2022-2023學(xué)年浙江省溫州市南浦實驗中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、選擇題（本大題共8小題，共32分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）計算的結(jié)果等于(    )A.  B.  C.  D. 今年上半年，盡管受到新冠肺炎疫情、地緣政治等多重因素影響，中國貨物貿(mào)易進口總值仍有元人民幣，同比增長，展現(xiàn)出中國消費市場的強勁性．其中，用科學(xué)記數(shù)法表示為(    )A.  B.  C.  D. 國家提倡推行生活垃圾分類，下列垃圾分類標(biāo)志分別是廚余垃圾、有害垃圾、可回收物和其他垃圾，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，是小南暑假某天復(fù)習(xí)各學(xué)科投入時間扇形統(tǒng)計圖，若科學(xué)復(fù)習(xí)時間為，則他數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時間為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，四邊形為平行四邊形，過點的直線分別交，的延長線于點，，若，，則(    )A.
B.
C.
D. 如圖為一塊光學(xué)直角棱鏡，其截面為直角三角形，所在的面為不透光的磨砂面，，，現(xiàn)將一束單色光從邊上的點入射，折射后到達邊上的點，恰有，再經(jīng)過反射后即，從點垂直于射出，則光線在棱鏡內(nèi)部經(jīng)過的路徑的總長度為(    )
A.  B.  C.  D. 已知，，為雙曲線上的三個點，且，則以下判斷正確的是(    )A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則 D. 若，則如圖所示，正方形，，內(nèi)接于五邊形，該五邊形是軸對稱圖形，與為對稱邊，，，則的值是(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共6小題，共24分）分解因式：______．若要舉反例來說明命題“如果，那么”是假命題，則可取______寫出一種即可．有一張長方形桌子的桌面長，寬有一塊長方形臺布的面積是桌面面積的倍，并且鋪在桌面上時，各邊垂下的長度相等．設(shè)垂下的長度為，根據(jù)題意可列方程為______．
 如圖，四邊形中，，，，過點作，交的延長線交于點，若，，則______．
 將直線：向右平移個單位后得到直線，則的解析式是______．氣動升降桌由于高度可調(diào)節(jié)，給人們學(xué)習(xí)生活帶來許多便捷．如圖所示是桌子的側(cè)平面示意圖，，，，，是固定鋼架，垂直桌面，是位置可變的定長鋼架．是兩端固定的伸縮桿，其中，，，，是一個固定角為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至水平位置時，伸縮桿最短，此時伸縮桿的長度為______點的離地高度為，，小南將桌子調(diào)整到他覺得最舒服的高度，此時發(fā)現(xiàn)，則桌面高度為______．
  三、解答題（本大題共6小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
計算：；
化簡：．本小題分
如圖，在和中，，，，且點，，在同一直線上，點，在同側(cè)，連結(jié)，交于點．
求證：≌；
若，求的度數(shù)．
本小題分
在的正方形網(wǎng)格中，點，，均在格點上．僅用無刻度的直尺，按要求作圖保留作圖痕跡．
在圖中，作的中線；
在圖中，以的一邊為直角邊，構(gòu)造一個與面積相等的格點直角三角形．
 
本小題分
某校為了了解九年級學(xué)生的視力健康水平，在開學(xué)初進行了視力調(diào)查．對隨機抽測的部分學(xué)生視力情況進行統(tǒng)計及以上為正常視力：
部分學(xué)生視力情況頻數(shù)分布表視力頻數(shù)頻率______，______，并補全頻數(shù)分布直方圖；
針對抽測結(jié)果，小張認(rèn)為全市初中生的視力情況比較糟糕，視力正常的大約為，你同意他的觀點嗎？說明你的理由．
本小題分
甌柑是溫州的傳統(tǒng)特產(chǎn)，其栽培歷史約有二千四百年，被列為歷代朝廷貢品，民間素有“端午甌柑似羚羊”之稱．甌海區(qū)某經(jīng)銷店購進一批重量相等的“大果”，“中果”兩種大小的甌柑，其中購進大果元，購進中果元，每千克大果比中果貴元．
求大果，中果的進價；
售罄后該經(jīng)銷店準(zhǔn)備再次購進兩種甌柑共千克，擬投入的資金不超過元．重陽節(jié)將至，該店將千克大果和千克中果以進價回饋給老人，剩余大果以的利潤率進行銷售，中果以元進行銷售．若這批甌柑能全部售出，獲得的最大利潤是元，求的值．本小題分
菱形的邊長為，，點是對角線中點，是線段上任一點，連接，作，邊與直線相交于點．
小南和小浦觀察以上問題時，猜想，老師引導(dǎo)他們用“從特殊到一般”的思想方法去嘗試研究．
【特例發(fā)現(xiàn)】
小南發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點與點______重合時，與的長度相等，為______；

