2023-2024學年浙江省紹興市新昌縣城關(guān)中學九年級（上）開學數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.  下列各式中，是的二次函數(shù)的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列事件是必然事件的是(    )A. 三角形內(nèi)角和是
B. 端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍
C. 擲一枚均勻骰子，點數(shù)是的一面朝上
D. 打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況3.  某商品的進價為每件元，現(xiàn)在的售價為每件元，每星期可賣出件．市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價元，每星期要少賣出件．則每星期售出商品的利潤單位：元與每件漲價單位：元之間的函數(shù)關(guān)系式是(    )A.  B.
C.  D. 4.  將拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達式為(    )A.  B.
C.  D. 5.  二次函數(shù)化為的形式，下列正確的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  一個不透明的袋子中裝有個紅球、個白球和個黃球，每個球除顏色外都相同．從中任意摸出個球，摸到紅球的概率是(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知點，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 8.  根據(jù)以下表格中二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對應值，可以判斷方程的一個解的范圍是(    ) A.  B.  C.  D. 9.  向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)秒后的高度為米，且時間與高度的關(guān)系為、若此炮彈在第秒與第秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是(    )A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒10.  函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(    )
；
；
；
將圖象向上平移個單位后與直線有個交點．
 A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）11.  已知一個二次函數(shù)的圖象形狀和開口方向與拋物線相同，且頂點坐標為，則這個二次函數(shù)的解析式為______．12.  在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和個黑球，每個球除顏色外完全相同，搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，不斷重復這一過程，共摸球次，其中有次摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是______．13.  已知拋物線的頂點在軸上，則的值是______ ．14.  二次函數(shù)的最小值是______ ．15.  如圖，小明以拋物線為靈感，在平面直角坐標系中設(shè)計了一款高為的獎杯，杯體軸截面是拋物線的一部分，則杯口的口徑為______．
 16.  已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，如圖所示，則能使成立的的取值范圍是______ ．
 三、計算題（本大題共1小題，共6.0分）17.  已知拋物線經(jīng)過點，，求拋物線的解析式和頂點坐標．四、解答題（本大題共5小題，共40.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.  本小題分
已知拋物線．
求證此拋物線與軸有兩個交點；
若拋物線與軸的一個交點為，求的值及拋物線與軸另一交點坐標．19.  本小題分
在習近平總書記視察廣西、親臨柳州視察指導一周年之際，某校開展“緊跟偉大復興領(lǐng)航人踔厲篤行”主題演講比賽，演講的題目有：同甘共苦民族情民族團結(jié)一家親，一起向未來畫出最美同心圓賽前采用抽簽的方式確定各班演講題目，將演講題目制成編號為，，的張卡片如圖所示，卡片除編號和內(nèi)容外，其余完全相同現(xiàn)將這張卡片背面朝上，洗勻放好．

