22.1.3二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖像和性質(zhì)(講+練)【10種題型】-【重要筆記】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)精講精練（人教版）（解析+原卷）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?22.1.3二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象
（1）

（2）

注意：的圖象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│個(gè)單位得到的圖象.
題型1：二次函數(shù)y=ax2+k的圖象
1.建立坐標(biāo)系，畫(huà)出二次函數(shù)y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的圖象．
【分析】列表，描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)出函數(shù)圖象即可．
【解答】解：列表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
2
3
2
﹣1
…
描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)出函數(shù)圖象：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象，正確作圖是解題的關(guān)鍵．

【變式1-1】畫(huà)出函數(shù)y＝x2及y＝x2﹣1的圖象．
【分析】先求出二次函數(shù)y＝x2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再求出其圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，描出這三個(gè)點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)圖象，
【解答】解：∵次函數(shù)y＝x2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，﹣1），當(dāng)y＝0時(shí)x＝1或x＝﹣1，
∴此圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（﹣1，0），
∴其圖象如圖所示：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象畫(huà)法，熟知利用特殊點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)的圖象是解答此題的關(guān)鍵．
課堂總結(jié)：

二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0)的圖象的性質(zhì)
關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)，主要從拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、函數(shù)值的增減性以及函數(shù)的最大值或最小值等方面來(lái)研究．下面結(jié)合圖象，將其性質(zhì)列表歸納如下：
函數(shù)

圖象

開(kāi)口方向
向上
向下
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(0，c)
(0，c)
對(duì)稱(chēng)軸
y軸
y軸
函數(shù)變化
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小.
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大.
最大（?。┲?br /> 當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，

題型2：二次函數(shù)y=ax2+k的性質(zhì)
2.拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向是（　?。?br /> A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【分析】根a＝﹣＜0判斷圖象開(kāi)口方向向下．
【解答】解：∵y＝﹣x2中，a＝﹣＜0，
∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【變式2-1】二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4的圖象經(jīng)過(guò)的象限為（　　）
A．第一象限、第四象限
B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限
D．第一象限、第三象限、第四象限
【分析】由拋物線(xiàn)解析式可得拋物線(xiàn)開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸，進(jìn)而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2﹣4，
∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4），開(kāi)口向下，
∴拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)第三，四象限，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【變式2-2】拋物線(xiàn)y＝2x2+1的對(duì)稱(chēng)軸是（　　）
A．直線(xiàn)x＝ B．直線(xiàn)x＝﹣ C．直線(xiàn)x＝2 D．y軸
【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式即可求得．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝2x2+1，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．即在y＝a（x﹣h）2+k中，對(duì)稱(chēng)軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．
函數(shù)y=a（x-h）2的圖象與性質(zhì)
的符號(hào)
開(kāi)口方向
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對(duì)稱(chēng)軸
性質(zhì)

向上

x=h
時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．

向下

x=h
時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．

題型3：二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象
3.畫(huà)出二次函數(shù)y＝（x﹣1）2的圖象．
【分析】首先可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），然后利用對(duì)稱(chēng)性列表，再描點(diǎn)，連線(xiàn)，即可作出該函數(shù)的圖象．
【解答】解：列表得：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
1
0
1
4
…
如圖：
．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的圖象．注意確定此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵．
【變式3-1】再同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列函數(shù)的圖象
（1）y＝（x﹣2）2
（2）y＝（x+2）2
【分析】利用列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)函數(shù)圖象．
【解答】解：（1）列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
描點(diǎn)、連線(xiàn)，

（2）列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
1
0
1
4
…
描點(diǎn)、連線(xiàn)，

