專題22.7 二次函數(shù)y=ax2+k(a≠0)的圖象與性質(zhì)（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解二次函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式； 2．會用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象理解拋物線、對稱軸、頂點(diǎn)、開口方向等概念； 3．掌握二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與之間的關(guān)系；（上加下減）.【要點(diǎn)梳理】一、y=ax2+c（a≠0）的性質(zhì)：形如y=ax2+c（a≠0）的二次函數(shù)，它的圖像的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c），c的符號決定拋物線由y=ax2上下平移，簡單的說，就是“上加下減”。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸增減性最值向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，最小值 = c向下軸時，隨的增大而減?。?/span>時，隨的增大而增大；時，最小值 = c二、解讀y=ax2+c（a≠0）：（1）函數(shù)y=ax2+c（a，c是常數(shù)，a≠0）的圖像是一條拋物線，它的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，c）；（2）拋物線y=ax2+c（a，c是常數(shù)，a≠0）可以看作是由拋物線y=ax2(a是常數(shù)且a≠0)向上或向下平移∣c∣個單位而得到的。當(dāng)c＞0時，將拋物線y=ax2(a是常數(shù)且a≠0)向上平移c個單位；當(dāng)c＜0時，將拋物線y=ax2(a是常數(shù)且a≠0)向下平移∣c∣個單位。（3）實(shí)際上在a相等的情況下，二次函數(shù)y=ax2+c（a，c是常數(shù)，a≠0）的圖像與二次函數(shù)y=ax2(a是常數(shù)且a≠0)的圖像形狀、開口方向、對稱軸等完全相同，只不過位置發(fā)生了變化，頂點(diǎn)坐標(biāo)由（0，0）變成了（0，c）。（4）在幾條拋物線的表達(dá)式中，若∣a∣相等，則形狀相同；若a相等，則其開口方向及形狀均相同；若a互為相反數(shù)，則其形狀相同、開口方向相反。三、巧記：如果要畫拋物線，平移或者去描點(diǎn)，兩條途徑任您選；列表描點(diǎn)后連線，平移規(guī)律記心間，c正向上負(fù)向下。【典型例題】類型一、1．已知：二次函數(shù)y＝x2﹣1．(1)寫出此函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)畫出它的圖象．【答案】(1)拋物線的開口方向向上，對稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）．(2)圖像見分析．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k，當(dāng)a>0時開口向上；頂點(diǎn)式可直接求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)及對稱軸x=h；（2）可分別求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)以及拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用描點(diǎn)法可畫出函數(shù)圖象．(1)解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2﹣1，∴拋物線的開口方向向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），對稱軸為y軸；(2)解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．解得x＝﹣1或1，所以拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)和(1，0)；令x＝0可得y＝﹣1，所以拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-1)；又∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），對稱軸為y軸，再求出關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)，將上述點(diǎn)列表如下：x-2-1012y＝x2﹣130-103描點(diǎn)可畫出其圖象如圖所示：【點(diǎn)撥】本題考察了二次函數(shù)的開口方向、對稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)．以及二次函數(shù)拋物線的畫法．解題的關(guān)鍵是把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式．描點(diǎn)畫圖的時候找到關(guān)鍵的幾個點(diǎn)，如：與x軸的交點(diǎn)與y軸的交點(diǎn)以及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．舉一反三：【變式1】若在同一直角坐標(biāo)系中，作，，的圖像，則它們（       ）A．都關(guān)于軸對稱 B．開口方向相同C．都經(jīng)過原點(diǎn) D．互相可以通過平移得到【答案】A解：因?yàn)?/span>，，這三個二次函數(shù)的圖像對稱軸為，所以都關(guān)于軸對稱，故選項(xiàng)A正確；拋物線，的圖象開口向上，拋物線的圖象開口向下，故選項(xiàng)B錯誤；拋物線，的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯誤；因?yàn)閽佄锞€，，的二次項(xiàng)系數(shù)不相等，故不能通過平移其它二次函數(shù)的圖象，故D選項(xiàng)錯誤；故選A.【變式2】 通過_______法畫出和的圖像：通過圖像可知：的開口方向________，對稱軸_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)___________．的開口方向________，對稱軸_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)___________．【答案】     描點(diǎn)     向上     y軸          向上     y軸     【分析】根據(jù)畫二次函數(shù)的圖像采用描點(diǎn)法，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：通過描點(diǎn)法畫出和的圖像，通過圖像可知：的開口方向向上，對稱軸為軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的開口方向向上，對稱軸軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，故答案為：描點(diǎn)；向上；y軸；；向上；y軸；．【點(diǎn)撥】本題考查了畫函數(shù)圖像的方法，二次函數(shù)的基本性質(zhì)，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖像是解本題的關(guān)鍵．類型二、2．已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)．（1）滿足條件的m的值；（2）m為何值時，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個最低點(diǎn)，這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？（3）m為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？這時當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減小？