專題22.4 二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象與性質(zhì)（知識講解）-2022-2023學年九年級數(shù)學上冊基礎知識專項講練（人教版）-學案下載-教習網(wǎng)

專題22.4 二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象與性質(zhì)（知識講解）【學習目標】1、準確掌握二次函數(shù)y=ax2(a≠0)圖象的形狀、開口方向、對稱軸和頂點的坐標；2、經(jīng)歷用描點法畫函數(shù)圖象的過程,感受數(shù)形結(jié)合的思想和方法,能夠由圖像直觀地觀察得到函數(shù)的性質(zhì)；【要點梳理】【知識點一】二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象是一條關于y軸對稱的曲線，這條曲線叫做拋物線。實際上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線，y軸是拋物線y=ax2（a≠0）的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點。用描點法畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象（1）按步驟列表、描點、連線。（2）用描點法畫二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象時，應在O（0,0）點左右兩側(cè)（或在對稱軸左右兩側(cè)）對稱的選取自變量x的值，在計算y的值，這樣的對應值選擇月密集，描出的圖象越精準。通常情況下，畫圖一般選取9個點，草圖通常取5或7個點，但必須畫出拋物線的頂點，然后對稱的取其他各點。實際問題應在自變量取值范圍內(nèi)選取適當?shù)膸讉€點，一般選7個點，再進行描點。連線時要注意圖象的平滑，特別是頂點處更要注意，不能畫得太平或者太尖，要順勢用平滑曲線連接。【知識點2】二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的性質(zhì)（1）二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象是一條拋物線。我們把二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象叫做拋物線y=ax2(a≠0)。（2）拋物線y=ax2(a≠0)的對稱軸是y軸（即直線x=0），頂點是原點。（3）當a>0時，拋物線y=ax2(a≠0) 的開口向上，頂點是它的最低點，拋物線在x軸上方（頂點在x軸上），并且向上無限延伸；當a<0時，拋物線y=ax2(a≠0)的開口向下，頂點是它的最高點，拋物線在x軸下方（頂點在x軸上），并且向下無限延伸。（4）當a＞0時，在y 軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在y 在右側(cè)，y隨x的增大而減大，函數(shù)y的值，當x=0時最小，最小值是0；當a＜0時，在y 在左側(cè)，y隨x的增大而增大，在y 在右側(cè)，y隨x的增大而減小，函數(shù)y的值，當x=0時最大，最大值是0。（5）當a的絕對值越大，圖象越靠近y軸，拋物線開口越窄；當a的絕對值越小，圖象越遠離y軸，拋物線開口越寬。【知識點3】二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)列表如下：函數(shù) 圖象開口方向頂點坐標對稱軸函數(shù)變化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而增大；x<0時，y隨x增大而減小.當x=0時，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而減小；x<0時，y隨x增大而增大.當x=0時，y最大=0【典型例題】類型一、1．通過列表、描點、連線的方法畫函數(shù)y=的圖象．【答案】見分析【分析】首先列表求出圖象上點的坐標，進而描點連線畫出圖象．解：列表得：x…-3-2-10123…y…-9-4-10-1-4-9…描點、連線．【點撥】本題主要是考查了利用列表描點連線法畫二次函數(shù)圖形，熟練掌握畫函數(shù)圖像的基本步驟，是求解本題的關鍵．舉一反三：【變式1】已知二次函數(shù)y= -（x-1）2（1）畫出這個函數(shù)的圖象；（2）由圖象可知，當x___時，y隨x增大而減小，當x=___，y有最___值為___．【答案】（1）函數(shù)圖象見分析；（2）；1；大；0．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的作法：先找點，然后確定函數(shù)圖象對稱軸，頂點坐標，用光滑的曲線連接即可；（2）根據(jù)作出的函數(shù)圖象即可得出函數(shù)的增減范圍，最值點．解：（1）根據(jù)圖象的作法，找出，，三個點坐標，對稱軸為，頂點坐標為：，用光滑的曲線連接即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可得：當時，y隨x增大而減小；當時，，即當時，y有最大值，最大值為0，故答案為：；1；大；0．【點撥】題目主要考查一元二次函數(shù)的基本性質(zhì)及圖象的作法，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關鍵．【變式2】畫出二次函數(shù)y＝x2的圖象．【答案】圖像見分析.【分析】建立平面直角坐標系，然后利用五點法作出大致函數(shù)圖象即可．