某班從張卡片中隨機抽取張，抽到卡片的概率為______；
若七班從張卡片中隨機抽取張，記下題目后放回洗勻，再由七班從中隨機抽取張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個班抽到不同卡片的概率．這張卡片分別用它們的編號，，表示20.  本小題分
某品牌服裝公司新設(shè)計了一款服裝，其成本價為元件在大規(guī)模上市前，為了摸清款式受歡迎狀況以及日銷售量件與銷售價格元件之間的關(guān)系，進行了市場調(diào)查，部分信息如表：銷售價格元件日銷售量件若與之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，請直接寫出函數(shù)的解析式______不用寫自變量的取值范圍；
若該公司想每天獲利元，并盡可能讓利給顧客，則應如何定價？
為了幫助貧困山區(qū)的小朋友，公司決定每賣出一件服裝向希望小學捐款元，該公司應該如何定價，才能使每天獲利最大？利潤用表示21.  本小題分
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，且關(guān)于直線對稱，點的坐標為．
求二次函數(shù)的表達式；
當時，寫出的取值范圍；
當時，二次函數(shù)的最小值為，求的值．
22.  本小題分
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，其中點坐標為，點坐標為．
求此拋物線的函數(shù)解析式．
點是直線下方拋物線上一個動點，連接、，探究是否存在點，使得的面積最大？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
點為該拋物線對稱軸上的動點，使得為直角三角形，請求出點的坐標．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是一次函數(shù)，故此選項不合題意；
B、不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；
C、是二次函數(shù)，故此選項符合題意；
D、不是二次函數(shù)，故此選項不合題意；
故選：．
利用二次函數(shù)定義進行解答即可．
此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項系數(shù)不為這個關(guān)鍵條件．2.【答案】 【解析】解：、三角形內(nèi)角和是，是必然事件，故A符合題意；
B、端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍，是隨機事件，故B不符合題意；
C、擲一枚均勻骰子，點數(shù)是的一面朝上，是隨機事件，故C不符合題意；
D、打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況，是隨機事件，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，逐一判斷即可解答．
本題考查了三角形內(nèi)角和定理，隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：每漲價元，每星期要少賣出件，每件漲價元，
銷售每件的利潤為元，每星期的銷售量為件，
每星期售出商品的利潤．
故選：．
由每件漲價元，可得出銷售每件的利潤為元，每星期的銷售量為件，再利用每星期售出商品的利潤銷售每件的利潤每星期的銷售量，即可得出結(jié)論．
本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出與之間的函數(shù)關(guān)系式．4.【答案】 【解析】解：將拋物線向右平移個單位，再向上平移個單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達式為．
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可獲得答案．
本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解并掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了二次函數(shù)的不同表達形式，配方法是解此題關(guān)鍵．
根據(jù)配方法，可得頂點式函數(shù)解析式．
【解答】
解：，
，
，
故選：．6.【答案】 【解析】解：一個不透明的袋子中裝有個紅球、個白球和個黃球，
從中任意摸出個球，一共有種可能性，其中摸到紅球的可能性有種，
從中任意摸出個球，摸到紅球的概率是，
故選：．
根據(jù)題意可知，從中任意摸出個球，一共有種可能性，其中摸到紅球的可能性有種，從而可以計算出相應的概率．
本題考查概率公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應的概率．7.【答案】 【解析】解：，
拋物線的開口向上，對稱軸為直線，
點，，，在拋物線上，而點到對稱軸的距離最遠，在對稱軸上，
．
故選：．
先配方得到拋物線的對稱軸為直線，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函數(shù)值的大小．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．8.【答案】 【解析】解：觀察表格可知：當時，；當時，，
方程為常數(shù)的一個解的范圍是．
故選：．
利用二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系．
本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，解題的關(guān)鍵是找到由負變?yōu)檎龝r，自變量的取值即可．9.【答案】 【解析】解：此炮彈在第秒與第秒時的高度相等，
拋物線的對稱軸是：，
炮彈所在高度最高的是第秒．
故選：．
本題需先根據(jù)題意求出拋物線的對稱軸，即可得出頂點的橫坐標，從而得出炮彈所在高度最高時的值．
本題主要考查了二次函數(shù)的應用，在解題時要能根據(jù)題意求出拋物線的對稱軸得出答案是本題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：圖象經(jīng)過，，
拋物線的對稱軸為直線，
，
，即，正確．
由圖象可得拋物線與軸交點在軸下方，
，錯誤．
由拋物線的開口向上可得，
，
，正確．
設(shè)拋物線的解析式為，
代入得：，
解得：，
，
頂點坐標為，
點向上平移個單位后的坐標為，
將圖象向上平移個單位后與直線有個交點，故正確；
故選：．
根據(jù)函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標求出對稱軸為，進而可得，由圖象可得拋物線與軸交點在軸下方，由拋物線的開口方向，對稱軸位置和拋物線與軸交點位置可得的符號，求出二次函數(shù)的頂點式，可得圖象向上平移個單位后與直線有個交點．
本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對稱軸公式，頂點坐標的求法是解題的關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：圖象頂點坐標為，
可以設(shè)函數(shù)解析式是，
又拋物線形狀及開口方向與拋物線相同，
，
這個函數(shù)解析式是：，
故答案為：．
由拋物線頂點坐標可得拋物線頂點式，由拋物線形狀與開口方向與可得．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．12.【答案】 【解析】解：設(shè)袋中紅球的個數(shù)是個，根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解，
即估計袋中紅球的個數(shù)是個，
故答案為．
估計利用頻率估計概率可估計摸到黑球的概率為，然后根據(jù)概率公式構(gòu)建方程求解即可．
本題考查了利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確．13.【答案】 【解析】解：根據(jù)頂點橫坐標公式得，
拋物線的頂點橫坐標為，
拋物線的頂點在軸上時，
頂點橫坐標為，即，
解得．
故答案為：．
拋物線的頂點橫坐標為，當拋物線的頂點在軸上時，頂點橫坐標為，解方程求的值．
本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標的運用．拋物線的頂點坐標為14.【答案】 【解析】解：，
對稱軸所在的直線為，
，
二次函數(shù)有最小值，在頂點處取到，
即當時，．
故答案為：．
通過二次函數(shù)圖象的特點可知函數(shù)有最小值，在頂點處取到，直接代值求解即可．
此題考查二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵求出二次函數(shù)的頂點坐標．15.【答案】 【解析】解：為，
令，
解得，
，，
，
故答案為：．
利用待定系數(shù)法求出、的坐標，可求答案．
本題是關(guān)于二次函數(shù)應用題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，熟練掌握用待定系數(shù)法求點的坐標是解題的關(guān)鍵．16.【答案】或 【解析】解：由函數(shù)圖象可知，當或時，二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，
能使成立的的取值范圍是或．
故答案為：或．
直接根據(jù)函數(shù)的圖象即可得出結(jié)論．
本題考查的是二次函數(shù)與不等式，能利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．17.【答案】解：把，代入得，，
解得：，
拋物線的解析式為，
，
頂點坐標為． 【解析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．
把，代入解方程組即可得到結(jié)論．18.【答案】證明：，
故此拋物線與軸有兩個交點；
解：將代入拋物線表達式得：，
解得：，
故拋物線的表達式為：，
令，則或，
故另外一個交點為：． 【解析】證明，即可求解；
利用待定系數(shù)法求出拋物線表達式，進而求解．
本題考查的是拋物線和軸的交點，熟悉二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.【答案】 【解析】解：某班從張卡片中隨機抽取張，抽到卡片的概率為，
故答案為：；
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中七班和七班抽到不同卡片的結(jié)果有種，
這兩個班抽到不同卡片的概率為．
直接由概率公式求解即可；
畫樹狀圖，共有種等可能的結(jié)果，其中七班和七班抽到不同卡片的結(jié)果有種，再由概率公式求解即可．
本題考查的用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20.【答案】；
根據(jù)題意得：，
解得，，
公司盡可能多讓利給顧客，
應定價為元；
根據(jù)題意得，
，
當時，有最大值，最大值為，
所以當一件衣服定為元時，才能使每天獲利最大． 【解析】解：設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
則，
解得，
與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
故答案為：；
見答案；
見答案．
用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可；
根據(jù)總利潤一件衣服的純利潤銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．
本題考查了二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)解析式．21.【答案】解：二次函數(shù)的對稱軸是直線，
，
，
將代入中，
解得．
二次函數(shù)的表達式為；
當時，的取值范圍為；
若，即時，
則當時，函數(shù)值最小，
，
解得：或舍去；
如，即時，
則當時函數(shù)值最小，
，
解得：不合題意；
若，
則當時函數(shù)值最小，
，
解得：或舍去，
的值為或． 【解析】解：見答案；
二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，
，對稱軸為直線，
，
當時，，
當時，的取值范圍為；
見答案．

