2.2直線與圓的位置關(guān)系  蘇教版（   2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）動直線：與圓：交于點，，則弦最短為(    )A.  B.  C.  D. 曲線：與直線：有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍．(    )A.  B.
C.  D. 已知為直線上的點，過點作圓：的切線，切點為，，若，則這樣的點有(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 無數(shù)個已知圓，直線，設(shè)圓上到直線的距離為的點的個數(shù)為，當時，則的可能取值共有(    )A. 種 B. 種 C. 種 D. 種已知直線：是圓：的對稱軸，過點作圓的一條切線，切點為，則為(    )A.  B.  C.  D. 過點且與平行的直線與圓：交于，兩點，則的長為(    )A.  B.  C.  D. 若直線與圓：相交于、兩點，且，則實數(shù)取值的集合為(    )A.  B.
C.  D. 關(guān)于的方程有解，則的取值范圍是(    )A.  B.
C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）已知圓方程為：與直線，下列選項正確的是(    )A. 直線與圓必相交 B. 直線與圓不一定相交
C. 直線與圓相交且所截最短弦長為 D. 直線與圓可以相切關(guān)于曲線，下列說法正確的是(    )A. 若曲線表示圓，則
B. 若，曲線表示兩條直線
C. 若，過點與曲線相切的直線有兩條
D. 若，則直線被曲線截得弦長等于已知實數(shù)滿足方程，則下列說法錯誤的是(    )A. 的最大值為 B. 的最大值為
C. 的最大值為 D. 的最大值為已知點在圓上運動，則下列選項正確的是(    )A. 的最大值為，最小值為
B. 的最大值為，最小值為
C. 的最大值為，最小值為
D. 的最大值為，最小值為第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知圓，過直線上任意一點作圓的兩條切線，，切點分別為，，若為銳角，則的取值范圍為          ．如圖，正方形的邊長為米，圓的半徑為米，圓心是正方形的中心，點、分別在線段、上，若線段與圓有公共點，則稱點在點的“盲區(qū)”中，已知點以米秒的速度從出發(fā)向移動，同時，點以米秒的速度從出發(fā)向移動，則在點從移動到的過程中，點在點的盲區(qū)中的時長為__________秒．過圓外一點，引圓的兩條切線，切點為，，則直線的方程為          ．已知點，，，點為圓上的動點，則的取值范圍          ． 四、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分已知：，，點在軸上方，且，的外接圓的圓心為設(shè)為圓上的動點，且點在第一象限，圓在點處的切線交圓于兩點．求的外接圓的方程；求的長度的取值范圍；求的最小值．本小題分已知點，圓的圓心在直線上且與軸切于點，求圓的方程；若直線過點且被圓截得的弦長為，求直線的方程；設(shè)直線與圓交于，兩點，過點的直線垂直平分弦，這樣的實數(shù)是否存在，若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由．本小題分已知圓：及直線：．證明：不論取什么實數(shù)，直線與圓總相交；求直線被圓截得的弦長的最小值及此時的直線方程．本小題分
如圖，某海面上有、、三個小島面積大小忽略不計，島在島的北偏東方向且距島千米處，島在島的正東方向且距島千米處以為坐標原點，的正東方向為軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系圓經(jīng)過、、三點．
 求圓的方程若圓區(qū)域內(nèi)有未知暗礁，現(xiàn)有一船在島的南偏西方向且距島千米的處，正沿著北偏東方向行駛，若不改變方向，試問：該船有沒有觸礁的危險請說明理由．本小題分
滴水湖又名蘆潮湖，呈圓形，是上海浦東新區(qū)南匯新城的中心湖泊，半徑約為千米一“直角型”      公路即關(guān)于對稱且與滴水湖圓相切，如圖建立平面直角坐標系．
 求直線的方程；現(xiàn)欲在湖邊和“直角型”公路圍成的封閉區(qū)域內(nèi)修建圓形旅游集散中心，如何設(shè)計才能使得旅游集散中心面積最大？求出此時圓心到湖中心的距離．本小題分
已知兩點，，圓以線段為直徑．
Ⅰ求圓的方程；
Ⅱ已知直線：，
若直線與圓相切，求直線的方程；
若直線與圓相交于，不同的兩點，是否存在橫坐標為的點，使點恰好為線段的中點，若不存在說明理由，若存在求出值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線過定點及與圓的弦有關(guān)的問題，屬于基礎(chǔ)題目．
由已知可得直線過定點，則當圓心與的連線與垂直時，最小，由勾股定理和兩點間距離公式求解即可．【解答】解： 因為的方程可以寫成，