課堂總結(jié)：

題型4：二次函數(shù)y=a（x-h）2的性質(zhì)
4.對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2的圖象，下列說(shuō)法不正確的是（　　）
A．開(kāi)口向下
B．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1
C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）
D．當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2，
∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；
對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，故選項(xiàng)B正確，不符合題意；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），故選項(xiàng)C正確，不符合題意；
當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【變式4-1】下列關(guān)于拋物線(xiàn)y＝（x+1）2的說(shuō)法中，正確的是（　　）
A．開(kāi)口向下
B．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1
C．與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）
D．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）
【分析】由拋物線(xiàn)解析式可得拋物線(xiàn)開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸，將x＝0代入函數(shù)解析式可得拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，
將x＝0代入y＝（x+1）2得y＝1，
∴拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【變式4-2】對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣2（x+5）2的圖象，下列說(shuō)法不正確的是（　?。?br /> A．開(kāi)口向下
B．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣5
C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0）
D．x＜﹣5時(shí)，y隨x的增大而減小
【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)由a＝﹣2得到圖象開(kāi)口向下，根據(jù)頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣5，當(dāng)x＜﹣5時(shí)，y隨x的增大而增增大．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣2（x+5）2的圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣5，當(dāng)x＜﹣5時(shí)，y隨x的增大而增大，
故A、B、C說(shuō)法正確，D說(shuō)法不正確，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱(chēng)軸為x＝h．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下．

函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象與性質(zhì)
的符號(hào)
開(kāi)口方向
頂點(diǎn)坐標(biāo)
對(duì)稱(chēng)軸
性質(zhì)

向上

x=h
時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．

向下

x=h
時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．

題型5：二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)
5.對(duì)于二次函數(shù)y＝﹣5（x+4）2﹣1的圖象，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，﹣1）
B．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝4
C．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，1）
D．當(dāng)x＜﹣4時(shí)，y隨x的增大而增大
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解．
【解答】解：由解析式得：函數(shù)的頂點(diǎn)為：（﹣4，﹣1），故C是錯(cuò)誤的；
對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x＝﹣4，故B是錯(cuò)誤的；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣81，故A是錯(cuò)誤的；
﹣5＜0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，當(dāng)x＜﹣4時(shí)，y隨x的增大而增大；故D是正確的；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】再同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出下列函數(shù)的圖象
（1）y＝（x﹣2）2+3
（2）y＝（x+2）2﹣3
【分析】利用列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)函數(shù)圖象．
【解答】解：（1）列表：
列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
7
4
3
4
7
…
描點(diǎn)、連線(xiàn)，

（2）列表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
1
﹣2
﹣3
﹣2
1
…
描點(diǎn)、連線(xiàn)，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象的作法，二次函數(shù)的性質(zhì)，作二次函數(shù)圖象通常利用“五點(diǎn)法”．

【變式5-2】畫(huà)函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象，并根據(jù)圖象回答：
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減?。?br /> （2）當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0．
【分析】根據(jù)y＝（x﹣2）2﹣1可以畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)圖象可以解答問(wèn)題（1），（2）．
【解答】解：函數(shù)y＝（x﹣2）2﹣1的圖象如右圖所示，
（1）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減?。?br /> （2）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＜1或x＞3時(shí)，y＞0．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．
【變式5-3】寫(xiě)出下列二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（1）y＝5（x+2）2﹣3；
（2）y＝﹣（x﹣2）2+3；
（3）y＝（x+3）2+6．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)即可得答案．
【解答】解：（1）y＝5（x+2）2﹣3圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，﹣3）；
（2）y＝﹣（x﹣2）2+3圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3）；
（3）y＝（x+3）2+6圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣3，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，6）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)為（h，k）．

二次函數(shù)的平移
1.平移步驟：
⑴ 將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
⑵ 保持拋物線(xiàn)的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：

