?2017-2018學(xué)年江西省贛州市寧都縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1．（3分）如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對(duì)稱圖形有（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）若△MNP≌△MNQ，且MN=8，NP=7，PM=6，則MQ的長為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．5
3．（3分）媽媽問小欣現(xiàn)在幾點(diǎn)了，小欣瞧見了鏡子里的掛鐘如右圖所示（分針正好指向整點(diǎn)位置），她就立刻告訴了媽媽正確的時(shí)間，請(qǐng)問正確的時(shí)間是（　?。?br />
A．6點(diǎn)20分 B．5點(diǎn)20分 C．6點(diǎn)40分 D．5點(diǎn)40分
4．（3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是（　?。?br />
A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)
5．（3分）如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
6．（3分）如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，以下結(jié)論：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
　
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
7．（3分）若n邊形內(nèi)角和為900°，則邊數(shù)n=　 　．
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ?。?br /> 9．（3分）如圖，點(diǎn)B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可補(bǔ)充的一個(gè)條件是：　 ?。ù鸢覆晃ㄒ唬瑢懸粋€(gè)即可）

10．（3分）若等腰三角形的周長為26cm，一邊為10cm，則腰長為　 　cm．
11．（3分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的一半時(shí)，我們稱此三角形為“半角三角形”，其中α稱為“半角”．如果一個(gè)“半角三角形”的“半角”為20°，那么這個(gè)“半角三角形”的最大內(nèi)角的度數(shù)為　 ?。?br /> 12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC與△ABO全等，則點(diǎn)C坐標(biāo)為　 ?。c(diǎn)C不與點(diǎn)A重合）
　
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）．
13．（6分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角的2倍還大180度，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
14．（6分）如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，AB=CD，AB∥CD，CE=BF．求證：∠A=∠D．

15．（6分）如圖：△ABC和△ADE是等邊三角形，AD是BC邊上的中線．求證：BE=BD．

16．（6分）圖（a）、圖（b）是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1．請(qǐng)?jiān)趫D（a）、圖（b）中，分別畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中的小正方形頂點(diǎn)重合．具體要求如下：
（1）畫一個(gè)底邊長為3，面積為6的鈍角三角形；
（2）畫一個(gè)面積為16，且具有軸對(duì)稱性質(zhì)的鈍角三角形．

17．（6分）如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)E在BD上，連接AE、CE，過點(diǎn)D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分別是F、G．
（1）求證：△ABE≌△CBE；
（2）求證：DF=DG．

　
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）．
18．（8分）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求∠F的度數(shù)；
（2）若CD=2cm，求DF的長．

19．（8分）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC．試判斷線段AE與CD的關(guān)系，并說明理由．

20．（8分）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE．
（1）如圖①，點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，直接寫出∠BAD和∠CAE的大小關(guān)系；
（2）如圖②③，點(diǎn)D在線段BC（或CB）的延長線上移動(dòng)時(shí)，猜想∠DCE的大小是否發(fā)生變化．若不變請(qǐng)求出其大??；若變化，請(qǐng)說明理由．

　[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分．）
21．（9分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直線AB上取一點(diǎn)M，使AM=BC，過點(diǎn)A作AE⊥AB且AE=BM，連接EC，再過點(diǎn)A作AN∥EC，交直線CM、CB于點(diǎn)F、N．
（1）如圖1，若點(diǎn)M在線段AB邊上時(shí)，求∠AFM的度數(shù)；
（2）如圖2，若點(diǎn)M在線段BA的延長線上時(shí)，且∠CMB=15°，求∠AFM的度數(shù)．

22．（9分）如圖1，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．
（1）求證：△AEP≌△BAG；
（2）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖2，若連接EF交GA的延長線于H，由（2）中的結(jié)論你能判斷EH與FH的大小關(guān)系嗎？并說明理由；

　
六、（本大題1小題，滿分12分．）
23．（12分）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．

　

2017-2018學(xué)年江西省贛州市寧都縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)）
1．（3分）如圖，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中軸對(duì)稱圖形有（　?。?br /> A． B． C． D．
【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；
C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
　
2．（3分）若△MNP≌△MNQ，且MN=8，NP=7，PM=6，則MQ的長為（　?。?br /> A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：∵△MNP≌△MNQ，
∴MP=MQ，
已知PM=6，
∴MQ=6．
故選：C．
　
3．（3分）媽媽問小欣現(xiàn)在幾點(diǎn)了，小欣瞧見了鏡子里的掛鐘如右圖所示（分針正好指向整點(diǎn)位置），她就立刻告訴了媽媽正確的時(shí)間，請(qǐng)問正確的時(shí)間是（　?。?br />
A．6點(diǎn)20分 B．5點(diǎn)20分 C．6點(diǎn)40分 D．5點(diǎn)40分
【解答】解：根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)得：正確的時(shí)間是5點(diǎn)40分，
故選：D．
　
4．（3分）如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，AC的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點(diǎn)E、O、F，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)是（　　）

