山東省菏澤市三年（2020-2022）中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題

這是一份山東省菏澤市三年（2020-2022）中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題，共45頁。試卷主要包含了﹣1，2020，先化簡，再求值，解應用題，兩點等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?山東省菏澤市三年（2020-2022）中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題
一．實數(shù)的運算（共3小題）
1．（2022?菏澤）計算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2022﹣π）0．
2．（2021?菏澤）計算：（2021﹣π）0﹣|3﹣|+4cos30°﹣（）﹣1．
3．（2020?菏澤）計算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2020?（）2020．
二．分式的化簡求值（共2小題）
4．（2021?菏澤）先化簡，再求值：1+÷，其中m，n滿足＝﹣．
5．（2020?菏澤）先化簡，再求值：，其中a滿足a2+2a﹣3＝0．
三．一元二次方程的應用（共1小題）
6．（2021?菏澤）列方程（組）解應用題
端午節(jié)期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：
小王：該水果的進價是每千克22元；
小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．
根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？
四．分式方程的應用（共1小題）
7．（2022?菏澤）某健身器材店計劃購買一批籃球和排球，已知每個籃球進價是每個排球進價的1.5倍，若用3600元購進籃球的數(shù)量比用3200元購進排球的數(shù)量少10個．
（1）籃球、排球的進價分別為每個多少元？
（2）該健身器材店決定用不多于28000元購進籃球和排球共300個進行銷售，最多可以購買多少個籃球？
五．解一元一次不等式組（共1小題）
8．（2022?菏澤）解不等式組，并將其解集在數(shù)軸上表示出來．

六．一元一次不等式組的應用（共1小題）
9．（2020?菏澤）今年史上最長的寒假結束后，學生復學，某學校為了增強學生體質，鼓勵學生在不聚集的情況下加強體育鍛煉，決定讓各班購買跳繩和毽子作為活動器材．已知購買2根跳繩和5個毽子共需32元；購買4根跳繩和3個毽子共需36元．
（1）求購買一根跳繩和一個毽子分別需要多少元？
（2）某班需要購買跳繩和毽子的總數(shù)量是54，且購買的總費用不能超過260元；若要求購買跳繩的數(shù)量多于20根，通過計算說明共有哪幾種購買跳繩的方案．
七．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共3小題）
10．（2022?菏澤）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象都經(jīng)過A（2，﹣4）、B（﹣4，m）兩點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；
（2）過O、A兩點的直線與反比例函數(shù)圖象交于另一點C，連接BC，求△ABC的面積．

11．（2021?菏澤）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標軸上，且OA＝2，OC＝4，連接OB．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點E、F．一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象經(jīng)過E、F兩點．
（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標為 　 　．

12．（2020?菏澤）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2），B（n，﹣1）兩點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）直線AB交x軸于點C，點P是x軸上的點，若△ACP的面積是4，求點P的坐標．

八．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
13．（2022?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達式；
（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應點為D，直接寫出點D的坐標，并求出四邊形OADC的面積；
（3）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．


14．（2021?菏澤）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，交y軸于點C．

（1）求該拋物線的表達式；
（2）點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接PB，過點C作CQ∥BP交x軸于點Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4向右平移經(jīng)過點（，0）時，得到新拋物線y＝a1x2+b1x+c1，點E在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在一點F，使得以A、P、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
參考：若點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則線段P1P2的中點P0的坐標為（，）．
15．（2020?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，OA＝2，OB＝4，直線l是拋物線的對稱軸，在直線l右側的拋物線上有一動點D，連接AD，BD，BC，CD．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點D在x軸的下方，當△BCD的面積是時，求△ABD的面積；
（3）在（2）的條件下，點M是x軸上一點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點，以BD為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

九．全等三角形的判定與性質（共1小題）
16．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點E在AC的延長線上，ED⊥AB于點D，若BC＝ED，求證：CE＝DB．

一十．三角形綜合題（共1小題）
17．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE＝DC，連接BE、CE．
（1）直接寫出CE與AB的位置關系；
（2）如圖2，將△BED繞點D旋轉，得到△B′E′D（點B′、E′分別與點B、E對應），連接CE′、AB′，在△BED旋轉的過程中CE′與AB′的位置關系與（1）中的CE與AB的位置關系是否一致？請說明理由；
（3）如圖3，當△BED繞點D順時針旋轉30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長．


