，|AB|＝1+12·|x1－x2|＝325，
所以弦AB的長(zhǎng)是325.
(3)顯然，點(diǎn)Q1，12在橢圓C內(nèi)，設(shè)E(x3，y3)，G(x4，y4)，因?yàn)镋，G在橢圓C上，
則x32+9y32=9，x42+9y42=9，兩式相減得：(x3－x4)(x3＋x4)＋9(y3－y4)(y3＋y4)＝0，
而Q是弦EG的中點(diǎn)，即x3＋x4＝2且y3＋y4＝1，則有2(x3－x4)＋9(y3－y4)＝0，
于是得直線(xiàn)l1的斜率為y3-y4x3-x4＝－29，直線(xiàn)l1的方程：y－12＝－29(x－1)，即4x＋18y－13＝0，所以直線(xiàn)l1的方程是4x＋18y－13＝0.
考點(diǎn)三 直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題
[典例4] 已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)E3，32.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)F1的直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若AF1＝2F1B，求直線(xiàn)l的斜率k的值．
[解] (1)根據(jù)題意知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，
由2a=EF1+EF2=4，a2=b2+c2， c=1， 解得a=2， c=1， b=3，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23＝1.
(2)由題意得直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋1)(k＞0)，
聯(lián)立y=kx+1，x24+y23=1，
整理得3k2+4y2－6ky－9＝0，
則Δ＝144k2＋144＞0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝6k3+4k2，y1y2＝-9k23+4k2，
又AF1＝2F1B，所以y1＝－2y2，
又y1＋y2＝6k3+4k2，所以y1＝12k3+4k2，y2＝-6k3+4k2，代入y1y2＝-9k23+4k2，
則3＋4k2＝8，解得k＝±52，
又k＞0，所以k＝52.
1．求解直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解．為減少計(jì)算量，在代數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常運(yùn)用設(shè)而不求、整體代入的方法．
2．涉及直線(xiàn)方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線(xiàn)斜率為0或不存在等特殊情形．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(2022·吉林長(zhǎng)春一模)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的離心率為12，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且滿(mǎn)足|PF1|＝4，|PF1||PF2|－2PF1·PF2＝0.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知過(guò)點(diǎn)(2，0)且不與x軸重合的直線(xiàn)l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得∠MQO＝∠NQO. 若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
[解] (1)由cs ∠F1PF2＝PF1·PF2PF1PF2＝12知∠F1PF2＝60°，
在△F1PF2中，|PF2|＝2a－4，ca＝12，由余弦定理得
4c2＝16＋(2a－4)2－4(2a－4)，
解得a＝4，c＝2，b2＝12，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y212＝1.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)Q(m，0)滿(mǎn)足條件，設(shè)直線(xiàn)l方程為x＝ty＋2，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x=ty+2，x216+y212=1，
消去x有(3t2＋4)y2＋12ty－36＝0，
所以y1＋y2＝-12t3t2+4，y1y2＝-363t2+4，
kMQ＋kNQ＝y(tǒng)1x1-m+y2x2-m＝2ty1y2+2-my1+y2ty1+2-mty2+2-m
＝-72t3t2+4-122-mt3t2+4ty1+2-mty2+2-m，
因?yàn)椤螹QO＝∠NQO，所以kMQ＋kNQ＝0，
即－72t－12(2－m)t＝0，
解得m＝8，
所以存在Q(8，0)，使得∠MQO＝∠NQO.
【教師備選題】
已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)1，32，離心率為12，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)△F2AB的面積為1227時(shí)，求直線(xiàn)的方程．
[解] (1)∵橢圓過(guò)點(diǎn)1，32，
∴1a2+94b2＝1，
又e＝ca＝12且a2＝b2＋c2，
解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，
∴橢圓C的方程為x24+y23＝1.
(2)顯然直線(xiàn)AB的斜率不為0，
設(shè)AB的方程為x＝ty－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯(lián)立x=ty-1，x24+y23=1，
整理得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，
Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144t2＋144>0，
∴y1＋y2＝6t3t2+4，y1y2＝-93t2+4，
S△ABF2＝12|F1F2||y1－y2|
＝|y1－y2|＝y(tǒng)1+y22-4y1y2
＝6t3t2+42+363t2+4＝12t2+13t2+4＝1227，
解得t2＝1，
∴直線(xiàn)方程為x＝±y－1，
即y＝x＋1或y＝－x－1.