【答案】（1）m1=2，m2=﹣3；（2）當(dāng)m=2時，拋物線有最低點(diǎn)，最低點(diǎn)為：（0，1），當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)m=﹣3時，函數(shù)有最大值，最大值為1，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小【分析】（1）利用二次函數(shù)的定義得出關(guān)于m的等式，解方程即可得出答案；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出m的值；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出m的值.解：（1）∵函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴m2+m﹣4=2，解得：m1=2，m2=﹣3；（2）當(dāng)m=2時，拋物線有最低點(diǎn)，此時y=4x2+1，則最低點(diǎn)為：（0，1），由于拋物線的對稱軸為y軸，故當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大；（3）當(dāng)m=﹣3時，函數(shù)有最大值，此時y=﹣x2+1，故此函數(shù)有最大值1，由于拋物線的對稱軸為y軸，故當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減?。?/span>【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的定義及二次函數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，因此掌握二次函數(shù)的定義與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知點(diǎn)(，)，(，)(兩點(diǎn)不重合)均在拋物線上，則下列說法正確的是(       )．A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可一一判斷；解：畫出的圖象，對稱軸為，A、若，則；故A錯誤；B、若，則；故B錯誤；C、若，則；故C錯誤；D、若，則；故D正確；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，所以中考?？碱}型．【變式2】 已知二次函數(shù)，如果隨的增大而增大，那么的取值范圍是__________．【答案】【分析】由于拋物線y=2x2-1的對稱軸是y軸，所以當(dāng)x≥0時，y隨x的增大而增大．解：∵拋物線y=2x2-1中a=2＞0，∴二次函數(shù)圖象開口向上，且對稱軸是y軸，∴當(dāng)x≥0時，y隨x的增大而增大．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了拋物線y=ax2+b的性質(zhì)：①圖象是一條拋物線；②開口方向與a有關(guān)；③對稱軸是y軸；④頂點(diǎn)（0，b）．類型三、3．已知二次函數(shù)y＝ax2+b的圖象與直線y＝x+2相交于點(diǎn)A（1，m），點(diǎn)B（n，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)填入下表，并在圖中的直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該拋物線的圖象；x……     ……y……     ……（3）畫出這兩個函數(shù)的圖象，并結(jié)合圖象直接寫出ax2+b＞x+2時x的取值范圍．【答案】（1）對稱軸為x＝0，頂點(diǎn)為（0，4）；（2）見分析；（3）見分析，﹣2＜x＜1．【分析】（1）求出A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法聯(lián)立方程組即可求二次函數(shù)的解析式；（2）利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)解析式；（3）將二次函數(shù)與一次函數(shù)同時畫在一個坐標(biāo)系內(nèi)，由圖象即可求解．解：（1）將點(diǎn)A（1，m）、點(diǎn)B（n，0）代入直線y=x+2，∴m=3，n=﹣2，∴點(diǎn)A（1，3），點(diǎn)B（﹣2，0），將點(diǎn)A、B分別代入二次函數(shù)y=ax2+b，得到，∴，∴y=﹣x2+4，∴對稱軸為x=0，頂點(diǎn)為（0，4）；（2）畫圖見分析：        （3）如圖，由圖象可得ax2+b＞x+2時，﹣2＜x＜1．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法，畫出正確的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】函數(shù)y＝ax與y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（　　）A．  B．  C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定a>0與a<0兩種情況分類討論拋物線的頂點(diǎn)位置即可得出結(jié)論．解：函數(shù)y＝ax與y＝ax2+a（a≠0）A. 函數(shù)y＝ax圖形可得a＜0，則y＝ax2+a（a≠0）開口方向向下正確，當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a）,應(yīng)交于y軸負(fù)半軸，而不是交y軸正半軸，故選項(xiàng)A不正確；       B. 函數(shù)y＝ax圖形可得a＜0，則y＝ax2+a（a≠0）開口方向向下正確，當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a）,應(yīng)交于y軸負(fù)半軸，而不是在坐標(biāo)原點(diǎn)上，故選項(xiàng)B不正確；       C. 函數(shù)y＝ax圖形可得a＞0，則y＝ax2+a（a≠0）開口方向向上正確，當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a）,應(yīng)交于y軸正半軸，故選項(xiàng)C不正確；       D. 函數(shù)y＝ax圖形可得a＜0，則y＝ax2+a（a≠0）開口方向向上正確，當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a）,應(yīng)交于y軸正半軸正確，故選項(xiàng)D正確；       故選D．【點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象，理解掌握函數(shù)圖象的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，拋物線y=-x2+2．將該拋物線在x軸和x軸上方的部分記作C1，將x軸下方的部分沿x軸翻折后記作C2，C1和C2構(gòu)成的圖形記作C3．關(guān)于圖形C3，給出如下四個結(jié)論：①圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱；② 圖形C3有最小值，且最小值為0；③ 當(dāng)x>0時，圖形C3的函數(shù)值都是隨著x的增大而增大的；④ 當(dāng)-2≤x≤2時，圖形C3恰好經(jīng)過5個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．以上四個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是________．【答案】①②④【分析】畫出圖象C3，根據(jù)圖象即可判斷．解：如圖所示，①圖形C3關(guān)于y軸成軸對稱，故正確；②由圖象可知，圖形C3有最小值，且最小值為0；，故正確；③當(dāng)x>0時，圖形C3與x軸交點(diǎn)的左側(cè)的函數(shù)值都是隨著x的增大而減小，圖形C3與x軸交點(diǎn)的右側(cè)的函數(shù)值都是隨著x的增大而增大，故錯誤；④當(dāng)-2≤x≤2時，圖形C3恰好經(jīng)過5個整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），故正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．類型四、4．已知拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求這個函數(shù)的關(guān)系式；（2）寫出當(dāng)為何值時，函數(shù)隨的增大而增大．