2.平移規(guī)律：
在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．
題型6：二次函數(shù)幾種形式之間的關(guān)系（平移）
6.將拋物線(xiàn)y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為（　?。?br /> A．y＝（x﹣4）2﹣6 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣4）2﹣2
【分析】利用二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，左加右減，上加下減，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：將拋物線(xiàn)y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝（x﹣3﹣1）2﹣4+2，即y＝（x﹣4）2﹣2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)與幾何變換，正確記憶圖形平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
【變式6-1】將拋物線(xiàn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，能得到拋物線(xiàn)y＝2（x﹣2）2+3的是（　　）
A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x﹣3）2+1
C．y＝﹣2（x﹣1）2+1 D．y＝﹣2x2﹣1
【分析】根據(jù)題意易得新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得原拋物線(xiàn)的解析式．
【解答】解：y＝2（x﹣2）2+3，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．
向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），原拋物線(xiàn)的解析式是y＝2（x﹣1）2+1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
【變式6-2】將二次函數(shù)y＝x2﹣3的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位后，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式是　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．
【解答】解：將二次函數(shù)y＝x2﹣3的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位后，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式是y＝（x﹣3）2﹣3+5，即y＝（x﹣3）2+2，
故答案為：y＝（x﹣3）2+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．
題型7：利用增減性求字母取值范圍
7.拋物線(xiàn)y＝（k﹣7）x2﹣5的開(kāi)口向下，那么k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＜7 B．k＞7 C．k＜0 D．k＞0
【分析】根據(jù)a小于0圖象開(kāi)口向下，可得答案．
【解答】解：拋物線(xiàn)y＝（k﹣7）x2﹣5的開(kāi)口向下，
k﹣7＜0，
解得k＜7．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項(xiàng)系數(shù)小于0二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下．
【變式7-1】已知點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）是函數(shù)y＝（m﹣3）x2的圖象上的兩點(diǎn)，且當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，有y1＞y2，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】由當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，有y1＞y2，可得出m﹣3＜0，解之即可得出m的取值范圍．
【解答】解：∵當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，有y1＞y2，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)y1＞y2結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，找出關(guān)于m的一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】二次函數(shù)y＝（x﹣h）2+k（h、k均為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三點(diǎn)．若y2＜y1＜y3，則h的取值范圍是　．
【分析】先由y2＜y1＜y3判斷得到點(diǎn)P1離對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)P2離對(duì)稱(chēng)軸的距離遠(yuǎn)，點(diǎn)P3離對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)P1離對(duì)稱(chēng)軸的距離遠(yuǎn)，然后得到h與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而求出h點(diǎn)的取值范圍．
【解答】解：∵y2＜y1＜y3，
∴點(diǎn)P1離對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)P2離對(duì)稱(chēng)軸的距離遠(yuǎn)，點(diǎn)P3離對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)P1離對(duì)稱(chēng)軸的距離遠(yuǎn)，
∴，
解得：﹣2＜h＜﹣1．
故答案為：﹣2＜h＜﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和增減性，解題的關(guān)鍵是通過(guò)已知條件得到三點(diǎn)距離對(duì)稱(chēng)軸的遠(yuǎn)近情況．
題型8：識(shí)別圖象位置
8.如果二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)y＝ax+c的圖象大致是（　　）

A．B． C． D．
【分析】先由拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，再由一次函數(shù)的性質(zhì)解答．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，
∴a＜0，c＞0，
∴一次函數(shù)y＝ax+c的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．用到的知識(shí)點(diǎn)：
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下；拋物線(xiàn)與y軸交于（0，c），當(dāng)c＞0時(shí)，與y軸交于正半軸；當(dāng)k＜0，b＞0時(shí)，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象在一、二、四象限．
【變式8-1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝ax2+bx與y＝ax+b的圖象不可能是（　　）
A．B． C． D．
【分析】根據(jù)a、b與0的大小關(guān)系以及與x軸的交點(diǎn)情況即可作出判斷．
【解答】解：函數(shù)y＝ax2+bx與y＝ax+b的圖象交于x軸上同一點(diǎn)（﹣，0），
A．二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，a＞0，ab＜0，則b＜0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限，則a＞0，b＜0，一致，且交于x軸上同一點(diǎn)，不合題意；
B．二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，a＜0，ab＞0，則b＜0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，則a＜0，b＜0，一致，且交于x軸上同一點(diǎn)，不合題意；
C．二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，a＜0，ab＜0，則b＞0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、二、四象限，則a＜0，b＞0，一致，且交于x軸上同一點(diǎn)，不合題意；
D．二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，a＞0，ab＜0，則b＜0，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限，則a＞0，b＜0，一致，不交于x軸上同一點(diǎn)，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)a、b與0的大小關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，本題屬于中等題型．
【變式8-2】已知m是不為0的常數(shù)，函數(shù)y＝mx和函數(shù)y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（　　）
A．B． C． D．
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：當(dāng)m＞0時(shí)，y＝mx的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和一三象限的直線(xiàn)，y＝mx2﹣m2開(kāi)口向上，與y軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，
當(dāng)m＜0時(shí)，y＝mx的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和二四象限的直線(xiàn)，y＝mx2﹣m2開(kāi)口向下，與y軸交于負(fù)半軸，對(duì)稱(chēng)軸是y軸，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了正比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)以及分析能力和讀圖能力，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題
題型9：比較函數(shù)值的大小
9.已知二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+h的圖象上有三點(diǎn)，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　　）
A．y1＝y(tǒng)2＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y1＜y2＝y(tǒng)3 D．y3＜y1＝y(tǒng)2
【分析】將x值代入函數(shù)關(guān)系式計(jì)算y1，y2，y3，再比較大小可求解．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y1＝1+h，
當(dāng)x＝2時(shí)，y2＝1+h，
當(dāng)x＝3時(shí)，y3＝4+h，
∵1+h＝1+h＜4+h，
∴y1＝y(tǒng)2＜y3，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．