所以由，得直線過定點，
又圓：的標準方程為，
所以圓心， 半徑，
當與垂直時，最小，
所以．
故選B．  2.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
分直線與半圓相切和直線與半圓相交且只有一個交點兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．
【解答】
解：由曲線：可知，得，即，則，作出曲線的圖象如圖：

當直線經(jīng)過點時，直線直線和曲線有兩個交點，此時，交點，
當直線與曲線相切時，圓心到直線的距離，即，解得，舍去或，此時直線和曲線只有一個交點，
所以滿足條件的的取值范圍為，
故滿足條件的的取值范圍為，
故選：．  3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．
求出圓的圓心到直線的距離，然后判斷選項即可．
【解答】
解：圓：圓的半徑為，圓的圓心到直線的距離為：，
當直線上的點到圓心距離最小時，切線夾角最大，最大為
故若要滿足為直線上的點，過點作圓：的切線，切點為，，，
則只有一個．
故選B．  4.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查點到直線的距離公式，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
由圓上到直線的距離為，分情況討論當時，當時，當時，圓上到直線的距離為的點的個數(shù)情況．
解：因為圓上到直線的距離為，
所以當時，圓上到直線的距離為的點的個數(shù)為
當時，圓上到直線的距離為的點的個數(shù)為
當時，圓上到直線的距離為的點的個數(shù)為
則的可能取值共有種．  5.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查圓的切線長的求法，解題時要注意圓的標準方程，直線和圓相切的性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題．
求出圓的標準方程可得圓心和半徑，由直線：經(jīng)過圓的圓心，求得的值，可得點的坐標，再利用直線和圓相切的性質(zhì)求得的值．【解答】解：圓：，
即，
表示以為圓心、半徑等于的圓．
由題意可得，直線：經(jīng)過圓的圓心，
故有，
，點．
，，
切線的長．
故選A．  6.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系以及直線距離的綜合運算，屬于中檔題．
根據(jù)題干先求出直線方程，再求弦心距，再求弦長．【解答】解：設(shè)直線，
過點，
，
則直線，
即圓的標準方程為，
圓心為，半徑，
圓心到直線距離，
即，
故選D．  7.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
根據(jù)面積求出或，分別求出對應(yīng)的．【解答】解：因為圓：的圓心為，半徑為，
又因為，
所以，
所以或，
當時，，解得，
當時，，解得，
所以實數(shù)取值的集合為
故選D．  8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查圓的方程與直線方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題；
根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解題，首先先根據(jù)方程解的問題轉(zhuǎn)化直線與半圓有交點問題，
作出直線，與半圓的圖像，即可求出結(jié)果；
【解答】
解：關(guān)于的方程有解，即直線與半圓有交點，
另，為半徑為，原點為圓心的半圓，
另，直線恒過，，當斜率不存在時，，有一個交點，滿足條件；
當斜率存在，如圖：

，
若直線與半圓有交點，
則的范圍為，
故選A  9.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線與圓的綜合問題，屬中檔題．
依題意，直線過定點，而在圓內(nèi)，進而可判斷各個選項．【解答】解：直線過定點，
又，所以點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，
所以A正確，，D錯誤，
因為圓心與點間的距離為，圓半徑為．
所以最短弦長為 ，
故C正確，
故選AC．  10.【答案】 【解析】【分析】本題考查曲線與方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
根據(jù)圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系和點到直線的距離公式逐項判斷即可．【解答】解：，
，
若曲線表示圓，則，A正確；
若，曲線，不是兩條直線，B錯誤；
若，曲線，即，圓心，半徑為，
，所以點在圓外，
則過點與曲線相切的直線有兩條，C正確；