A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分線，
∴OA=OC，
又∵OE=OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴△ABC關(guān)于直線AD軸對(duì)稱，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
綜上所述，全等三角形共有4對(duì)．
故選：D．
　[來源:Zxxk.Com]
5．（3分）如圖，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于18cm，則AC的長等于（　　）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm
【解答】解：∵DE是邊AB的垂直平分線，
∴AE=BE．
∴△BCE的周長=BC+BE+CE=BC+AE+CE=BC+AC=18．
又∵BC=8，
∴AC=10（cm）．
故選：C．
　
6．（3分）如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，以下結(jié)論：
①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，∴①正確；[來源:學(xué)+科+網(wǎng)]
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，
∴∠ACB=2∠ADB，∴②正確；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ACF，
∵∠EAC=∠ACB+∠ACB，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠ACD）
=180°﹣（∠EAC+∠ACF）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
=180°﹣（180°﹣∠ABC）
=90°﹣∠ABC，∴③正確；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，∴④正確；
即正確的有4個(gè)，
故選：A．
　
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．）
7．（3分）若n邊形內(nèi)角和為900°，則邊數(shù)n=　7?。?br /> 【解答】解：根據(jù)題意得：180（n﹣2）=900，
解得：n=7．
故答案為：7．
　
8．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是?。?，2）?。?br /> 【解答】解：點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，2），
故答案為：（1，2）．
　
9．（3分）如圖，點(diǎn)B在AE上，∠CAB=∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可補(bǔ)充的一個(gè)條件是：　∠CBE=∠DBE?。ù鸢覆晃ㄒ?，寫一個(gè)即可）

【解答】解：根據(jù)判定方法，可填A(yù)C=AD（SAS）；或∠CBA=∠DBA（ASA）；或∠C=∠D（AAS）；∠CBE=∠DBE（ASA）．
　
10．（3分）若等腰三角形的周長為26cm，一邊為10cm，則腰長為　10或8　cm．
【解答】解：①10cm是腰長時(shí)，腰長為10cm，
②10cm是底邊時(shí)，腰長=（26﹣10）=8cm，
所以，腰長是10cm或8cm．
故答案為：10或8．
　
11．（3分）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的一半時(shí)，我們稱此三角形為“半角三角形”，其中α稱為“半角”．如果一個(gè)“半角三角形”的“半角”為20°，那么這個(gè)“半角三角形”的最大內(nèi)角的度數(shù)為　120°?。?br /> 【解答】解：∵α=20°，
∴β=2α=40°，
∴最大內(nèi)角的度數(shù)=180°﹣20°﹣40°=120°．
故答案為：120°．
　
12．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC與△ABO全等，則點(diǎn)C坐標(biāo)為　（2，4）或（﹣2，0）或（﹣2，4）?。c(diǎn)C不與點(diǎn)A重合）
【解答】解：如圖所示：

有三個(gè)點(diǎn)符合，
∵點(diǎn)A（2，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=2，
∵△BOC與△AOB全等，
∴OB=OB=4，OA=OC=2，
∴C1（﹣2，0），C2（﹣2，4），C3（2，4）．
故答案為：（2，4）或（﹣2，0）或（﹣2，4）．
　
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）．
13．（6分）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角的2倍還大180度，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，
由題意得，（n﹣2）?180°=2×360°+180°，
解得n=7，
答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)7．
　
14．（6分）如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，AB=CD，AB∥CD，CE=BF．求證：∠A=∠D．

【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠C=∠B，
∵CE=BF，
∴CE+EF=FB+EF，
即CF=BE，
在△AEB和△DFC中，
∴△AEB≌△DFC（SAS），
∴∠A=∠D．
　
15．（6分）如圖：△ABC和△ADE是等邊三角形，AD是BC邊上的中線．求證：BE=BD．

【解答】證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形，AD為BC邊上的中線，
∴AE=AD，AD為∠BAC的角平分線，
即∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BAD=30°，
在△ABE和△ABD中，
，
∴△ABE≌△ABD（SAS），
∴BE=BD．
　
16．（6分）圖（a）、圖（b）是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長均為1．請(qǐng)?jiān)趫D（a）、圖（b）中，分別畫出符合要求的圖形，所畫圖形各頂點(diǎn)必須與方格紙中的小正方形頂點(diǎn)重合．具體要求如下：
（1）畫一個(gè)底邊長為3，面積為6的鈍角三角形；
（2）畫一個(gè)面積為16，且具有軸對(duì)稱性質(zhì)的鈍角三角形．

