第4講  整式的加減 中考內(nèi)容中考要求ABC代數(shù)式了解代數(shù)式；理解用字母表示數(shù)的意義；會(huì)求代數(shù)式的值能分析具體問題中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示；能根據(jù)特定問題提供的資料，合理選用知識(shí)和方法，求代數(shù)式的值；能根據(jù)某些代數(shù)式的特征，推斷這些代數(shù)式反映的規(guī)律運(yùn)用恰當(dāng)?shù)闹R(shí)和方法對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形，解決有關(guān)問題 整式理解整式的概念；了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則；能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加法和減法運(yùn)算；能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算（其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）；能用整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算  1代數(shù)式一．  代數(shù)式1．   代數(shù)式的概念：用基本的運(yùn)算符號(hào)（包括加、減、乘、除、乘方與開方等）把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式．例如：，，等．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式．例如：，等．2．代數(shù)式書寫規(guī)范：（1）  數(shù)與字母、字母與字母相乘時(shí)常省略“”號(hào)或用“”．           如：，， （2）  數(shù)字通常寫在字母前面．           如：， （3）  帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)要化成假分?jǐn)?shù)．    如：，切勿錯(cuò)誤寫成“ ”（4）  當(dāng)字母前面的數(shù)字為或時(shí)，把數(shù)字省略．           如：， （5）  除法常寫成分?jǐn)?shù)的形式．           如：【例】（2017秋?興城市校級(jí)期中）下列代數(shù)式中整式有（　?。?/span>，2x+y，a2b，，，0.5，a．A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【解答】解：2x+y，a2b，，0.5，a是整式，故選：B．　【例】（2017春?南崗區(qū)校級(jí)期中）在代數(shù)式﹣7，﹣x2，﹣，，，，中，整式有（　?。?/span>A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【解答】解：在代數(shù)式﹣7，﹣x2，﹣，，，，中，整式有﹣7，﹣x2，﹣，，故選：B．2單項(xiàng)式一．  單項(xiàng)式 概念：數(shù)或字母的積叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式． 系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)．             字母是圓周率，當(dāng)做數(shù)字來看待． 次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．     對(duì)于單獨(dú)一個(gè)非零的數(shù)，規(guī)定它的次數(shù)為．二．  單項(xiàng)式系數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)1．   圓周率π是常數(shù)，如的系數(shù)是，次數(shù)是1；的系數(shù)是，次數(shù)是．2．   當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是或時(shí)，通常省略不寫數(shù)字“”，如，等．3．  代數(shù)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫成假分?jǐn)?shù)，如寫成． 【例】（2018?金山區(qū)二模）單項(xiàng)式2a3b的次數(shù)是（　?。?/span>A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：該單項(xiàng)式的次數(shù)為：4故選：C．【例】（2017秋?中山區(qū)期末）單項(xiàng)式﹣2xy3的系數(shù)和次數(shù)分別是（　?。?/span>A．﹣2，4 B．4，﹣2 C．﹣2，3 D．3，﹣2【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式﹣2xy3的系數(shù)和次數(shù)分別是：﹣2、4．故選：A．　【練習(xí)】（2017秋?工業(yè)園區(qū)期末）下列關(guān)于單項(xiàng)式的說法中，正確的是（　　）A．系數(shù)是2，次數(shù)是2 B．系數(shù)是﹣2，次數(shù)是3C．系數(shù)是，次數(shù)是2 D．系數(shù)是，次數(shù)是3【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)是，次數(shù)是3．故選：D．【例】（2017秋?牡丹區(qū)期末）下列說法正確的是（　　）A．的系數(shù)是﹣2 B．32ab3的次數(shù)是6次C．是多項(xiàng)式 D．x2+x﹣1的常數(shù)項(xiàng)為1【解答】解：A、的系數(shù)是﹣；故A錯(cuò)誤．B、32ab3的次數(shù)是1+3=4；故B錯(cuò)誤．