解：函數(shù)y＝x2的圖象如圖所示：【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象的作法，五點法作圖是常用的方法，要熟練掌握并靈活運用．類型二、2．一個二次函數(shù)．（1）求k的值．（2）求當x=3時，y的值？【答案】（1）k=2；（2）14【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關于k所滿足的式子，求解即可；（2）在（1）的基礎上，先求出二次函數(shù)解析式，然后代入x=3求解即可．解：（1）依題意有，解得：k=2，∴k的值為2；（2）把k=2代入函數(shù)解析式中得：，當x=3時，y=14，∴y的值為14．【點撥】本題考查二次函數(shù)的定義，以及求二次函數(shù)的函數(shù)值，理解并掌握二次函數(shù)的基本定義是解題關鍵．舉一反三：【變式1】已知是關于的二次函數(shù)，且函數(shù)的圖象經(jīng)過點，試確定的值．【答案】．【分析】把代入二次函數(shù)求得即可．解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，整理得：，解得：，，，解得：，．【點撥】此題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)圖象上的點都適合解析式，反之也是成立的，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的定義是解題關鍵．【變式2】已知是二次函數(shù)，且當x＞0時，y隨x的增大而增大．（1）求m的值；（2）畫出函數(shù)的圖象．【答案】（1）m=1；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義以及性質(zhì)，求解即可；（2）描點法畫出函數(shù)的圖像即可．解：（1）∵為二次函數(shù)，且當x＞0時，y隨x的增大而增大，∴ ， ∴ ∴（2）由（1）得這個二次函數(shù)解析式為，自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，自變量描點連線，如圖所示．【點撥】此題考查了二次函數(shù)的定義以及性質(zhì)，描點法畫函數(shù)圖像，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的定義以及性質(zhì)．類型三、3、分別寫出拋物線與的開口方向、對稱軸和頂點．【答案】拋物線y＝5x2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是（0，0）；拋物線y＝－x2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是（0，0）．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)，得出開口方向，對稱軸和頂點坐標即可．解：拋物線y＝5x2的開口向上，對稱軸是y軸，頂點是（0，0）；拋物線y＝－x2的開口向下，對稱軸是y軸，頂點是（0，0）．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的頂點坐標與拋物線解析式的關系，拋物線的頂點式：y＝a（x?h）2＋k，頂點坐標為（h，k）．舉一反三：【變式1】函數(shù)y=ax2（a≠0）與直線y=2x-3的圖象交于點（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求拋物線y=ax2的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（3）作y=ax2的草圖．【答案】（1）a=b=-1（2）y軸，（0，0）（3）圖像見分析試題分析：（1）把點（1，b）代入y=2x-3中解得b的值，再把（1，b）代入y=ax2，中可解得a的值；（2）由（1）中所求得的a的值，可得y=ax2的解析式，從而可確定拋物線y=ax2的開口方向，對稱軸和頂點坐標；（3）根據(jù)（2）中求得的拋物線y=ax2的開口方向、對稱軸和頂點坐標可畫出其草圖.解：（1）把（1，b）代入直線y=2x-3中，得b=2-3=-1，把點（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；（2）∵在y=-x2中，a=-1<0，∴拋物線開口向下；拋物線y=ax2的對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）；（3）作函數(shù)y=ax2的草圖如下：【變式2】函數(shù)y =ax2(a≠0)與直線y =2x－3的圖像交于點（1，b）．求：（1）a和b的值；（2）求拋物線y =ax2的開口方向、對稱軸、頂點坐標．【答案】(1) a=-1，b=-1；（2）開口向下，對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）．解：（1）將點（1，b）代入直線y=2x-3中可求b，再代入y=ax2中可求a；（2）根據(jù)a的符號判斷y=ax2開口方向，對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）；（1）把（1，b）代入直線y=2x-3中，得b=2-3=-1，把點（1，-1）代入y=ax2中，得a=-1；（2）∵y=-x2中，a=-1，拋物線開口向下，對稱軸為y軸，頂點坐標為（0，0）；【點撥】1．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；2．二次函數(shù)的圖象；3．二次函數(shù)的性質(zhì)．