一十一．菱形的性質（共1小題）
18．（2021?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求證：BM＝BN．

一十二．四邊形綜合題（共1小題）
19．（2021?菏澤）在矩形ABCD中，BC＝CD，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．
（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；
（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；
（3）當AB＝5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．

一十三．切線的性質（共1小題）
20．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．

一十四．切線的判定與性質（共2小題）
21．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作DG⊥BC于點G，交BA的延長線于點H．
（1）求證：直線HG是⊙O的切線；
（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．

22．（2021?菏澤）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，E為上一點，F(xiàn)為弦DC延長線上一點，連接FE并延長交直徑AB的延長線于點G，連接AE交CD于點P，若FE＝FP．
（1）求證：FE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為8，sinF＝，求BG的長．

一十五．相似三角形的判定（共1小題）
23．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．

一十六．相似形綜合題（共1小題）
24．（2020?菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）過點A作AE∥DC交BD于點E，求證：AE＝BE；
（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求證：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求證：CD2＝2OD?BD．

一十七．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共1小題）
25．（2022?菏澤）菏澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

一十八．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）
26．（2020?菏澤）某興趣小組為了測量大樓CD的高度，先沿著斜坡AB走了52米到達坡頂點B處，然后在點B處測得大樓頂點C的仰角為53°，已知斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，點A到大樓的距離AD為72米，求大樓的高度CD．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

一十九．解直角三角形的應用-方向角問題（共1小題）
27．（2021?菏澤）某天，北海艦隊在中國南海例行訓練，位于A處的濟南艦突然發(fā)現(xiàn)北偏西30°方向上的C處有一可疑艦艇，濟南艦馬上通知位于正東方向200海里B處的西安艦，西安艦測得C處位于其北偏西60°方向上，請問此時兩艦距C處的距離分別是多少？

二十．頻數(shù)（率）分布直方圖（共1小題）
28．（2020?菏澤）某中學全校學生參加了“交通法規(guī)”知識競賽，為了解全校學生競賽成績的情況，隨機抽取了一部分學生的成績，分成四組：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并繪制出如圖不完整的統(tǒng)計圖．

（1）求被抽取的學生成績在C：80≤x＜90組的有多少人？
（2）所抽取學生成績的中位數(shù)落在哪個組內(nèi)？
（3）若該學校有1500名學生，估計這次競賽成績在A：60≤x＜70組的學生有多少人？
二十一．列表法與樹狀圖法（共2小題）
29．（2022?菏澤）為提高學生的綜合素養(yǎng)，某校開設了四個興趣小組，A“健美操”、B“跳繩”、C“剪紙”、D“書法”．為了了解學生對每個興趣小組的喜愛情況，隨機抽取了部分同學進行調查，并將調查結果繪制出下面不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中的信息解答下列問題：

（1）本次共調查了 　 　名學生；并將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）C組所對應的扇形圓心角為 　 　度；
（3）若該校共有學生1400人，則估計該校喜歡跳繩的學生人數(shù)約是 　 　；
（4）現(xiàn)選出了4名跳繩成績最好的學生，其中有1名男生和3名女生．要從這4名學生中任意抽取2名學生去參加比賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．
30．（2021?菏澤）2021年5月，菏澤市某中學對初二學生進行了國家義務教育質量檢測，隨機抽取了部分參加15米折返跑學生的成績，學生成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）合格等級所占百分比為 　 　%；不合格等級所對應的扇形圓心角為 　 　度；
（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學生A、B、C…中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到A、B兩位同學的概率．

