第一課時(shí)　直線與圓的位置關(guān)系 早晨的日出非常美麗，如果我們把海平面看成一條直線，而把太陽(yáng)抽象成一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的圓，觀察太陽(yáng)緩緩升起的這樣一個(gè)過(guò)程，你能想象到什么幾何知識(shí)呢？沒(méi)錯(cuò)，日出升起的過(guò)程可以體現(xiàn)直線與圓的三種位置關(guān)系． [問(wèn)題]　日出升起的過(guò)程體現(xiàn)的是直線與圓的哪三種位置關(guān)系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識(shí)點(diǎn)　直線與圓的三種位置關(guān)系 設(shè)直線l和圓C的方程分別為Ax＋By＋C＝0，x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心到直線l的距離為d，半徑為r，則直線l與圓C的方程聯(lián)立方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.)) 我們有如下結(jié)論： 1．若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與圓一定相切嗎？ 提示：相切． 2．若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離滿足什么條件？ 提示：d≤r. 1．判斷正誤．(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”) (1)如果直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．(　　) (2)直線x＋2y－1＝0與圓2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置關(guān)系是相交．(　　) 答案：(1)√　(2)√ 2．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為(　　) A．相切　　　　　　　 B．相交但直線不過(guò)圓心 C．直線過(guò)圓心 D．相離 解析：選B　圓心(0，0)到直線y＝x＋1的距離d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).因?yàn)?＜eq \f(\r(2),2)＜1，故直線與圓相交但直線不過(guò)圓心，選B. 3．直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為(　　) A．0或2 B．2 C.eq \r(2) D．無(wú)解 解析：選B　由于直線與圓相切，故eq \r(m)＝eq \f(|m|,\r(12＋12))，解得m＝0(舍去)或m＝2. 4．直線y＝2x＋3被圓x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦長(zhǎng)等于________． 解析：圓的方程可化為(x－3)2＋(y－4)2＝25.故圓心為(3，4)，半徑r＝5.又直線方程為2x－y＋3＝0，所以圓心到直線的距離為d＝eq \f(|2×3－4＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，所以弦長(zhǎng)為2eq \r(r2－d2)＝2×eq \r(25－5)＝2eq \r(20)＝4eq \r(5). 答案：4eq \r(5) [例1]　(鏈接教科書(shū)第58頁(yè)例1)求直線x－y－1＝0和圓x2＋y2＝13的公共點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷它們的位置關(guān)系． [解]　直線x－y－1＝0和圓x2＋y2＝13的公共點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,x2＋y2＝13))的解． 解這個(gè)方程組，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝－3.)) 所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，2)或(－2，－3)． 因?yàn)橹本€x－y－1＝0和圓x2＋y2＝13有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線和圓相交． eq \a\vs4\al() 判斷直線與圓位置關(guān)系的方法 (1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷； (2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練] 已知直線l：x－y＝0與圓C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，若相交求出交點(diǎn)坐標(biāo)． 解：解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,（x－7）2＋（y－1）2＝36.)) 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝7，,y1＝7))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝1，,y2＝1.)) 所以公共點(diǎn)坐標(biāo)為(7，7)或(1，1)． 因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相交. [例2]　(鏈接教科書(shū)第59頁(yè)例2)(1)設(shè)直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝1相切，則m＝________； (2)過(guò)點(diǎn)A(－1，4)作圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程為_(kāi)_______． [解析]　(1)已知圓的圓心為O(0，0)，半徑r＝1，則O到已知直線的距離d＝eq \f(|m0＋（－1）0＋2|,\r(m2＋（－1）2))＝eq \f(2,\r(m2＋1)).由已知得d＝r，即eq \f(2,\r(m2＋1))＝1，解得m＝±eq \r(3). (2)∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴點(diǎn)A在圓外． 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程是x＝－1，不滿足題意． 設(shè)直線l的斜率為k，則切線l的方程為y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0. 圓心(2，3)到切線l的距離為eq \f(|2k－3＋4＋k|,\r(k2＋1))＝1， 解得k＝0或k＝－eq \f(3,4)， 因此，所求直線l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0. [答案]　(1)±eq \r(3)　(2)y＝4或3x＋4y－13＝0 [母題探究] (變條件)若本例(2)中的圓C：“(x－2)2＋(y－3)2＝1”換為圓C：“x2＋y2＝17”其它條件不變，試求切線l的方程． 解：因?yàn)辄c(diǎn)A(－1，4)在圓x2＋y2＝17上．所以過(guò)點(diǎn)A的切線l與AC垂直， 又因?yàn)閗AC＝eq \f(4,－1)＝－4， 故切線l的斜率k＝eq \f(1,4)， 所以切線l的方程為y－4＝eq \f(1,4)(x＋1)， 即x－4y＋17＝0. eq \a\vs4\al() 1．過(guò)圓上一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的求法 先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq \f(1,k)，由點(diǎn)斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0. 2．