2021-2022學(xué)年福建省福州市閩侯縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的為(    )A.  B.  C.  D. 下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，下列算式計(jì)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 下列選項(xiàng)中，能判定四邊形是平行四邊形的是(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是(    )A.  B.  C.  D. 順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是(    )A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形小明用四根長(zhǎng)度相等的木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他把活動(dòng)學(xué)具做成圖所示的菱形，并測(cè)得，接著把活動(dòng)學(xué)具做成圖所示的正方形，并測(cè)得對(duì)角線，則圖中對(duì)角線的長(zhǎng)為(    )
A.  B.  C.  D. 如果，則(    )A.  B.  C.  D. 如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，若的面積為，則它的周長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 如圖，在?中，，，過(guò)點(diǎn)作邊的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)是垂足，連接，，交于點(diǎn)則下列結(jié)論：四邊形是正方形；；；，正確的命題為(    )A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共6小題，共24.0分）要使二次根式有意義，則的取值范圍是______．已知菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是和，則這個(gè)菱形的面積為______．自由落體的公式為為重力加速度，若物體的下落高度為，則下落時(shí)間是______精確到，如圖，以的三邊向外作正方形，依次得到的正方形的面積為，，，則這個(gè)三角形的面積是______．
 如圖，將一根長(zhǎng)為的吸管，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)吸管露在杯子外面的長(zhǎng)度是為，則的取值范圍是______ ．
 如圖，是邊長(zhǎng)為的正方形的對(duì)角線上一點(diǎn)，且，為上任意一點(diǎn)，午點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值是______．
   三、解答題（本大題共9小題，共86.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）計(jì)算：
計(jì)算：
 如圖，在中，，若，，求及的長(zhǎng)．
定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，都有，例如，求的值．已知，是的角平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)求證：四邊形是菱形．
如圖，在矩形中，，，過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)的直線分別交、于點(diǎn)、，連接，．
求證：四邊形是平行四邊形；
當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，求的長(zhǎng)．
如圖，在矩形中，，
在的延長(zhǎng)線上求作點(diǎn)，使；尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法
在的條件下，若，求的度數(shù)．
探究：如圖所示，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)作，，分別連接，已知，，設(shè)．
______，______用含的代數(shù)式表示；
探究點(diǎn)，，處于何種位置時(shí)，的值最小，并求出其最小值；
根據(jù)中的探究結(jié)果，請(qǐng)構(gòu)圖并求出代數(shù)式的最小值．要求畫出示意圖
如圖，已知在?中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．
如圖，是的中點(diǎn)，連接，若，，求的周長(zhǎng)；用含，的式子表示
如圖，若，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
如圖，在正方形中，為對(duì)角線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接．

求證：四邊形是平行四邊形：
如圖，點(diǎn)在線段上，連接，，若：
求的大??；
求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
B、不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
C、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意．
故選：．
根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式逐一判斷即可得．
此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、，不能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、，能構(gòu)成直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：．
先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，看看是否相等即可．
此題主要考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．
 3.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
利用二次根式的加減法的法則，二次根式的乘除法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 4.【答案】 【解析】解：能判定四邊形是平行四邊形的是，，理由如下：
，，
四邊形是平行四邊形，
故選：．
由平行四邊形的判定定理進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：，
的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，
，
故選：．
根據(jù)的取值范圍進(jìn)行估計(jì)解答即可．
此題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，正確得出的取值范圍是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：連接、，
在中，
，
，
同理，，，
又在矩形中，，
，
四邊形為菱形．
故選：．
因?yàn)轭}中給出的條件是中點(diǎn)，所以可利用三角形中位線性質(zhì)，以及矩形對(duì)角線相等去證明四條邊都相等，從而說(shuō)明是一個(gè)菱形．
本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：定義，四邊相等，對(duì)角線互相垂直平分．
 7.【答案】 【解析】解：如圖，中．

在圖中，四邊形是正方形，
，，
，
，
在圖中，，，
是等邊三角形，
，
故選：．
如圖，中，連接在圖中，理由勾股定理求出，在圖中，只要證明是等邊三角形即可解決問(wèn)題．
本題考查菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
故選：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出，再求出不等式的解集即可．
本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)和解一元一次不等式，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，當(dāng)時(shí)，．
 9.【答案】 【解析】解：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
的面積為，
，
，