【變式9-1】已知拋物線(xiàn)y＝a（x﹣h）2﹣7，點(diǎn)A（1，﹣5）、B（7，﹣5）、C（m，y1）、D（n，y2）均在此拋物線(xiàn)上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，則y1與y2的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定
【分析】先求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝4，再拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，最后根據(jù)|m﹣h|＞|n﹣h|判斷C離對(duì)稱(chēng)軸比較遠(yuǎn)，從而判斷出y1與y2的大小關(guān)系．
【解答】解：∵點(diǎn)A（1，﹣5）、B（7，﹣5）均在此拋物線(xiàn)上，
∴h＝＝4，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣7），
∴a＞0，開(kāi)口向上，
∵C（m，y1）、D（n，y2）均在此拋物線(xiàn)上，且|m﹣h|＞|n﹣h|，
∴y1＞y2，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，利用已知對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)得出對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)而利用二次函數(shù)增減性得出是解題關(guān)鍵．
【變式9-2】拋物線(xiàn)y＝（x+2）2上有三點(diǎn)A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3），則對(duì)稱(chēng)軸為　　；y1，y2，y3的大小關(guān)系為　　．
【分析】先求得開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到y(tǒng)1，y2，y3的大小關(guān)系．
【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝（x+2）2，
∴該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝﹣2，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，
∵點(diǎn)A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在該拋物線(xiàn)上，|﹣4﹣（﹣2）|＝2，|﹣1﹣（﹣2）|＝1，|1﹣（﹣2）|＝3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案為：直線(xiàn)x＝﹣2，y2＜y1＜y3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱(chēng)性．
題型10：簡(jiǎn)單綜合問(wèn)題
10.已知拋物線(xiàn)y＝（x﹣5）2的頂點(diǎn)為A，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另外一點(diǎn)C．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABC的面積；
（3）試判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由．
【分析】（1）利用頂點(diǎn)式直接得出頂點(diǎn)坐標(biāo)A即可，另x＝0，得出與y軸交點(diǎn)B，利用對(duì)稱(chēng)性的出過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另外一點(diǎn)C；
（2）利用三角形的面積計(jì)算公式求得答案即可；
（3）分別求得AB、BC、AC，進(jìn)一步利用勾股定理逆定理判定即可．
【解答】解：如圖，

（1）拋物線(xiàn)y＝（x﹣5）2的頂點(diǎn)為A（5，0），
由x＝0，則y＝5，拋物線(xiàn)與y軸交，點(diǎn)B為（0，5），
因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝5，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（10，5）；
（2）S△ABC＝×10×5＝25；
（3）AB＝AC＝5，BC＝10，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理與勾股定理逆定理的運(yùn)用，利用二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式10-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+3與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)y＝x2于點(diǎn)B、C，求BC的長(zhǎng)度．

【分析】先根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），再利用BC∥x軸得到B點(diǎn)、C點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為3，然后對(duì)于函數(shù)y＝x2于點(diǎn)B，計(jì)算出函數(shù)值為3所對(duì)應(yīng)的自變量即可得到B、C點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算BC的長(zhǎng)度．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2+3＝3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
因?yàn)锽C∥x軸，
所以B點(diǎn)、C點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為3，
當(dāng)y＝3時(shí)，x2＝3，解得x1＝3，x2＝﹣3，
所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，3），C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），
所以BC＝3﹣（﹣3）＝6．
【變式10-2】拋物線(xiàn)y＝x2和直線(xiàn)y＝kx+b（k≠0）的交點(diǎn)是A和B，它們的橫坐標(biāo)分別是﹣1和3
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積．
【分析】（1）先根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出點(diǎn)A、B解析式，再將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx+b求出k、b的值即可得；
（2）結(jié)合圖形割補(bǔ)法求解可得．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝x2＝，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，），
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x2＝×9＝3，則點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，3），
將點(diǎn)A（﹣1，）、B（3，3）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
則一次函數(shù)解析式為y＝x+1；