若，曲線，即，圓心，半徑為，
圓心到直線的距離為，則根據(jù)勾股定理易得直線被曲線截得弦長等于，D正確．
   11.【答案】 【解析】【分析】本題考查與圓有關(guān)的最值問題，考查直線與圓的位置關(guān)系，是中檔題．
令，則三條直線都與該圓有公共點，根據(jù)點到直線的距離判斷，表示圓上的點到原點的距離的平方，由此判斷．【解答】解：實數(shù)，滿足方程，即，
表示以為圓心，以為半徑的圓；
令，則三條直線都與該圓有公共點，
所以，，，
解得，，，
所以的最大值為，的最大值為，的最大值為，
所以選項A正確，、D錯誤；
原點到圓心的距離為，所以圓上的點到原點的距離的范圍為，
所以，即，
所以的最大值為，項正確．
故選CD．  12.【答案】 【解析】【分析】由的幾何意義為過點與上動點連線的斜率求解的最值；，由該直線與圓相切求解的值可得的范圍．
本題考查直線與圓的關(guān)系問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解能力，是中檔題．【解答】解：設(shè)過的直線方程為，即．
由，解得，
的最大值為，最小值為，故A錯誤，B正確；
令，即，
由，解得，
的最大值為，最小值為，故C正確，D錯誤．
故選：．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要是相切，注意運用切線的性質(zhì)和點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．
作出直線和圓，，為圓的兩條切線，連接，，，由為銳角，可得，運用解直角三角形可得恒成立，由勾股定理可得，求得的最小值，可得的最小值，解不等式即可得到所求的范圍．【解答】解：圓，圓心，半徑為，
作出直線和圓，，為圓的兩條切線，連接，，，

由圓心到直線的距離為，
可得直線和圓相離．
由為銳角，可得，即，
在中，，可得恒成立，
由勾股定理可得，
當時，取得最小值，且為，即有，
解得．
故的取值范圍為．
故答案為．  14.【答案】 【解析】解：以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，
可設(shè)，，
可得直線的方程為，
圓的方程為，
由直線與圓有交點，可得
，
化為，
解得，
即有點在點的盲區(qū)中的時長約為秒．
故答案為：．
以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，求得，的坐標和直線的方程，圓方程，運用點到直線的距離公式，以及直線和圓相交的條件，解不等式即可得到所求時長．
本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查坐標法和二次不等式的解法，屬于中檔題
 15.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線與圓的位置關(guān)系求出和的值，分析可得、在以為圓心，為半徑為圓上，求出該圓的方程，進而分析可得直線的是圓與圓的公共弦，聯(lián)立兩個圓的方程，即可得公共弦的方程，即可得答案．
本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及圓的切線方程，屬于中檔題．【解答】解：根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑，
設(shè)該圓的圓心為，
又由，，
則，
則、在以為圓心，為半徑為圓上，
該圓的方程為，
則直線的是圓與圓的公共弦，
則有，
兩式相減可得：；
即直線的方程為；
故答案為．  16.【答案】 【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，用表示可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．
本題考查與圓有關(guān)的知識，涉及三角函數(shù)的化簡求值，屬于中檔題．【解答】解：根據(jù)題意，點為圓上的動點，則設(shè)，
則，
，
，
則，
故的取值范圍為；
故答案為：．  17.【答案】解：在圓中，因為，所以，
因為圓過點、，點在軸上方，所以圓心在軸的正半軸上，
即，
又在直角三角形中，因為，所以，．
所以的外接圓的方程為．
設(shè)，，，則，，
又因為， 所以，
又直線過點，所以直線的方程為，
過點， 垂足為，
則，
所以，
因為，所以
中點的橫坐標為，
因為，所以，
即直線的方程為，
又直線的方程為，
聯(lián)立方程組得，，
得，
因為當且僅當時取等號
所以，
所以，
即的最小值為． 【解析】本題考查圓的標準方程的求法，直線與圓的弦長問題及利用基本不等式求最值，屬于中檔題．
在圓中，因為，所以，因為圓過點、，點在軸上方，所以圓心在軸的正半軸上，即，又在直角三角形中，因為，所以，，即可求解
由可得，由的坐標可得直線的斜率，進而求出直線的斜率，因為為切點，求出直線的方程，過作可得，為的中點，由點到直線的距離公式，求出的值，所以，再由的縱坐標的范圍求出的范圍