【探究證明】
小浦認(rèn)為當(dāng)在線段上時，均有“”，請幫助完成證明．
【拓展運用】
連結(jié)交于點，求證：為定值．
當(dāng)時，______．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根據(jù)有理數(shù)乘法法則：負(fù)負(fù)得正，
．
故選：．
根據(jù)有理數(shù)乘法法則進行計算即可．
此題考查了有理數(shù)的乘法，熟練掌握乘法法則是解本題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：，
故選：．
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)整數(shù)．據(jù)此解答即可．
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定的值以及的值．
 3.【答案】 【解析】解：不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B.既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
C.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
D.既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：由題意得，他數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時間為：，
故選：．
根據(jù)科學(xué)復(fù)習(xí)時間為及其所占百分比，可得小南暑假某天復(fù)習(xí)各學(xué)科投入時間，再乘他數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時間所占百分比即可．
本題考查扇形統(tǒng)計圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 5.【答案】 【解析】解：四邊形為平行四邊形，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
故選：．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：，，
，
，
，
，，
在中，
，，
，
，
，，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
故選：．
由，，得，又，可得，，而，即得，，證明是等邊三角形，有，從而．
本題考查含角的直角三角形三邊的關(guān)系，涉及等邊三角形判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握含角的直角三角形三邊的關(guān)系．
 7.【答案】 【解析】解：反比例函數(shù)中，
函數(shù)圖象在二、四象限，
在每一象限內(nèi)隨的增大而增大，
若，，則，故A不符合題意；
若，則，故B不符合題意；
若，，則，故C不符合題意；
若，則，故D符合題意．
故選：．
先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)，結(jié)合選項條件，則，，的大小關(guān)系即可．
本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，先根據(jù)題意判斷出函數(shù)圖象在第二、四象限是解答此題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，連結(jié)并延長分別交、、于點、、，
，，
，
與為對稱邊，
，
，
四邊形、四邊形、四邊形都是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
直線是五邊形的對稱軸，
，，，
，
，
，
≌，
，
；
連結(jié)，作于點，延長交于點，連結(jié)，
，
，
，，
，
≌，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
設(shè)正方形的邊長為，則，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
的值是，
故選：．
連結(jié)并延長分別交、、于點、、，先證明直線是五邊形的對稱軸，則，，；再證明≌，得，則；連結(jié)，作于點，延長交于點，連結(jié)，證明≌，得，即可證明四邊形是正方形，則，再證明≌，得，所以，則；設(shè)正方形的邊長為，推導(dǎo)出，，即可求出的值．
此題重點考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：．
故答案為．
提公因式進行因式分解，即可解答．
此題主要考查了因式分解提公因式法，確定公因式是解題關(guān)鍵．
 10.【答案】答案不唯一 【解析】解：“如果，那么”是假命題，可以舉一個反例為，因為時，．
故答案為：答案不唯一．
找出滿足，但不滿足即可．
本題考查了命題與定義：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果那么”形式．判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
 11.【答案】 【解析】解：垂下的長度為，
臺布的長為，寬為，
又臺布的面積是桌面面積的倍，
．
故答案為：．
根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出臺布的長為，寬為，利用臺布的面積是桌面面積的倍，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：如圖，過點作于點，