此類(lèi)問(wèn)題往往涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交匯，具有一定的綜合性及難度，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等能力要求較高．下面通過(guò)對(duì)一道圓錐曲線(xiàn)非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)問(wèn)題的多角度切入求解，給出其適當(dāng)?shù)耐卣古c變式，以尋求探究圓錐曲線(xiàn)非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)問(wèn)題的一般性解決方法．
[典例] 已知橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P-1，32為E上一點(diǎn)，且PF1與x軸垂直．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線(xiàn)l與E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M(0，1)，且△MAF2的面積為△MBF2面積的2倍，求直線(xiàn)l的方程．
[賞析] (1)因?yàn)镻-1，32為E上一點(diǎn)，且PF1與x軸垂直，所以1a2+94b2=1，c=1， a2=b2+c2，解得a2=4，b2=3，c2=1，所以橢圓E的方程為x24+y23＝1.
(2)易得直線(xiàn)l與x軸不重合，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝ty＋1，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
聯(lián)立x=ty+1， 3x2+4y2=12，得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，故y1＋y2＝－6t3t2+4，y1y2＝－93t2+4.
由△MAF2的面積是△MBF2面積的2倍，可得AF2＝2F2B，所以y1＝－2y2，即y1＋2y2＝0.
代數(shù)式y(tǒng)1＝－2y2為非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，需要通過(guò)適當(dāng)?shù)奶幚硎怪優(yōu)閷?duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，下面就以此為例，給出此類(lèi)y1＝λy2(或x1＝λx2)問(wèn)題的幾種處理方法，并對(duì)其進(jìn)行拓展．
拓展1 倒數(shù)求和法
此拓展是對(duì)形如y1＝λy2(或x1＝λx2)的關(guān)系式，利用x1x2+x2x1＝x1+x22-2x1x2x1x2將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)．
解法1 接典例解答，由y1＝－2y2，得y1y2＝－2，故y1y2+y2y1＝y(tǒng)1+y22-2y1y2y1y2＝－52.結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得5t2＝4，即t2＝45.故直線(xiàn)l的方程為y＝±52(x－1)．
拓展2 配湊法
由y1＋λy2＝0配湊，得λ(y1＋y2)＝(λ－1)y1，y1＋y2＝(1－λ)y2，兩式相乘，可得λ(y1＋y2)2＝－(λ－1)2y1y2，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)．
解法2 接典例解答，由y1＝－2y2，得y1＋2y2＝0，于是2y1+y2=y1，y1+y2=-y2，兩式相乘可得2(y1＋y2)2＝－y1y2，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得5t2＝4，即t2＝45.故直線(xiàn)l的方程為y＝±52(x－1)．
拓展3 方程組法
該拓展的實(shí)質(zhì)是借助方程思想，由非對(duì)稱(chēng)式結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，列方程組解答．
解法3 接典例解答，聯(lián)立y1＋2y2＝0與y1＋y2＝－6t3t2+4，解得y1＝－12t3t2+4，y2＝6t3t2+4.再結(jié)合y1y2＝－93t2+4，得72t23t2+42＝93t2+4，解得t2＝45.故直線(xiàn)l的方程為y＝±52(x－1)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
(2023·廣東廣州模擬)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1的上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為7，離心率為12，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F1作不與x軸重合的直線(xiàn)與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)m的方程為：x＝－2a，過(guò)點(diǎn)M作ME垂直于直線(xiàn)m交直線(xiàn)m于點(diǎn)E.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)①求證：線(xiàn)段EN必過(guò)定點(diǎn)P，并求定點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OEN面積的最大值．
[解] (1)由題意可得a2+b2=7，ca=12， 所以a＝2，b＝3.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23＝1.
(2)證明：①由題意知，F(xiàn)(－1，0)，
設(shè)直線(xiàn)MN方程：x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，E(－4，y1)，
聯(lián)立方程x=my-1，x24+y23=1，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
所以y1＋y2＝6m3m2+4，y1y2＝-93m2+4，所以－2my1y2＝3(y1＋y2)．
又kEN＝y(tǒng)2-y1x2+4，
所以直線(xiàn)EN的方程為y－y1＝y(tǒng)2-y1x2+4(x＋4)，
令y＝0，則
x＝－4－y1x2+4y2-y1＝－4－my1y2+3y1y2-y1＝－4－32y1-y2y2-y1＝－4＋32＝－52.
所以直線(xiàn)EN過(guò)定點(diǎn)P-52，0.