由可得為的中點可得的坐標與，坐標的關(guān)系，將直線，的方程聯(lián)立求出的橫坐標，進而可得，的橫坐標之和，又在圓上，由均值不等式可得的范圍，進而可得的最小值．
 18.【答案】解：圓的圓心在直線上且與軸切于點，
設(shè)圓心坐標為，則， 
解得，，圓心，半徑， 
故圓的方程為，
即．
點，直線過點， 
設(shè)直線的斜率為存在，則方程為 
又圓的圓心為，半徑， 
由弦長為，故弦心距，
由，解得 
所以直線方程為，即 ．
當的斜率不存在時，的方程為，經(jīng)驗證也滿足條件． 
故的方程為或．
把直線，即代入圓的方程， 
消去，整理得 
由于直線交圓于，兩點， 
故，即，解得．
設(shè)符合條件的實數(shù)存在， 
由于垂直平分弦，故圓心必在上． 
所以的斜率，而，所以 
由于， 
故不存在實數(shù)，使得過點的直線垂直平分弦． 【解析】本題考查圓的方程和直線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質(zhì)和直線方程的合理運用．
設(shè)圓心坐標為，由已知，由此能求出圓的方程．
設(shè)直線的斜率為存在則方程為由弦長為，故弦心距，由此利用點到直線距離公式求出，從而求出直線方程，當的斜率不存在時，的方程為也滿足條件．
把直線代入圓的方程，由，得，從而能求出不存在實數(shù)使得過點的直線垂直平分弦．
 19.【答案】證明：把直線的方程改寫成，
由方程組，解得，
所以直線總過定點．
圓的方程可寫成，
所以圓的圓心為，半徑為．
定點到圓心的距離為，
即點在圓內(nèi)．
所以過點的直線總與圓相交，即不論取什么實數(shù)，直線與圓總相交．
解：設(shè)直線與圓交于、兩點．當直線過定點且垂直于過點的圓的半徑時，
被截得的弦長最短．
因為，
此時，所以直線的方程為，即．
故直線被圓截得的弦長最小值為，
此時直線的方程為． 【解析】本題考查直線與圓總相交的證明，考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
求出直線過定點，圓的圓心為，半徑為定點到圓心的距離小于半徑，從而得到點在圓內(nèi)，由此能證明不論取什么實數(shù)，直線與圓總相交．
設(shè)直線與圓交于、兩點．當直線過定點且垂直于過點的圓的半徑時，被截得的弦長最短．
 20.【答案】解：由題意得、，設(shè)過、、三點的圓的方程為，則解得，，，所以圓的方程為．由題意得，且該船的航線所在的直線的斜率為，故該船的航線為直線，由知圓心為，半徑，因為圓心到直線的距離 ，所以該船有觸礁的危險． 【解析】本題考查了圓的方程的求法，重點考查了點到直線的距離公式，屬中檔題．由圓過點、、，設(shè)圓的方程為，再將點、、的坐標代入運算即可得解由題意可得該船航行方向為直線：，再結(jié)合點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，得解．
 21.【答案】解：如圖，建立平面直角坐標系．
 因為“直角型”公路關(guān)于對稱，所以直線的斜率為．設(shè)直線的方程為：，因為直角形公路與滴水湖圓相切，且圓半徑約為，所以圓心到直線的距離，解得．因為，所以，所以直線的方程為 要使得旅游集散中心面積最大，圓與圓相外切，與直線和直線相切，所以圓心在軸上，設(shè)圓的圓心坐標為，半徑為，則，解得  所以圓心到湖中心的距離約為千米時，旅游集散中心面積最大． 【解析】本題考查圓在實際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題．
設(shè)直線的方程為：，由圓心到直線的距離，求，即可解決；
要使得旅游集散中心面積最大，圓與圓相外切，與直線和直線相切，得，求．
 22.【答案】解：Ⅰ圓的直徑，故半徑為．
圓心坐標為線段的中點，
圓的方程為；
Ⅱ直線：，若直線與圓相切，
則圓心到直線的距離，解得或，
直線的方程為或；
由方程組，
消去整理得，
若直線與圓相交于，不同的兩點，
則，可得或，
設(shè)，，則，
若，解得舍或，
存在橫坐標為的點，使點恰好為線段的中點，此時． 【解析】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．
Ⅰ由已知求出圓的半徑及圓心坐標，則圓的方程可求；
Ⅱ直線：，若直線與圓相切，由圓心到直線的距離等于半徑求，則直線方程可求；
聯(lián)立直線方程與圓的方程，整理后化為關(guān)于的一元二次方程，由判別式大于求得的范圍，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及已知求得值得答案．
 

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2.2 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 蘇教版 (2019)

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