C、根據(jù)多項(xiàng)式的定義知，是多項(xiàng)式；故C正確．D、x2+x﹣1的常數(shù)項(xiàng)為﹣1，而不是1；故D錯(cuò)誤．故選：C．【例】（2017秋?民勤縣校級(jí)期中）單項(xiàng)式﹣ 與﹣ 是次數(shù)相同的單項(xiàng)式，求m的值．【解答】解：∵單項(xiàng)式﹣ 與﹣ 是次數(shù)相同的單項(xiàng)式，∴2+m=7，解得：m=5． 3多項(xiàng)式與整式一．  多項(xiàng)式概念：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．多項(xiàng)式的項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)．其中，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．多項(xiàng)式的次數(shù)：一般地，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．降冪升冪排列：通常我們把一個(gè)多項(xiàng)式的各個(gè)項(xiàng)按照某個(gè)字母的指數(shù)從大到小（降冪）或者從小到大（升冪）的順序排列．二．  整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式．【例】（2017秋?雙城市期末）多項(xiàng)式x2﹣2xy3﹣y﹣1是（　?。?/span>A．三次四項(xiàng)式 B．三次三項(xiàng)式 C．四次四項(xiàng)式 D．四次三項(xiàng)式【解答】解：多項(xiàng)式x2﹣2xy3﹣y﹣1有四項(xiàng)，最高次項(xiàng)﹣2xy3的次數(shù)為四，是四次四項(xiàng)式．故選：C．【練習(xí)】（2017秋?濱海新區(qū)期末）如果整式xn﹣3﹣5x2+2是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，那么n等于（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵整式xn﹣3﹣5x2+2是關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，∴n﹣3=3，解得：n=6．故選：D．【例】（2017秋?越秀區(qū)期末）多項(xiàng)式﹣x2+2x+3中的二次項(xiàng)系數(shù)是（　　）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：多項(xiàng)式﹣x2+2x+3中的二次項(xiàng)系數(shù)是：﹣1．故選：A．　【練習(xí)】（2017秋?定陶區(qū)期末）若A是一個(gè)三次多項(xiàng)式，B是一個(gè)四次多項(xiàng)式，則A+B一定是（　　）A．三次多項(xiàng)式 B．四次多項(xiàng)式或單項(xiàng)式C．七次多項(xiàng)式 D．四次七項(xiàng)式【解答】解：多項(xiàng)式相加，也就是合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)時(shí)只是把系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，由于多項(xiàng)式的次數(shù)是“多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)”，B是一個(gè)四次多項(xiàng)式，因此A+B一定是四次多項(xiàng)式或單項(xiàng)式．故選：B． 4同類項(xiàng)一．  同類項(xiàng) 同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)． 合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)． 合并同類項(xiàng)的法則：所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變．二．  去括號(hào)合并同類項(xiàng) 如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同； 如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反．【例】（2018?羅平縣一模）若代數(shù)式2xay3zc與是同類項(xiàng)，則（　　）A．a=4，b=2，c=3 B．a=4，b=4，c=3 C．a=4，b=3，c=2 D．a=4，b=3，c=4【解答】解：∵代數(shù)式2xay3zc與是同類項(xiàng)，∴a=4，b=3，c=2，故選：C．【練習(xí)】（2018?魚臺(tái)縣三模）已知﹣0.5xa+bya﹣b與是同類項(xiàng)，那么（　?。?/span>A． B． C． D．【解答】解：由﹣0.5xa+bya﹣b與是同類項(xiàng)，得，解得．故選：D．　【例】（2018?懷化一模）若單項(xiàng)式2x2ya+b與﹣xa﹣by4是同類項(xiàng)，則a，b的值分別為（　　）A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣3，b=﹣1【解答】解：由2x2ya﹣b與﹣xaby4是同類項(xiàng)，得a﹣b=2，a+b=4．解得：a=3，b=1，故選：A．5整式的加減一．  整式加減的法則：幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來，再用加減號(hào)連接，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)．二．  整體代入思想，整式加減法，去括號(hào)和添括號(hào)的綜合應(yīng)用．【例】（2018?高碑店市一模）若m﹣x=2，n+y=3，則（m﹣n）﹣（x+y）=（　?。?/span>A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5【解答】解：∵m﹣x=2，n+y=3，∴原式=m﹣n﹣x﹣y=（m﹣x）﹣（n+y）=2﹣3=﹣1，故選：A．