山東省菏澤市三年（2020-2022）中考數(shù)學真題分類匯編-03解答題
參考答案與試題解析
一．實數(shù)的運算（共3小題）
1．（2022?菏澤）計算：（）﹣1+4cos45°﹣+（2022﹣π）0．
【解答】解：原式＝2+4×﹣2+1
＝2+2﹣2+1
＝3．
2．（2021?菏澤）計算：（2021﹣π）0﹣|3﹣|+4cos30°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝1﹣（2﹣3）+4×﹣4
＝1﹣2+3+2﹣4
＝0．
3．（2020?菏澤）計算：2﹣1+|﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）2020?（）2020．
【解答】解：原式＝+3﹣+2×﹣（﹣2×）2020
＝+3﹣+﹣1
＝2．
二．分式的化簡求值（共2小題）
4．（2021?菏澤）先化簡，再求值：1+÷，其中m，n滿足＝﹣．
【解答】解：原式＝1+?
＝1﹣
＝﹣
＝，
∵＝﹣，
∴m＝﹣n，
則原式＝＝＝﹣6．
5．（2020?菏澤）先化簡，再求值：，其中a滿足a2+2a﹣3＝0．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝?
＝2a（a+2）
＝2（a2+2a），
∵a滿足a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
當a2+2a＝3時，原式＝2×3＝6．
三．一元二次方程的應用（共1小題）
6．（2021?菏澤）列方程（組）解應用題
端午節(jié)期間，某水果超市調查某種水果的銷售情況，下面是調查員的對話：
小王：該水果的進價是每千克22元；
小李：當銷售價為每千克38元時，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的銷售量將增加120千克．
根據(jù)他們的對話，解決下面所給問題：超市每天要獲得銷售利潤3640元，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的銷售價為每千克多少元？
【解答】解：設每千克降低x元，超市每天可獲得銷售利潤3640元，由題意得，
（38﹣x﹣22）（160+×120）＝3640，
整理得x2﹣12x+27＝0，
∴x＝3或x＝9．
∵要盡可能讓顧客得到實惠，
∴x＝9，
∴售價為38﹣9＝29元/千克．
答：水果的銷售價為每千克29元時，超市每天可獲得銷售利潤3640元．
四．分式方程的應用（共1小題）
7．（2022?菏澤）某健身器材店計劃購買一批籃球和排球，已知每個籃球進價是每個排球進價的1.5倍，若用3600元購進籃球的數(shù)量比用3200元購進排球的數(shù)量少10個．
（1）籃球、排球的進價分別為每個多少元？
（2）該健身器材店決定用不多于28000元購進籃球和排球共300個進行銷售，最多可以購買多少個籃球？
【解答】解：（1）設排球的進價為每個x元，則籃球的進價為每個1.5x元，
依題意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
經(jīng)檢驗，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：籃球的進價為每個120元，排球的進價為每個80元；
（2）設購買m個籃球，則購買排球（300﹣m）個排球，
依題意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤10，
答：最多可以購買10個籃球．
五．解一元一次不等式組（共1小題）
8．（2022?菏澤）解不等式組，并將其解集在數(shù)軸上表示出來．

【解答】解：由①得：x≤1，
由②得：x＜6，
∴不等式組的解集為x≤1，
解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：
．
六．一元一次不等式組的應用（共1小題）
9．（2020?菏澤）今年史上最長的寒假結束后，學生復學，某學校為了增強學生體質，鼓勵學生在不聚集的情況下加強體育鍛煉，決定讓各班購買跳繩和毽子作為活動器材．已知購買2根跳繩和5個毽子共需32元；購買4根跳繩和3個毽子共需36元．
（1）求購買一根跳繩和一個毽子分別需要多少元？
（2）某班需要購買跳繩和毽子的總數(shù)量是54，且購買的總費用不能超過260元；若要求購買跳繩的數(shù)量多于20根，通過計算說明共有哪幾種購買跳繩的方案．
【解答】解：（1）設購買一根跳繩需要x元，購買一個毽子需要y元，
依題意，得：，
解得：．
答：購買一根跳繩需要6元，購買一個毽子需要4元．
（2）設購買m根跳繩，則購買（54﹣m）個毽子，
依題意，得：，
解得：20＜m≤22．
又∵m為正整數(shù)，
∴m可以為21，22．
∴共有2種購買方案，方案1：購買21根跳繩，33個毽子；方案2：購買22根跳繩，32個毽子．
七．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共3小題）
10．（2022?菏澤）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝ax+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象都經(jīng)過A（2，﹣4）、B（﹣4，m）兩點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；
（2）過O、A兩點的直線與反比例函數(shù)圖象交于另一點C，連接BC，求△ABC的面積．

【解答】解：（1）將A（2，﹣4），B（﹣4，m）兩點代入y＝中，得k＝2×（﹣4）＝﹣4m，
解得，k＝﹣8，m＝2，
∴反比例函數(shù)的表達式為y＝﹣；
將A（2，﹣4）和B（﹣4，2）代入y＝ax+b中得，
解得，
∴一次函數(shù)的表達式為：y＝﹣x﹣2；
（2）如圖，設AB與x軸交于點D，連接CD，
由題意可知，點A與點C關于原點對稱，
∴C（﹣2，4）．
在y＝﹣x﹣2中，當x＝﹣2時，y＝0，
∴D（﹣2，0），
∴CD垂直x軸于點D，