過(guò)圓外一點(diǎn)(x0，y0)的切線方程的求法 設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當(dāng)用此法只求出一個(gè)方程時(shí)，另一個(gè)方程應(yīng)為x＝x0，因?yàn)樵谏厦娼夥ㄖ胁话ㄐ甭什淮嬖诘那闆r，而過(guò)圓外一點(diǎn)的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解． 3．求切線長(zhǎng)(最值)的兩種方法 (1)代數(shù)法：直接利用勾股定理求出切線長(zhǎng)，把切線長(zhǎng)中的變量統(tǒng)一成一個(gè)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值； (2)幾何法：把切線長(zhǎng)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問(wèn)題．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練] 1．以點(diǎn)(2，－1)為圓心，且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3　 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 解析：選D　圓心到直線3x－4y＋5＝0的距離d＝eq \f(|6＋4＋5|,\r(32＋（－4）2))＝3，即圓的半徑為3，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9. 2．點(diǎn)P是直線2x＋y＋10＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB與圓x2＋y2＝4分別相切于A，B兩點(diǎn)，則四邊形PAOB面積的最小值為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，因?yàn)镾四邊形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP， 所以S四邊形PAOB＝2×eq \f(1,2)|OA|·|PA| ＝2eq \r(|OP|2－|OA|2)＝2eq \r(|OP|2－4). 為使四邊形PAOB面積最小，當(dāng)且僅當(dāng)|OP|達(dá)到最小，即為點(diǎn)O到直線2x＋y＋10＝0的距離：|OP|min＝eq \f(10,\r(22＋12))＝2eq \r(5). 故所求最小值為2eq \r(（2\r(5)）2－4)＝8. 答案：8 [例3]　(鏈接教科書(shū)第60頁(yè)例3)如果一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(3,2)))且被圓x2＋y2＝25所截得的弦長(zhǎng)為8，求這條直線的方程． [解]　圓x2＋y2＝25的半徑長(zhǎng)r為5，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)l＝8，于是弦心距d＝ eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))\s\up12(2))＝eq \r(52－42)＝3. 因?yàn)閳A心O(0，0)到直線x＝－3的距離恰為3，所以直線x＝－3是符合題意的一條直線．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線y＋eq \f(3,2)＝k(x＋3)也符合題意，即圓心到直線kx－y＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2)))＝0的距離等于3，于是eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3k－\f(3,2))),\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(3,4). 故直線的方程為3x＋4y＋15＝0. 綜上可知，滿足題意的直線有兩條，對(duì)應(yīng)的方程分別為x＝－3或3x＋4y＋15＝0. eq \a\vs4\al() 求弦長(zhǎng)的兩種方法 (1)由半徑長(zhǎng)r、弦心距d、弦長(zhǎng)l的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq \s\up12(2)＝r2求解，這是常用解法； (2)聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))之間的關(guān)系，代入兩點(diǎn)間距離公式求解．此解法很煩瑣，一般不用．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練] 求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長(zhǎng)． 解：法一：由直線l與圓C的方程， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))消去y，得x2－3x＋2＝0. 設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系有x1＋x2＝3，x1·x2＝2， |AB|＝ eq \r(（1＋32）（x1－x2）2) ＝ eq \r(10[（x1＋x2）2－4x1x2]) ＝ eq \r(10×（32－4×2）) ＝eq \r(10). ∴弦AB的長(zhǎng)為eq \r(10). 法二：圓C：x2＋y2－2y－4＝0可化為x2＋(y－1)2＝5. 其圓心坐標(biāo)為C(0，1)，半徑r＝eq \r(5)，點(diǎn)C(0，1)到直線l的距離為d＝eq \f(|3×0＋1－6|,\r(32＋12))＝eq \f(\r(10),2)， ∴|AB|＝2 eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2)) ＝eq \r(10)， ∴弦長(zhǎng)為eq \r(10). 1．直線3x＋4y＋12＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系是(　　) A．相交并且直線過(guò)圓心　 B．相交但直線不過(guò)圓心 C．相切 D．相離 解析：選D　圓心C(1，1)到直線的距離d＝eq \f(|3×1＋4×1＋12|,\r(32＋42))＝eq \f(19,5)，圓C的半徑r＝3，則d＞r，所以直線與圓相離． 2．圓x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直線x－y－5＝0所得的弦長(zhǎng)等于(　　) A.eq \r(6) B.eq \f(\r(6),2) C．1 D．5 解析：選A　圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋2)2＝2，則圓的半徑r＝eq \r(2)，圓心到直線的距離d＝eq \f(|2＋2－5|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(2－\f(1,2))＝eq \r(6). 3．求實(shí)數(shù)m的取值范圍，使直線x－my＋3＝0與圓x2＋y2－6x＋5＝0分別滿足： (1)相交；(2)相切；(3)相離． 解：圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為(x－3)2＋y2＝4， 故圓心(3，0)到直線x－my＋3＝0的距離d＝eq \f(6,\r(m2＋1))， 圓的半徑r＝2. (1)若相交，則d2， 所以m∈(－2eq \r(2)，2eq \r(2))． 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系直觀想象2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想數(shù)學(xué)運(yùn)算方程組無(wú)解方程組僅有一組解方程組有兩組不同的解直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)直線與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)相離相切相交deq \a\vs4\al(>)rd＝rdeq \a\vs4\al(