類型四、4、根據(jù)下列條件求a的取值范圍：（1）函數(shù)y＝(a-2)x2，當x＞0時，y隨x的增大而減小，當x＜0時，y隨x的增大而增大；（2）函數(shù)y＝(3a-2)x2有最大值；（3）拋物線y＝(a+2)x2與拋物線的形狀相同；（4）函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線．【答案】（1）a＜2；（2）；（3），；（4）a＝1【分析】（1）由題意根據(jù)二次項的系數(shù)小于0，對稱軸左邊y隨x增大而減小，對稱軸右邊y隨x增大而增大，可得答案；（2）由題意根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得二次項的系數(shù)小于0；（3）由題意根據(jù)拋物線的形狀相同，可得兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)相同或互為相反數(shù)；（4）由題意根據(jù)函數(shù)圖象開口向上，可得二次項系數(shù)與0的關系．解：(1)由題意得，a-2＜0，解得a＜2；(2)由題意得，3a-2＜0，解得；(3)由題意得，，解得，；(4)由題意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a＞0，∴a＝1．【點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于0，開口向上，有最小值，二次函數(shù)的二次項系數(shù)小于0，開口向下，有最大值.舉一反三：【變式1】（1）畫出函數(shù)的圖象．（2）從圖象中觀察，當時，y隨x的增大而增大，還是y隨x的增大而減??？當時呢？【答案】（1）見分析；（2），y隨x增大而減?。?/span>，y隨x增大而增大【分析】(1)根據(jù)畫函數(shù)圖象的方法可以得到函數(shù)y=x2的圖象；(2)由(1) 中的函數(shù)圖象可以得到，當x<0時和x<0時，y隨x如何變化．解：（1）圖象如下圖：（2）根據(jù)圖象可知：，y隨x增大而減??；，y隨x增大而增大．【點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象，解題的關鍵是明確畫函數(shù)的圖象的方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．【變式2】已知函數(shù)y＝（k﹣2）是關于x的二次函數(shù)，求：（1）滿足條件的k的值；（2）當k為何值時，拋物線有最高點？求出這個最高點，這時，x為何值時，y隨x的增大而增大？（3）當k為何值時，函數(shù)有最小值？最小值是多少？這時，當x為何值時，y與x的增大而減??？【答案】（1）；（2）k＝1，最高點為（0，0），當x＜0時，y隨x的增大而增大；（3）k＝3，最小值為0，當x＜0時，y隨x的增大而減小．【分析】（1）由于函數(shù)是二次函數(shù)，所以x的次數(shù)為2，且系數(shù)不為0，即可求得滿足條件的k的值；（2）拋物線有最高點，所以開口向下，系數(shù)小于0，再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的值，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）函數(shù)有最小值，則開口向上，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最小值，即可知函數(shù)單調(diào)區(qū)間．解：（1）∵函數(shù)y＝（k﹣2）是關于x的二次函數(shù)，∴k滿足，且k﹣2≠0，∴解得：；（2）∵拋物線有最高點，∴圖象開口向下，即k﹣2＜0，結(jié)合（1）所得，∴k＝1，∴最高點為（0，0），當x＜0時，y隨x的增大而增大．（3）∵函數(shù)有最小值，∴圖象開口向上，即k﹣2＞0，∴k＝3，∴最小值為0，當x＜0時，y隨x的增大而減?。?/span>【點撥】本題考查了二次函數(shù)的定義、待定系數(shù)法求解析式、解一元二次方程以及二次函數(shù)圖像的性質(zhì)；解決本題的關鍵在于知道二次函數(shù)的表達形式，用待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)．類型五、5、如圖，過點的直線與拋物線交于，兩點．（1）求b值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)已知條件，可得結(jié)果；（2）把一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立方程組得到關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理計算即可；解：（1）∵直線過點，∴．（2）∵，∴直線的解析式為，由得，∴．【點撥】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合，利用韋達定理進行計算是解題的關鍵．舉一反三：【變式】在平面直角坐標系中，若拋物線與直線交于點和點，其中，點為原點，求的面積.【答案】.【分析】首先求得兩個交點的坐標，然后求得直線與y軸的交點坐標，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出答案．解：由題意得：解得：或∵點和點，其中∴，直線與y軸的交點坐標為：（0，1）∴【點撥】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是了解如何求得兩個圖象的交點坐標．

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