，
或舍去，
的周長(zhǎng)，
故選：．
根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，從而利用勾股定理可得，然后根據(jù)的面積為，可得，最后再利用完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的面積，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：，，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
≌，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是正方形，
故正確；
，
，
，，
，
，
故錯(cuò)誤；
，
是的中位線，
，
故正確；
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是正方形，
，，
，
故正確；
正確的結(jié)論有．
故選：．
先證明≌，得，再得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而由，得四邊形是正方形，便可判斷正誤；
根據(jù)，進(jìn)行推理說(shuō)明便可；
根據(jù)，得出是的中位線，然后利用等底等高的三角形面積相等即可解決問(wèn)題；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，即可解決問(wèn)題．
本題考查了定理與命題，平行四邊形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：二次根式有意義，故，
則的取值范圍是：．
故答案為：．
直接利用二次根式有意義的條件得出答案．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的定義是解題關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是和，
這個(gè)菱形的面積為
故答案為
因?yàn)榱庑蔚拿娣e為兩條對(duì)角線積的一半，所以這個(gè)菱形的面積為．
此題考查了菱形面積的求解方法：底乘以高，對(duì)角線積的一半．
 13.【答案】 【解析】解：把物體下落的高度為代入，
可得，
解得：，
因?yàn)橄侣涞臅r(shí)間是正數(shù)，
所以下落的時(shí)間是．
故答案為：．
把物體下落的高度為代入公式計(jì)算即可．
此題考查算術(shù)平方根，關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題分析．
 14.【答案】 【解析】解：由題可得，，
，
是直角三角形，且，
又，，
的面積．
故答案為：．
根據(jù)正方形面積為，，，可得這個(gè)三角形邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，依據(jù)勾股定理的逆定理可得這個(gè)三角形形狀，進(jìn)而得出其面積．
本題主要考查了勾股定理的逆定理：已知的三邊滿足，則是直角三角形．
 15.【答案】 【解析】解：如圖，當(dāng)筷子、底面直徑、杯子的高恰好構(gòu)成直角三角形時(shí)，最短，
此時(shí)，故；
當(dāng)筷子豎直插入水杯時(shí)，最大，此時(shí)．
故答案為：．
根據(jù)勾股定理求出的最短距離，進(jìn)而可得出結(jié)論．
本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，連接，

四邊形是正方形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
過(guò)點(diǎn)作于，連接，先求出，由，可得，則的值可求．
本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法得出線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：

；



． 【解析】先進(jìn)行化簡(jiǎn)，再算加減即可；
利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算較簡(jiǎn)便．
本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 18.【答案】解：在中，，，，
．
，
．
．
． 【解析】根據(jù)勾股定理以及三角形的面積公式解決此題．
本題主要考查勾股定理、三角形面積，熟練掌握勾股定理以及三角形面積公式是解決本題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：



． 【解析】直接利用已知運(yùn)算公式將原式變形，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確運(yùn)用運(yùn)算公式將原式變形是解題關(guān)鍵．
 20.【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形，，
是的角平分線，，
，
，
四邊形為菱形． 【解析】先根據(jù)題中已知條件判定四邊形是平行四邊形，然后再推出一組鄰邊相等．
本題考查菱形的判定和平行四邊形的性質(zhì)．運(yùn)用了菱形的判定方法“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”．
 21.【答案】證明：四邊形是矩形，是的中點(diǎn)，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
四邊形是平行四邊形；
解：當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，
設(shè)，則，．
在中，，
，
解得，
即． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，判定≌，得出四邊形的對(duì)角線互相平分，進(jìn)而得出結(jié)論；
在中，由勾股定理得出方程，解方程求出．
本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：如圖，點(diǎn)即為所求．

四邊形是矩形，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
．
． 【解析】連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；
證明是等邊三角形，可得結(jié)論．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
 23.【答案】  【解析】解：，；
故答案為：，；

當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最小，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)則四邊形是矩形，

，，
，
，
的最小值為．

如圖，令，，，設(shè)，則．

，
、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最小，
的長(zhǎng)即為的最小值，
過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
于，于，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，，，，
，
的最小值為．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最?。?/span>
根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；
如圖，令，，，設(shè)，則過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再證明四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可出代數(shù)式的最小值．
本題考查了最短路線問(wèn)題，綜合利用了勾股定理，及用數(shù)形結(jié)合的方法求代數(shù)式的值的方法，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：在?中，，，
，，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
的周長(zhǎng)；
如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，截取，
，

四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中，
，
≌，

，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；
過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，截取，可得，利用平行四邊形的性質(zhì)得到≌，可得，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：四邊形是正方形，
，，，
，
，
四邊形是平行四邊形；
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，取的中點(diǎn)，連接，

，，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
，，，
，
，
，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
是等邊三角形，
，
；
如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

，，
，
設(shè)，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
． 【解析】由正方形的性質(zhì)可得，，由平行四邊形的判定可得結(jié)論；
先證四邊形是矩形，可得，通過(guò)證明是等邊三角形，可得，即可求解；
設(shè)，由等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出，的長(zhǎng)，即可求解．
本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
 

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