（2）如圖，

S△AOB＝S梯形ACDB﹣S△ACO﹣S△BOD
＝×（+3）×4﹣×1×﹣×3×3
＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及割補(bǔ)法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵
【變式10-3】在同一坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線(xiàn)y＝ax2與直線(xiàn)y＝x+b相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（2，3）．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）連接OA，OB，AB，求△AOB的面積．
【分析】（1）先將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)和直線(xiàn)，求得a、b的值，再將兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立得到一元二次方程，解方程求得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為C，根據(jù)S△AOB＝S△AOC+S△BOC列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）拋物線(xiàn)y＝ax2與直線(xiàn)y＝x+b相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（2，3），
則將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y＝ax2，解得a＝；代入y＝x+b，解得：b＝2；
將兩方程聯(lián)立得：x2＝x+2，解方程得：x＝2或﹣，
則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，）；

（2）設(shè)直線(xiàn)y＝x+2與y軸的交點(diǎn)為C，則點(diǎn)C（0，2），
所以S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝×2×（2+）
＝．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)的求法，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，（2）把△AOB分成兩個(gè)三角形求面積更簡(jiǎn)便．

一、單選題
1．拋物線(xiàn)y=3（x-2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（-2，-1） D．（1，2）
【答案】A
【解析】【解答】拋物線(xiàn)y=3（x-2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是：（2，1）．
故答案為：A．
【分析】利用拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可。
2．若拋物線(xiàn)y=-7(x+4)2-1平移得到y(tǒng)=-7x2，則必須(　　)
A．先向左平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位名
B．先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位
C．先向左平移1個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位
D．先向右平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位
【答案】B
【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得，拋物線(xiàn)向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到對(duì)應(yīng)拋物線(xiàn)。
故答案為：B.
【分析】根據(jù)題意，由平移的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“上加下減、左加右減”的平移規(guī)律即可得到答案。
3．對(duì)于二次函數(shù) y=?(x?1)2+2 的圖象與性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) x=1 ，最小值是 2
B．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) x=1 ，最大值是 2
C．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) x=?1 ，最小值是 2
D．對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) x=?1 ，最大值是 2
【答案】B
【解析】【解答】∵在二次函數(shù) y=?(x?1)2+2 中， a=?13 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小
【答案】D
【解析】【解答】A. 拋物線(xiàn) y=(x?2)2?3 ,中a＞0，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，此項(xiàng)正確；
B.由解析式得，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，此項(xiàng)正確；
C. 當(dāng)x=0時(shí)，y=1，所以，該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)y軸正半軸，且對(duì)稱(chēng)軸是x=2，開(kāi)口向上，所以圖像經(jīng)過(guò)一、二、四三個(gè)象限，不經(jīng)過(guò)第三象限，此項(xiàng)正確；
D.∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＞3時(shí)，y隨x的增大而增大，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；
故答案為：D.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開(kāi)口，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次函數(shù)的增減性對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解.
6．如果將一個(gè)二次函數(shù)圖象沿著坐標(biāo)軸向左平移3個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位后得到的是y = 2（x - 6）2 + 4，則原函數(shù)解析式是（　?。?
A．y =（x - 9）2 + 8 B．y = 2（x - 6）2
C．y = 2（x - 3）2 + 8 D．y = 2（x - 9）2 + 8
【答案】C
【解析】【解答】二次函數(shù)平移左加右減，上加下減，即把y = 2（x - 6）2 + 4向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，得到函數(shù)解析式是y = 2（x - 3）2 + 8，
故答案為：C.
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移特點(diǎn)即可求解.
二、填空題
7．拋物線(xiàn) y=2(x?1)2+3 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是　　．
【答案】（1，3）
【解析】【解答】解：由題中所給解析式y(tǒng)=2 (x?1)2 +3中的 (x?1)2 可知頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，再由后面常數(shù)項(xiàng)可知頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
因此頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．
故答案為：（1，3）．

