第一節(jié) 函數(shù)及其表示
一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)
1．函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f ，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f ：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f (x)，x∈A．
2．函數(shù)的定義域、值域
(1)在函數(shù)y＝f (x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f (x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．
(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．
3．函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、列表法和圖象法．
4．分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．
(1)直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f (x)的圖象有0個或1個交點．
(2)分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個函數(shù)，求分段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論．
(3)判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)的依據(jù)，是兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致．
二、基本技能·思想·活動體驗
1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．
(1)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù)．(×)
(2)對于函數(shù)f ：A→B，其值域是集合B．(×)
(3)f (x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)是一個函數(shù)．(×)
(4)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)．(×)
(5)函數(shù)y＝f (x)的圖象可以是一條封閉的曲線．(×)
2．函數(shù)y＝eq \r(x)ln(2－x)的定義域為( )
A．(0,2)B．[0,2)
C．(0,1]D．[0,2]
B 解析：由題意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故定義域為[0,2)．
3．若函數(shù)y＝f (x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f (x)的圖象可能是( )
B 解析：A中函數(shù)的定義域不是[－2,2]，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)的值域不是[0,2]．
4．已知函數(shù)f (x)＝eq \r(x－1)，若f (a)＝3，則實數(shù)a＝________.
10 解析：因為f (a)＝eq \r(a－1)＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
5．設(shè)f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈?－∞，a?，,x2，x∈[a，＋∞?.))若f (2)＝4，則a的取值范圍為________．
(－∞，2] 解析：因為f (2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范圍為(－∞，2]．
考點1 函數(shù)的定義域——基礎(chǔ)性
1．(2020·北京卷)函數(shù)f (x)＝eq \f(1,x＋1)＋ln x的定義域是________．
(0，＋∞) 解析：要使函數(shù)有意義，需滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,x>0，))即x>0，所以函數(shù)f (x)的定義域為(0，＋∞)．
2．函數(shù)f (x)＝eq \r(4－4x)＋ln(x＋4)的定義域為________．
(－4,1] 解析：要使函數(shù)f (x)有意義，需滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－4x≥0，,x＋4>0，))解得－41.
故f (x)＝lgeq \f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝0，知c＝0，所以f (x)＝ax2＋bx.
又由f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2).
所以f (x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R.
(3)(解方程組法)由f (－x)＋2f (x)＝2x，①
得f (x)＋2f (－x)＝2－x.②
①×2－②，得3f (x)＝2x＋1－2－x，即f (x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f (x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.
1．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，則f (x)＝( )
A．(x＋1)2B．(x－1)2
C．x2－x＋1D．x2＋x＋1
C 解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))eq \s\up8(2)－eq \f(x＋1,x)＋1.令eq \f(x＋1,x)＝t，得f (t)＝t2－t＋1，即f (x)＝x2－x＋1.
2．已知f (x)是一次函數(shù)，且f (f (x))＝4x＋3，則f (x)的解析式為________．
f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1 解析：設(shè)f (x)＝ax＋b(a≠0)，則f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
故f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1.
3．已知f (x)滿足2f (x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，則f (x)＝________.
2x－eq \f(1,x)(x≠0) 解析：2f (x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①
把①中的x換成eq \f(1,x)，得2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f (x)＝eq \f(3,x).②
聯(lián)立①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2f ?x?＋f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f ?x?＝\f(3,x)，))
解此方程組可得f (x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
考點3 分段函數(shù)——應(yīng)用性
考向1 分段函數(shù)求值
(1)設(shè)f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2?x2－1?，x>1，,2x＋1－1，x≤1，))則f (f (1))的值為( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B 解析：因為f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2?x2－1?，x>1，,2x＋1－1，x≤1，)) 所以f (1)＝22－1＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝lg28＝3. 故選B．
(2)設(shè)函數(shù)f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋2，x≤0，,－x2，x>0.))若f (f (a))＝2，則a＝________.
eq \r(2) 解析：當(dāng)a>0時，f (a)＝－a20，f (f (a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程無解．綜上可知，a＝eq \r(2).
求分段函數(shù)的函數(shù)值的步驟
(1)確定要求值的自變量所在區(qū)間．
(2)代入相應(yīng)的函數(shù)解析式求值，直到求出具體值為止．
提醒：①自變量的值不確定時，必須分類討論；
②求值時注意函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用；
③出現(xiàn)f (f (a))求值形式時，應(yīng)由內(nèi)到外或由外向內(nèi)逐層求值．
考向2 分段函數(shù)與方程、不等式
設(shè)函數(shù)f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f (x＋1)＜f (2x)的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)
C．(－1,0)D．(－∞，0)
D 解析：函數(shù)f (x)的圖象如圖所示．結(jié)合圖象知，要使f (x＋1)＜f (2x)，則需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＜0，,2x＜0，,2x＜x＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,2x＜0，))所以x＜0.故選D．
求參數(shù)或自變量的值(范圍)的解題思路
(1)解決此類問題時，先在分段函數(shù)的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與該段函數(shù)的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結(jié)果合起來(取并集)即可．
(2)如果分段函數(shù)的圖象易得，也可以畫出函數(shù)圖象后結(jié)合圖象求解．
1．(2021·天津南開中學(xué)高三月考)函數(shù)f (x)滿足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs\f(πx,2)，00可化為a2＋a－3a>0，解得a>2. 當(dāng)a0可化為－a2－2a>0，解得－2

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