相關(guān)學(xué)案

高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)2.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)學(xué)案及答案：

這是一份高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)選擇性必修 第二冊(cè)2.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)學(xué)案及答案，共12頁(yè)。學(xué)案主要包含了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，求切點(diǎn)的坐標(biāo)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)2.1 圓的方程精品導(dǎo)學(xué)案：

這是一份蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)2.1 圓的方程精品導(dǎo)學(xué)案，共6頁(yè)。

高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)第2章 圓與方程2.1 圓的方程優(yōu)秀導(dǎo)學(xué)案：

這是一份高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)第2章 圓與方程2.1 圓的方程優(yōu)秀導(dǎo)學(xué)案，共6頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.2 直線與圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案及答案

數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.2 直線與圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案及答案
數(shù)學(xué)人教A版 (2019)第二章 直線和圓的方程2.5 直線與圓、圓與圓的位置第1課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)人教A版 (2019)第二章 直線和圓的方程2.5 直線與圓、圓與圓的位置第1課時(shí)學(xué)案設(shè)計(jì)
人教版新課標(biāo)A必修24.2 直線、圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案

人教版新課標(biāo)A必修24.2 直線、圓的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)案
高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.5 直線與圓、圓與圓的位置優(yōu)質(zhì)學(xué)案設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)2.5 直線與圓、圓與圓的位置優(yōu)質(zhì)學(xué)案設(shè)計(jì)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

2.2 直線與圓的位置關(guān)系

版本： 蘇教版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修第一冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部