，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四邊形是菱形，
設(shè)，
，
，
，，
，即，
解得：，
，，
，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，，
．
先證明≌，得出，進而證明四邊形是菱形，設(shè)，由勾股定理得出，求出，，再證明四邊形是矩形，得出，進而求出，，利用勾股定理即可求出的長．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：由“左加右減”的原則可知：將直線：向右平移個單位后得到直線，則的解析式是，即．
故答案為：．
直接根據(jù)“左加右減”的原則進行解答即可．
本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
 14.【答案】  【解析】解：如圖，延長交于點，
由題意可知與水平面垂直，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至水平位置時，則，
，
，
，
，，，
，，，
，
；
如圖，作于點，交的延長線于點，
，
，
，
，，
，
，，，
作交的延長線于點，交的延長線于點，
，，
，，
，，
，
作交的延長線于點，作交的延長線于點，交的延長線于點，
，，，
四邊形、四邊形都是矩形，
，
，
，
，
連結(jié)，延長交于點，延長交于點，則，
，，，
，
，
故答案為：，．
延長交于點，則當(dāng)旋轉(zhuǎn)至水平位置時，則，先由得，而，所以，，則，根據(jù)勾股定理可求得，即可求得；作于點，交的延長線于點，由得，可求得，即可根據(jù)勾股定理求得，則，，作交的延長線于點，交的延長線于點，則，，由勾股定理求得，則，作交的延長線于點，作交的延長線于點，交的延長線于點，則，，，連結(jié)，延長交于點，延長交于點，則，，由求出的長即可．
此題重點考查兩條平行線間的距離處處相等、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】解：

；


 【解析】先去絕對值、化簡二次根式、計算零指數(shù)冪；然后計算加減法；
利用完全平方公式和平方差公式去括號；然后合并同類項．
本題主要考查了平方差公式，實數(shù)的運算，完全平方公式以及零指數(shù)冪．在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
 16.【答案】證明：，
，即，
在和中，
，
≌；
解：，，
，
是的外角，
，
≌，
，
是的外角，
． 【解析】由，得出，再利用“”即可證明≌；
由，，得出，由外角的性質(zhì)得出，由全等三角形的性質(zhì)得出，由外角的性質(zhì)得出．
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平角的定義，三角形外角的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：如圖，即為所求．
如圖，即為所求．
 【解析】取格點，，連接，與交于點，連接，則即為所求．
取格點，連接，，則即為所求．
本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖、勾股定理、三角形的面積，能夠?qū)W會利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解答本題的關(guān)鍵．
 18.【答案】   【解析】解：樣本容量為：，
，，
補全頻數(shù)分布直方圖如下：

故答案為：；；
不認(rèn)同，因為該校九年級學(xué)生的視力健康水平不具有代表性．
利用“頻率”求出總數(shù)，進而得出、的值，再補全頻數(shù)分布直方圖即可；
根據(jù)抽樣調(diào)查的意義解答即可．
本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 19.【答案】解：設(shè)大果進價為每千克元，則中果進價為每千克元，
根據(jù)題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的根，
此時，
答：大果進價為每千克元，則中果進價為每千克元；
設(shè)該經(jīng)銷店再次購進大果千克，中果千克，
投入的資金不超過元，
，
解得，
該店將千克大果和千克中果以進價回饋給老人后大果剩余千克，中果剩余千克，
設(shè)這批甌柑能全部售出，獲得的利潤為元，
根據(jù)題意得：，
，
隨的增大而增大，
當(dāng)時，最大值，最大值為，
，
解得． 【解析】設(shè)大果進價為每千克元，則中果進價為每千克元，根據(jù)經(jīng)銷店購進的“大果”，“中果”的重量相等列出方程，解方程即可；
設(shè)該經(jīng)銷店再次購進大果千克，中果千克，這批甌柑能全部售出，獲得的利潤為元，根據(jù)投入的資金不超過元，求出的取值范圍；該店將千克大果和千克中果以進價回饋給老人后大果剩余千克，中果剩余千克，再根據(jù)總利潤兩種甌柑利潤之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求的最值，并根據(jù)最大利潤為元列出方程，解方程求出的值．
本題考查一次函數(shù)和分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式和分式方程．
 20.【答案】     【解析】【特例發(fā)現(xiàn)】解：如圖中，當(dāng)點與重合時，是等邊三角形，此時．
故答案為：，；

【探究證明】證明：如圖中，過點作于點，于點．

四邊形是菱形，
平分，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
≌，
；
【拓展運用】證明：如圖中，
，，
，
，
定值．
解：如圖中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作于點，連接交于點．

，，
，
，
，，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，，
≌，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
，
，
故答案為：．
【特例發(fā)現(xiàn)】如圖中，當(dāng)點與重合時，是等邊三角形，此時．
【探究證明】如圖中，過點作于點，于點利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；
【拓展運用】根據(jù)角的和差定義證明即可；
如圖中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作于點，連接交于點想辦法證明，設(shè)，構(gòu)建方程求解即可．
本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
 

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