【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式進(jìn)行解答即可。
8．已知點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)在二次函數(shù)y=(x-1)2+1的圖像上，若x1>x2>1，則y1　　y2．(填“>”“=”或“x2>1
∴點(diǎn)A、點(diǎn)B在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)。
∴y隨x的最大而增大
∴y1＞y2
故答案為：＞
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，再判斷出兩點(diǎn)的位置及函數(shù)的增減性，進(jìn)而可得出結(jié)論。
9．如果拋物線(xiàn)y＝（x﹣m）2+m+1的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　　
【答案】（1，2）
【解析】【解答】解：∵拋物線(xiàn)y＝（x﹣m）2+m+1的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，
∴m＝1，
∴解析式y(tǒng)＝（x﹣1）2+2，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，2），
故答案為：（1，2）
【分析】首先根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，從而求得m的值，然后根據(jù)頂點(diǎn)式直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是拋物線(xiàn)y＝（x﹣1）2+c上兩點(diǎn)，則y1　　y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】＜
【解析】【解答】由題意得：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是：直線(xiàn)x=1，
∵1＞0，
∴當(dāng)x-3，
∴y1＜y2，
故答案為：＜．

【分析】由拋物線(xiàn) y＝（x﹣1）2+c的圖像性質(zhì)，可以得到圖像關(guān)于X=1對(duì)稱(chēng)。a=1,圖像開(kāi)口向上。故當(dāng)x-3,故 y1< y2。
11．已知二次函數(shù) y=x2?4x+2 ，在-1≤x≤1的取值范圍內(nèi)，有最小值是　　。
【答案】-1
【解析】【解答】解： y=x2?4x+2 ，
∴y=（x-2）2-4+2
=（x-2）2-2,
∴對(duì)稱(chēng)軸x=2,
∵a=1>0,
∴當(dāng)x0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左邊y隨x的增大而減小，可得當(dāng)x=-1時(shí)，y有最小值.
三、作圖題
12．畫(huà)出拋物線(xiàn)y＝﹣ 12 （x﹣1）2+5的圖象（要求列表，描點(diǎn)），回答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出它的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）若拋物線(xiàn)與x軸的左交點(diǎn)（x1，0）滿(mǎn)足n≤x1≤n+1，（n為整數(shù)），試寫(xiě)出n的值．
【答案】（1）解：列表：

描點(diǎn)、連線(xiàn)

由圖象可知，
該拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）；
（2）解：由圖象可知，當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，x的取值范圍是x＜1；
（3）解：當(dāng)y＝0時(shí)，
0＝﹣ 12 （x﹣1）2+5，
解得， x1=?10+1 ， x2=10+1 ，
則該拋物線(xiàn)與x軸的左交點(diǎn)為（ ?10 +1，0），
∵﹣3＜ ?10 +1＜﹣2，n≤x1≤n+1，（n為整數(shù)），
∴n＝﹣3．
【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的畫(huà)法，先列表，然后描點(diǎn)、連線(xiàn)即可畫(huà)出該拋物線(xiàn)的圖象；（1）根據(jù)畫(huà)出的拋物線(xiàn)的圖象，可以寫(xiě)出它的開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，可以寫(xiě)出當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，x的取值范圍；（3）令y＝0求出相應(yīng)的x的值，即可得到x1的值，然后根據(jù)n≤x1≤n+1，（n為整數(shù)），即可得到n的值．
四、解答題
13．當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，求實(shí)數(shù)m的值．
【答案】解：二次函數(shù)y＝-（x-3）2+m2+1的對(duì)稱(chēng)軸是x＝3，
∵a＝-1＜0，
∴當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大，
由題意得，當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)y＝-（x-3）2+m2+1有最大值4，
則-（1-3）2+m2+1＝4，
解得，m1＝ 7 ，m2＝- 7 ．
【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行作答求解即可。
14．已知拋物線(xiàn) y=a(x?3)2+2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,?2) ，若點(diǎn) A(m,s) ， B(n,t) （ m

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