【練習(xí)】（2017秋?紅橋區(qū)期末）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　?。?/span>A．﹣7x+ B．﹣5x+ C．﹣5x+ D．﹣5x﹣【解答】解：原式=x+﹣6x+=﹣5x+故選：C．　【例】（2017秋?黃梅縣期末）化簡(jiǎn)（1）﹣3x2y+2x2y+3xy2﹣xy2（2）4x2﹣（2x2+x﹣1）+（2﹣x2+3x）【解答】解：（1）原式=﹣x2y+2xy2（2）原式=4x2﹣2x2﹣x+1+2﹣x2+3x=x2+2x+3 綜合練習(xí)一．選擇題（共5小題）1．若2x﹣3y2＝3，則1﹣x+y2的值是（　?。?/span>A．﹣2 B．﹣ C． D．4【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，∴x﹣y2＝，則原式＝1﹣（x﹣y2）＝1﹣＝﹣，故選：B．2．已知式子﹣3xm+1y3與xnym+n是同類項(xiàng)，則m，n的值分別是（　　）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知：∴解得：，故選：D．3．當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式x3+x+m的值是9，則當(dāng)x＝﹣1時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值是（　?。?/span>A．7 B．5 C．3 D．1【解答】解：由題意知1+1+m＝9，則m＝7，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x3+x+m＝﹣1﹣1+7＝5，故選：B．4．給出下列結(jié)論：①單項(xiàng)式﹣的系數(shù)為﹣；②x與y的差的平方可表示為x2﹣y2；③化簡(jiǎn)（x+）﹣2（x﹣）的結(jié)果是﹣x+；④若單項(xiàng)式ax2yn+1與﹣axmy4的差是同類項(xiàng)，則m+n＝5．其中正確的結(jié)論有（　?。?/span>A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①單項(xiàng)式﹣的系數(shù)為﹣，故正確；②x與y的差的平方可表示為（x﹣y）2，原說法錯(cuò)誤；③化簡(jiǎn)（x+）﹣2（x﹣）的結(jié)果是﹣x+，故正確；④若單項(xiàng)式ax2yn+1與﹣axmy4的差是同類項(xiàng)，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正確．故選：C．5．如圖，4張如圖1的長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）長(zhǎng)方形紙片，按圖2的方式放置，陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，若S2＝2S1，則a，b滿足（　?。?/span>A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b【解答】解：由圖形可知，，，∵S2＝2S1，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），∴a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故選：B．二．填空題（共2小題）6．已知2a﹣3b＝4，則3+6b﹣4a的值為　﹣5　．【解答】解：∵2a﹣3b＝4，∴3+6b﹣4a＝3﹣2（2a+3b）＝3﹣2×4＝﹣5．故答案為：﹣5．7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），則M與N的大小關(guān)系為：M?。肌?/span>N．【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7）分別展開得，M＝x2﹣10x+16，N＝x2﹣10x+21．M﹣N＝（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）＝16﹣21＝﹣5∴x2﹣10x+16＜x2﹣10x+21．即M＜N．故答案為M＜N．三．解答題（共3小題）8．先化簡(jiǎn)，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．【解答】解：原式＝4x2y﹣（6xy﹣12xy+6﹣x2y﹣1）＝4x2y﹣（﹣6xy﹣x2y+5）＝4x2y+6xy+x2y﹣5＝5x2y+6xy﹣5當(dāng)x＝2，y＝時(shí)，原式＝5×4×（）+6×2×（）﹣5＝﹣10﹣6﹣5＝﹣21；9．先化簡(jiǎn)，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．【解答】解：原式＝4a2﹣2ab+b2﹣3a2+3ab﹣3b2＝a2+ab﹣2b2，當(dāng)a＝﹣1，b＝時(shí)，原式＝1+﹣＝1．10．長(zhǎng)春市發(fā)起了“保護(hù)伊通河”行動(dòng)，某學(xué)校七年級(jí)兩個(gè)班的115名學(xué)生積極參與，踴躍捐款．已知甲班有的學(xué)生每人捐了10元，乙班有的學(xué)生每人捐了10元，兩個(gè)班其余學(xué)生每人捐了5元，設(shè)甲班有學(xué)生x人．（1）用含x的代數(shù)式表示乙班人數(shù)：　115﹣x　；（2）用含x的代數(shù)式表示兩班捐款的總額；（3）若x＝60，則兩班共捐款多少元？【解答】解：（1）由題意可得，乙班人數(shù)為：115﹣x，故答案為：115﹣x；（2）＝＝+805，即兩班捐款的總額是（+805）元；（3）當(dāng)x＝60時(shí)，+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），答：x＝60時(shí)，兩班共捐款785元 

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