?1.2.4　二面角
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定義，會(huì)找一些簡(jiǎn)單圖形中的二面角的平面角．(重點(diǎn))
2．掌握求二面角的方法、步驟．(重點(diǎn)、難點(diǎn))
1．通過(guò)學(xué)習(xí)二面角的概念及二面角的平面角，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助求二面角的方法和步驟的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．


同學(xué)們可能經(jīng)常談?wù)撃衬惩瑢W(xué)是白羊座的，某某同學(xué)是雙子座的，可是你知道十二星座的由來(lái)嗎？
我們知道，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”，黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)約為23°26′，它與天球相交的大圓為“黃道”，黃道及其附近的南北寬8°以內(nèi)的區(qū)域?yàn)辄S道帶，黃道帶內(nèi)有十二個(gè)星座，稱為“黃道十二宮”，從春分(節(jié)氣)點(diǎn)起，每30°便是一宮，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、雙子座等等，這便是星座的由來(lái)，今天我們研究的問(wèn)題便是二面角的平面角問(wèn)題．

1．二面角的概念
(1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．
(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個(gè)面分別為α，β的二面角的面，記作α-l-β，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作A-l-B，二面角的范圍為[0，π]．
(3)二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，分別在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．
提醒：二面角的大小等于它的平面角大小，平面角是直角的二面角稱為直二面角．
思考：如何找二面角的平面角？
[提示]　(1)定義法
由二面角的平面角的定義可知平面角的頂點(diǎn)可根據(jù)具體題目選擇棱上一個(gè)特殊點(diǎn)，求解用到的是解三角形的有關(guān)知識(shí)．
(2)垂面法
作(找)一個(gè)與棱垂直的平面，與兩面的交線就構(gòu)成了平面角．
(3)三垂線定理(或逆定理)作平面角，這種方法最為重要，其作法與三垂線定理(或逆定理)的應(yīng)用步驟一致．
2．用空間向量求二面角的大小
如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個(gè)法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ．則θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，sin θ＝sin〈n1，n2〉．

1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)二面角的范圍是． (　　)
(2)若二面角α-l-β的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1，n2，則二面角的平面角與兩法向量夾角〈n1，n2〉一定相等． (　　)
(3)二面角的大小通過(guò)平面角的大小來(lái)度量． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√
[提示]　(1)×　不是．是[0，π]．
(2)×　不一定．可能相等，也可能互補(bǔ)．
(3)√
2．(教材P52練習(xí)B②改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的余弦值為(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
C　[易知∠A1BA為二面角A1 -BC-A的平面角，
cos∠A1BA＝＝．]
3．已知二面角α-l-β，其中平面α的一個(gè)法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一個(gè)法向量n＝(0，－1,1)，則二面角α-l-β的大小可能為________．
60°或120°　[cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，
∴二面角α-l-β的大小為60°或120°．]
4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-C1的余弦值是________．
　[如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，

則D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,0)．
設(shè)n＝(x，y，z)是平面A1BD的一個(gè)法向量，
則
即
令x＝1，則y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
同理，求得平面BC1D的一個(gè)法向量m＝(1，－1,1)，
則cos〈m，n〉＝＝，
所以二面角A1-BD-C1的余弦值為．]


用定義法求二面角
【例1】　如圖，設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑，PA為母線，點(diǎn)C在底面圓周上，若△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且CO⊥AB，求二面角P-AC-B的正弦值．

[解]　如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD，

∵PO⊥底面，∴PO⊥AC，
∵OA＝OC，D為AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
又PO∩OD＝O，
∴AC⊥平面POD，則AC⊥PD，
∴∠PDO為二面角P-AC-B的平面角．
∵△PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，CO⊥AB，
∴PO＝，OA＝OC＝1，OD＝，
則PD＝＝．
∴sin∠PDO＝＝＝，
∴二面角P-AC-B的正弦值為．

用定義求二面角的步驟
(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角時(shí)多用三垂線定理)．
(2)證明所作平面角即為所求二面角的平面角．
(3)解三角形求角．


1．已知矩形ABCD的兩邊AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝，則二面角A-BD-P的正切值為________．

　[過(guò)A作AO⊥BD，交BD于O，連接PO，

∵矩形ABCD的兩邊AB＝3，AD＝4，
PA⊥平面ABCD，且PA＝，
∴BD＝＝5，PO⊥BD，
∴∠POA是二面角A-BD-P的平面角，
∵×BD×AO＝×AB×AD，
∴AO＝＝，
∴tan∠POA＝＝＝．
∴二面角A-BD-P的正切值為．]