【解答】解：（1）如圖（a），△ABC即為所求；


（2）如圖（b），△DEF即為所求．
　
17．（6分）如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)E在BD上，連接AE、CE，過點(diǎn)D作DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分別是F、G．
（1）求證：△ABE≌△CBE；
（2）求證：DF=DG．

【解答】證明：（1）∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；

（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
∴∠AED=∠CED，
∵DF⊥AE，DG⊥CE，
∴FD=DG．
　
四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）．
18．（8分）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE交BC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求∠F的度數(shù)；
（2）若CD=2cm，求DF的長．

【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等邊三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
　
19．（8分）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC．試判斷線段AE與CD的關(guān)系，并說明理由．

【解答】解：AE=CD，AE⊥CD，
理由：延長AE交CD于M，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠AEB=∠BDC，
∵∠ABC=90°，
∴∠DAE+∠AEB=90°，
∴∠DAE+∠BDC=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥CD．

　
20．（8分）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE．
（1）如圖①，點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，直接寫出∠BAD和∠CAE的大小關(guān)系；
（2）如圖②③，點(diǎn)D在線段BC（或CB）的延長線上移動(dòng)時(shí)，猜想∠DCE的大小是否發(fā)生變化．若不變請(qǐng)求出其大??；若變化，請(qǐng)說明理由．

【解答】解：（1）∠BAD=∠CAE；理由：
∵△ABC和△ADE是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE；
（2）∠DCE=60°，不發(fā)生變化；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE．
∴∠ABD=120°，∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE
∴∠DAB=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE=∠ABD=120°．
∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACB=120°﹣60°=60°．
　
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分．）
21．（9分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，在直線AB上取一點(diǎn)M，使AM=BC，過點(diǎn)A作AE⊥AB且AE=BM，連接EC，再過點(diǎn)A作AN∥EC，交直線CM、CB于點(diǎn)F、N．
（1）如圖1，若點(diǎn)M在線段AB邊上時(shí)，求∠AFM的度數(shù)；
（2）如圖2，若點(diǎn)M在線段BA的延長線上時(shí)，且∠CMB=15°，求∠AFM的度數(shù)．

【解答】解：（1）連接EM．
∵AE⊥AB，∴∠EAM=∠B=90°．
在△AEM與△BMC中，
，
∴△AEM≌△BMC（SAS）．
∴∠AEM=∠BMC，EM=MC．
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠BMC+∠AME=90．
∴∠EMC=90°．
∴△EMC是等腰直角三角形．
∴∠MCE=45°
∵AN∥CE，
∴∠AFM=∠MCE=45°；

解：（2）如圖2，連接ME．
同（1）△AEM≌△BMC（SAS），則EM=MC，∠MEA=∠CMB=15°．
又∵∠MEA+∠EMA=90°，
∴∠EMC=60°，
∴△EMC是等邊三角形，
∴∠ECM=60°，
∵AN∥CE
∴∠AFM+∠ECM=180°，
∴∠AFM=120°．

　
22．（9分）如圖1，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q．
（1）求證：△AEP≌△BAG；
（2）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]
（3）如圖2，若連接EF交GA的延長線于H，由（2）中的結(jié)論你能判斷EH與FH的大小關(guān)系嗎？并說明理由；

【解答】解：（1）如圖1，∵∠EAB=90°，EP⊥AG，AG⊥BC，
∴∠EPA=∠EAB=∠AGB=90°，
∴∠PEA+∠EAP=90°，∠EAP+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG，
在△EPA和△AGB中，
，
∴△EPA≌△AGB（AAS），

（2）EP=FQ，
證明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，
∴EP=AG，
同理可得，△FQA≌△AGC，
∴AG=FQ，
∴EP=FQ；

（3）EH=FH，
理由：如圖，∵EP⊥AG，F(xiàn)Q⊥AG，
∴∠EPH=∠FQH=90°，
在△EPH和△FQH中，
，
∴△EPH≌△FQH（AAS），
∴EH=FH．

　
六、（本大題1小題，滿分12分．）
23．（12分）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：DE=BD+CE．
（2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合），點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀．
[來源:Zxxk.Com]
【解答】證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）△DEF是等邊三角形．
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF為等邊三角形．
　

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