②由①中Δ＝144(m2＋1)＞0，所以m∈R，
又|y1－y2|＝y(tǒng)1+y22-4y1y2＝12m2+13m2+4，
所以S△OEN＝12|OP||y1－y2|＝54·12m2+13m2+4＝15m2+13m2+4＝15m2+13m2+1+1，
令t＝m2+1，t≥1，則f(t)＝153t+1t，
令g(t)＝3t＋1t，g′(t)＝3－1t2＝3t2-1t2，當(dāng)t≥1時(shí)，g′(t)≥0，
故g(t)＝3t＋1t在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
則f(t)＝153t+1t在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，
即S△OEN＝15t3t2+1＝153t+1t在[1，＋∞) 上單調(diào)遞減，
所以t＝1時(shí)，(S△OEN)max＝154.
課時(shí)分層作業(yè)(五十) 直線(xiàn)與橢圓
一、選擇題
1．直線(xiàn)y＝x＋2與橢圓x2m+y23＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(0，3)∪(3，＋∞)
B [由y=x+2，x2m+y23=1，得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，
由題意可知3+m≠0， Δ=4m2-4m3+m＞0，
解得m≠-3， m＜0或m＞1，又m＞0，且m≠3，
所以m＞1且m≠3.故選B.]
2．過(guò)橢圓x25+y24＝1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為( )
A．43 B．53
C．54 D．103
B [由題意知橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，則直線(xiàn)AB的方程為y＝2x－2.聯(lián)立x25+y24=1，y=2x-2， 解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－2)，53，43，不妨設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)yA＝－2，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)yB＝43，∴S△OAB＝12·|OF|·|yA－yB|＝12×1×-2-43＝53.]
3．橢圓C：x24+y23＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線(xiàn)PA1的斜率的取值范圍是-2，-1，那么直線(xiàn)PA2斜率的取值范圍是( )
A．38，34 B．12，34
C．12，1 D．34，1
A [由題意，橢圓C：x24+y23＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1(－2，0)，A2(2，0)，設(shè)P(x0，y0)，則y02＝344-x02，
又由kPA1·kPA2＝y(tǒng)0x0+2×y0x0-2＝y(tǒng)02x02-4＝－34，可得kPA1＝-34kPA2，因?yàn)閗PA1∈-2，-1，即-2≤-34kPA2≤－1，可得38≤kPA2≤34，所以直線(xiàn)PA2斜率的取值范圍是38，34.故選A.]
4．(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )
A．x22＋y2＝1 B．x23+y22＝1
C．x24+y23＝1 D．x25+y24＝1
B [由題意設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sin θ＝1a.在等腰三角形ABF1中，cs 2θ＝a23a2＝13，所以13＝1－21a2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為x23+y22＝1.故選B.]
5．(多選)已知直線(xiàn)l：y＝2x＋3被橢圓C：x2a2+y2b2＝1a>b>0截得的弦長(zhǎng)為7，則下列直線(xiàn)中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的是( )
A．y＝2x－3 B．y＝2x＋1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋3
ACD [由于橢圓C關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱(chēng)．
對(duì)于A選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝2x－3與直線(xiàn)l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則橢圓C截直線(xiàn)y＝2x－3所得弦長(zhǎng)為7，A選項(xiàng)符合要求；
對(duì)于B選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝2x＋1與直線(xiàn)l平行，橢圓C截直線(xiàn)y＝2x＋1所得弦長(zhǎng)大于7，B選項(xiàng)不符合要求；
對(duì)于C選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝－2x－3與直線(xiàn)l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則橢圓C截直線(xiàn)y＝－2x－3所得弦長(zhǎng)為7，C選項(xiàng)符合要求；
對(duì)于D選項(xiàng)，直線(xiàn)y＝－2x＋3與直線(xiàn)l關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則橢圓C截直線(xiàn)y＝－2x＋3所得弦長(zhǎng)為7，D選項(xiàng)符合要求．故選ACD.]
6．(多選)已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c.直線(xiàn)l：y＝k(x＋c)(k∈R)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A．若k≠0，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a
B．若AB的中點(diǎn)為M，則kOM·k＝b2a2
C．若AF1·AF2＝3c2，則橢圓的離心率的取值范圍是55，12
D．若AB的最小值為3c，則橢圓的離心率e＝13
AC [直線(xiàn)l：y＝k(x＋c)過(guò)點(diǎn)-c，0，即弦AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F1.
l△ABF2＝AB+AF2+BF2＝AF1+BF1+AF2+BF2＝4a，所以A正確；
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則Mx1+x22，y1+y22，
有kOM＝y(tǒng)1+y2x1+x2，k＝y(tǒng)1-y2x1-x2，
所以kOM·k＝y(tǒng)1+y2x1+x2×y1-y2x1-x2＝y(tǒng)12-y22x12-x22.