用向量法求二面角
[探究問(wèn)題]
1．構(gòu)成二面角的平面角有幾個(gè)要素？
[提示]　(1)角的頂點(diǎn)在二面角的棱上；(2)角的兩邊分別在表示二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)；(3)角的兩邊分別和二面角的棱垂直．
2．二面角的大小與其兩個(gè)半平面的法向量的夾角有何關(guān)系？
[提示]　
條件
平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構(gòu)成的二面角的大小為θ，〈u，v〉＝φ
圖形


關(guān)系
θ＝φ
θ＝π－φ
計(jì)算
cos θ＝cos φ
cos θ＝－cos φ
【例2】　如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形．

(1)證明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．
[思路探究]　(1)充分利用圖形中的垂直關(guān)系，用傳統(tǒng)的方法(綜合法)可證．
(2)利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，用法向量求二面角的余弦值．
[解]　(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛CC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以O(shè)O1⊥AC，OO1⊥BD，因?yàn)锳C∩BD＝O，所以O(shè)1O⊥底面ABCD．
(2)因?yàn)樗睦庵乃欣忾L(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，又O1O⊥底面ABCD，所以O(shè)B，OC，OO1兩兩垂直．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)棱長(zhǎng)為2，因?yàn)椤螩BA＝60°，所以O(shè)B＝，OC＝1，
所以O(shè)(0,0,0)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
平面BDD1B1的一個(gè)法向量為n＝(0,1,0)，
設(shè)平面OC1B1的法向量為m＝(x，y，z)，
則由m⊥，m⊥，所以x＋2z＝0，y＋2z＝0，
取z＝－，則x＝2，y＝2，
所以m＝(2,2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝．
由圖形可知二面角C1-OB1-D的大小為銳角，
所以二面角C1-OB1-D的余弦值為．

1．(變問(wèn)法)本例(2)條件不變，求二面角B-A1C-D的余弦值．
[解]　如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)棱長(zhǎng)為2，則A1(0，－1,2)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)．
所以＝(－，1,0)，＝(0,2，－2)，＝(－，－1,0)．
設(shè)平面A1BC的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則
即取x1＝，則y1＝z1＝3，
故n1＝(，3,3)．
設(shè)平面A1CD的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
則即取x2＝，則y2＝z2＝－3，故n2＝(，－3，－3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－．
由圖形可知二面角B-A1C-D的大小為鈍角，所以二面角B-A1C-D的余弦值為－．
2．(變條件、變問(wèn)法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改為∠CBA＝90°，設(shè)E，F(xiàn)分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，求平面AB1E與平面AD1F所成銳二面角的余弦值．
[解]　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)此棱柱的棱長(zhǎng)為1，則A(0，0,0)，B1(1,0,1)，E，D1(0,1,1)，F(xiàn)，

＝，＝(1,0,1)，＝，＝(0,1,1)．
設(shè)平面AB1E的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，
則即
令y1＝2，則x1＝－1，z1＝1，
所以n1＝(－1,2,1)．
設(shè)平面AD1F的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
則即令x2＝2，
則y2＝－1，z2＝1．所以n2＝(2，－1,1)．
所以平面AB1E與平面AD1F所成銳二面角的余弦值為
＝
＝＝．

利用坐標(biāo)法求二面角的步驟
設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是兩個(gè)平面夾角的大小，如圖．用坐標(biāo)法的解題步驟如下：

(1)建系：依據(jù)幾何條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求法向量：在建立的坐標(biāo)系下求兩個(gè)面的法向量n1，n2．
(3)計(jì)算：求n1與n2所成銳角θ，cos θ＝．
(4)定值：若二面角為銳角，則為θ；若二面角為鈍角，則為π－θ．
提醒：確定平面的法向量是關(guān)鍵．



空間中的翻折與探索性問(wèn)題
【例3】　如圖甲，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥CD，垂足為E，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．取AD的中點(diǎn)F，連接BF，CF，EF，如圖乙．

甲　　　　　　 乙
(1)求證：BC⊥平面DEC；
(2)求二面角C-BF-E的余弦值．
[思路探究]　(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明BC⊥平面DEC；
(2)建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角C-BF-E的余弦值．
[解]　(1)證明：如圖，∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E，
∴DE⊥平面ABCE，
又∵BC?平面ABCE，∴DE⊥BC，
又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC．
(2)如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EC，ED為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系E-xyz，