二次函數(shù)的對稱軸是直線，求出，將代入中，即可求解；
根據(jù)點，關(guān)于對稱軸直線對稱，求出點坐標，再結(jié)合圖象求出的取值范圍；
分，，三種情況討論即可．
本題考查的是拋物線與軸的交點，拋物線的性質(zhì)，關(guān)鍵是對給定的自變量的取值范圍與對稱軸位置關(guān)系的討論．22.【答案】解：拋物線的圖象經(jīng)過點，點，
，
解得，
拋物線的解析式為；

存在．
理由：如圖中，設(shè)，連接．

令，則，
解得或，
，，
，
，
，
，
時，的面積最大，最大值為，此時；

如圖中，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點，過點作拋物線的對稱軸于點則；

，，
，
當時，是等腰直角三角形，
，
，
當時，是等腰直角三角形，
，
，
當時，設(shè)，設(shè)的中點為，連接，則，
，
，
解得或，
，，
綜上所述，滿足條件的點的坐標為或或或． 【解析】把點，兩點坐標代入拋物線的解析式，解方程組，可得結(jié)論；
存在．如圖中，設(shè)，連接構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決問題；
如圖中，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點，過點作拋物線的對稱軸于點則，分三種情形：，，，分別求解可得結(jié)論．
本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

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