【答案】（1）；（2）當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而增大【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）求出對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解．解：（1）∵拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)，，解得∴這個函數(shù)得關(guān)系式為：．（2）∵二次函數(shù)開口向下，對稱軸為x=0，∴當(dāng)時，函數(shù)隨的增大而增大．【點(diǎn)撥】此題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法的運(yùn)用．舉一反三：【變式1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+m的圖象經(jīng)過邊長為的正方形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C，則m的值為（　?。?/span>A． B．2 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可．解：∵四邊形是正方形，∴是等腰直角三角形，在等腰中，，則，即．代入二次函數(shù)y＝﹣x2+m得，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)和求二次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式2】寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3），開口方向與拋物線的方向相反，形狀相同的拋物線解析式_________________________．【答案】【分析】根據(jù)開口方向與拋物線的方向相反，形狀相同可得，再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出解析式．解：∵拋物線與的方向相反，形狀相同，且頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）∴設(shè)拋物線解析式為：，代入頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，-3）得：∴解析式為故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查求拋物線解析式，熟記拋物線頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．類型五、5．已知二次函數(shù)y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的圖象關(guān)于y軸對稱，其頂點(diǎn)為A，與x軸兩交點(diǎn)為B，C(B點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè))．(1)  求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)  求△ABC的面積．【答案】(1) B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)(2) 1解：【試題分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的圖象關(guān)于y軸對稱，一次項(xiàng)系數(shù)為0，易得m=1；從而得y＝－x2＋1.當(dāng)y=0時，有－x2＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，即B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)．（2）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求S△ABC.【試題解析】(1)由二次函數(shù)y＝－x2＋2(m－1)x＋2m－m2的圖象關(guān)于y軸對稱，得m－1＝0，解得m＝1，則2m－m2＝1.故函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2＋1.當(dāng)y＝0時，有－x2＋1＝0，解得x1＝－1，x2＝1，即B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，0)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)．(2)當(dāng)x＝0時，y＝1，即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)，故S△ABC＝×2×1＝1.舉一反三：【變式1】如圖，矩形紙片ABCD中，BC=4，AB=3，點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合）．現(xiàn)將△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，作∠BPC′的角平分線，交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x， BE=y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（       ）A．B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，連接DE，因?yàn)?/span>△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又PE為∠BPC′的角平分線，可推知∠EPD=90°，又因?yàn)?/span>BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，分別用x和y表示出PD和EP和DE，在Rt△PED中利用勾股定理，即可得出一個關(guān)于x和y的關(guān)系式，化簡即可．解：連接DE，△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平分∠CPC′；又因?yàn)?/span>PE為∠BPC′的角平分線，可推知∠EPD=90°，已知BP=x，BE=y，BC=4，AB=3，即在Rt△PCD中，PC=4-x，DC=3．即PD2=(4-x)2+9；在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，故PE2=x2+y2；在Rt△ADE中，AE=3-y，AD=4，故DE2=(3-y)2+16，在Rt△PDE中，PE2+PD2=DE2，即x2+y2+(4-x)2+9=(3-y)2+16，化簡得：y=-x2+x(0)，圖象是一段開口向下的拋物線；結(jié)合題意，只有選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知P是函數(shù)y1圖象上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，作PH⊥x軸于點(diǎn)H，連接PO．小華用幾何畫板軟件對PO，PH的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了探討，發(fā)現(xiàn)PO﹣PH是個定值，則這個定值為 _____．【答案】2【分析】設(shè)p(x，x2-1)，則OH=|x|，PH=|x2-1|，因點(diǎn)P在x軸上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案．解：設(shè)p(x，x2-1)，則OH=|x|，PH=|x2-1|，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，∴x2-1>0,∴PH=|x2-1|=x2-1，在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2，∴OP=x2+1，∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2，故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，利用坐標(biāo)求線段長度是解題的關(guān)鍵．

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