∴E(0,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，
D(0,0,2)，A(2,0,0)，F(xiàn)(1,0,1)，
設(shè)平面EFB的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
由＝(1,0,1)，＝(2,2,0)，
所以
∴取x1＝1，得平面EFB的一個(gè)法向量n1＝(1，－1，－1)，
設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)，
由＝(1，－2,1)，＝(2,0,0)，
所以
∴取y2＝1，得平面BCF的一個(gè)法向量n2＝(0,1,2)，
設(shè)二面角C-BF-E的大小為α，
則cos α＝＝＝．

1．與空間角有關(guān)的翻折問(wèn)題的解法
要找準(zhǔn)翻折前后的圖形中的不變量及變化的量，再結(jié)合向量知識(shí)求解相關(guān)問(wèn)題．
2．關(guān)于空間角的探索問(wèn)題的處理思路
利用空間向量解決空間角中的探索問(wèn)題，通常不需要復(fù)雜的幾何作圖、論證、推理，只需先假設(shè)結(jié)論成立，設(shè)出空間的坐標(biāo)，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推斷，把是否存在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解的問(wèn)題來(lái)處理．


2．如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，AD＝2CB＝4，∠ABC＝120°，E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿BE，EC將△ABE和△ECD折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面ECD⊥平面BCE，連接AD，如圖2．
(1)若在平面BCE內(nèi)存在點(diǎn)G，使得GD∥平面ABE，請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)G的軌跡是什么圖形？并說(shuō)明理由．
(2)求平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值．

圖1　　　　　圖2
[解]　(1)點(diǎn)G的軌跡是直線MN．
理由如下：
如圖，分別取BC和CE的中點(diǎn)N和M，連接DM，MN，ND，

則MN∥BE，
又MN?平面BEA，BE?平面BEA，
∴MN∥平面BEA，
依題意有△ABE，△BCE，△ECD均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∴MD⊥CE，
又平面ECD⊥平面BCE，則MD∥平面BEA，
∴平面NMD∥平面BEA，∴點(diǎn)G的軌跡是直線MN．
(2)如圖，以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MB為x軸，MC為y軸，MD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則E(0，－1,0)，D(0,0，)，A，
∴＝，＝(0,1，)，
設(shè)平面AED的法向量n＝(x，y，z)，
則
取x＝，得n＝(，3，－)，
取平面BCE的一個(gè)法向量m＝(0,0,1)，
則cos〈n，m〉＝＝－，
∴平面AED與平面BCE所成銳二面角的余弦值為．


1．學(xué)會(huì)利用空間向量求二面角與定義法求二面角的方法．
2．利用向量法求二面角的基本思想是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系．首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量(有明顯的線面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系)表示出向量，然后運(yùn)用向量的運(yùn)算即可，其次要理清要求角與兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系．

1．三棱錐A-BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1·n2，若〈n1，n2〉＝，則二面角A-BD-C的大小為(　　)
A．　　　B．　　　C．或　　　D．或
C　[當(dāng)二面角A-BD-C為銳角時(shí)，它等于〈n1，n2〉＝．
當(dāng)二面角A-BD-C為鈍角時(shí)，它應(yīng)對(duì)等于π－〈n1，n2〉＝π－＝．]
2．已知△ABC和△BCD均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，且AD＝a，則二面角A-BC-D的大小為(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
C　[如圖取BC的中點(diǎn)為E，連接AE，DE，

由題意得AE⊥BC，DE⊥BC，
且AE＝DE＝a，又AD＝a，
∴∠AED＝60°，即二面角A-BC-D的大小為60°．]
3．如圖所示，在正四棱錐P-ABCD中，若△PAC的面積與正四棱錐的側(cè)面面積之和的比為∶8，則側(cè)面與底面所成的二面角為(　　)

A． B．
C． D．
D　[設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面與底面所成的二面角為θ，高為h，斜高為h′，則＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝．]
4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為________．
　[建系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E，∴＝(1,0,1)，＝．

設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝0，且n·＝0．即
令x＝1，得y＝－，z＝－1．
∴n＝，又平面ABCD的一個(gè)法向量為＝(0,0,1)．則cos〈n，〉＝＝．]
5．三棱錐P-ABC，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，求二面角P-AC-B的大小．
[解]　如圖在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，
∴P在底△ABC的射影D是△ABC的外心，
即斜邊AB的中點(diǎn)D是P在底△ABC的射影，
作DE⊥AC，交AC于點(diǎn)E，連接PE，
則∠PED是所求的二面角的平面角，
由題意得DE＝4，PE＝8，cos∠PED＝＝，
∴∠PED＝60°，∴二面角P-AC-B的大小為60°．

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