由x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，作差得x12-x22a2+y12-y22b2＝0，
所以y12-y22x12-x22＝－b2a2.則有kOM·k＝y(tǒng)12-y22x12-x22＝－b2a2，
所以B錯(cuò)誤； AF1＝-c-x1，-y1，AF2＝(c－x1，－y1)，所以AF1·AF2＝x12-c2+y12＝c2a2x12＋a2－2c2∈a2-2c2，a2-c2，則有a2－2c2≤3c2≤a2－c2，可得e＝ca∈55，12，所以C正確；由過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑最短，則AB的最小值為通徑2b2a，則有2b2a＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解得a＝2c，所以e＝ca＝12，D錯(cuò)誤．故選AC.]
二、填空題
7．過(guò)橢圓C：x24+y23＝1的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線(xiàn)l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則1AF+1BF＝________．
43 [由題意可知F(－1，0)，故l的方程為y＝3(x＋1)．
由y=3x+1，x24+y23=1， 得5x2＋8x＝0，∴x＝0或－85.
設(shè)A(0，3)，B-85，-335.
又F(－1，0)，∴|AF|＝2，|BF|＝65，
∴1AF+1BF＝43.]
8．已知橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線(xiàn)方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4，1)，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．
32 [設(shè)直線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知yM＝－b2a2kxM，代入k＝1，M(－4，1)，解得b2a2＝14，e＝1-ba2＝32.]
9．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C：x216+y29＝1上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x－y－10＝0的距離的最大值為_(kāi)_______．
1522 [設(shè)與直線(xiàn)x－y－10＝0平行的直線(xiàn)x－y＋c＝0與橢圓相切，兩條平行線(xiàn)的距離的最大值為點(diǎn)P到直線(xiàn)x－y－10＝0的距離的最大值，聯(lián)立x216+y29=1，y=x+c，
整理可得25x2＋32cx＋16c2－16×9＝0，
Δ＝(32c)2－4×25×16(c2－9)＝0，
解得c2＝25，c＝±5，
所以平行線(xiàn)間的距離為c+102＝1522或522，
所以最大值為1522.]
三、解答題
10．(2022·天津高考)橢圓x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，且滿(mǎn)足BFAB＝32.
(1)求橢圓的離心率e；
(2)直線(xiàn)l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于N點(diǎn)(N異于M)．記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面積為3，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
[解] (1)BFAB＝b2+c2b2+a2＝ab2+a2＝32
?4a2＝3(b2＋a2)?a2＝3b2，
所以離心率e＝ca＝a2-b2a2＝63.
(2)由(1)可知橢圓的方程為x2＋3y2＝a2，易知直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋m，
聯(lián)立y=kx+m，x2+3y2=a2得(1＋3k2)x2＋6kmx＋(3m2－a2)＝0，
由Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－a2)＝0?3m2＝a2(1＋3k2)，①
xM＝－3km3k2+1，yM＝kxM＋m＝m1+3k2，
由|OM|＝|ON|可得m2＝m29k2+13k2+12，②
由S△OMN＝3可得12|m|·3km1+3k2＝3，③
聯(lián)立①②③可得k2＝13，m2＝4，a2＝6，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26+y22＝1.
11．(2022·北京高考)已知橢圓E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0，1)，焦距為23.
(1)求橢圓E的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)P(－2，1)作斜率為k的直線(xiàn)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，直線(xiàn)AB，AC分別與x軸交于點(diǎn)M，N.當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求k的值．
[解] (1)依題意可知b=1， 2c=23， a2=b2+c2，解得a=2， b=1， c=3，故橢圓E的方程為x24＋y2＝1.
(2)由題可設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y－1＝k(x＋2)，
B(x1，y1)，C(x2，y2)，
聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓E的方程得y-1=kx+2，x24+y2=1，
化簡(jiǎn)得(1＋4k2)x2＋(16k2＋8k)x＋16k2＋16k＝0，由Δ>0可得(16k2＋8k)2－4(1＋4k2)(16k2＋16k)>0，解得k

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