∴S△ABC＝S△ADC+S△BCD＝×4×（2+2）+×4×（4﹣2）＝8+4＝12．
11．（2021?菏澤）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的兩邊OC、OA分別在坐標軸上，且OA＝2，OC＝4，連接OB．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，并與AB、BC分別交于點E、F．一次函數(shù)y＝k2x+b的圖象經(jīng)過E、F兩點．
（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，點P的坐標為 ?。ǎ?）?。?br />
【解答】解：（1）∵四邊形OABC為矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中點坐標公式可得點D坐標為（2，1），
∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過線段OB的中點D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函數(shù)表達式為y＝．
令y＝2，則x＝1；令x＝4，則y＝．
故點E坐標為（1，2），F(xiàn)（4，）．
設直線EF的解析式為y＝k2x+b，代入E、F坐標得：
，解得：．
故一次函數(shù)的解析式為y＝．
（2）作點E關于x軸的對稱點E'，連接E'F交x軸于點P，則此時PE+PF最?。鐖D．
由E坐標可得對稱點E'（1，﹣2），
設直線E'F的解析式為y＝mx+n，代入點E'、F坐標，得：
，解得：．
則直線E'F的解析式為y＝，
令y＝0，則x＝．
∴點P坐標為（，0）．
故答案為：（，0）．

12．（2020?菏澤）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（1，2），B（n，﹣1）兩點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；
（2）直線AB交x軸于點C，點P是x軸上的點，若△ACP的面積是4，求點P的坐標．

【解答】解：（1）將點A（1，2）代入y＝，得：m＝2，
∴y＝，
當y＝﹣1時，x＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
將A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，
得：，
解得，
∴y＝x+1；
∴一次函數(shù)解析式為y＝x+1，反比例函數(shù)解析式為y＝；

（2）在y＝x+1中，當y＝0時，x+1＝0，
解得x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
設P（m，0），
則PC＝|﹣1﹣m|，
∵S△ACP＝?PC?yA＝4，
∴×|﹣1﹣m|×2＝4，
解得m＝3或m＝﹣5，
∴點P的坐標為（3，0）或（﹣5，0）．
八．二次函數(shù)綜合題（共3小題）
13．（2022?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達式；
（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應點為D，直接寫出點D的坐標，并求出四邊形OADC的面積；
（3）點P是拋物線上的一動點，當∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標．


【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），
∴，
解得：．
∴拋物線的表達式為y＝﹣+x+4；
（2）點D的坐標為（﹣8，8），理由：
將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應點為D，如圖，

過點D作DE⊥x軸于點E，
∵A（﹣2，0）、B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4．
∵，，
∴．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO．
∵∠CBO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∵將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應點為D，
∴點D，C，B三點在一條直線上．
由軸對稱的性質得：BC＝CD，AB＝AD．
∵OC⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥OC，
∴OC為△BDE的中位線，
∴OE＝OB＝8，DE＝2OC＝8，
∴D（﹣8，8）；
由題意得：S△ACD＝S△ABC，
∴四邊形OADC的面積＝S△OAC+S△ADC
＝S△OAC+S△ABC
＝OC?OA+AB?OC
＝4×2+10×4
＝4+20
＝24；
（3）①當點P在BC上方時，如圖，

∵∠PCB＝∠ABC，
∴PC∥AB，
∴點C，P的縱坐標相等，
∴點P的縱坐標為4，
令y＝4，則﹣+x+4＝4，
解得：x＝0或x＝6，
∴P（6，4）；
②當點P在BC下方時，如圖，

設PC交x軸于點H，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴HC＝HB．
設HB＝HC＝m，
∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，
在Rt△COH中，
∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，
解得：m＝5，
∴OH＝3，
∴H（3，0）．
設直線PC的解析式為y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴y＝﹣x+4．
∴，
解得：，．
∴P（，﹣）．
綜上，點P的坐標為（6，4）或（，﹣）．
14．（2021?菏澤）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4交x軸于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點，交y軸于點C．

（1）求該拋物線的表達式；
（2）點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，連接PB，過點C作CQ∥BP交x軸于點Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4向右平移經(jīng)過點（，0）時，得到新拋物線y＝a1x2+b1x+c1，點E在新拋物線的對稱軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在一點F，使得以A、P、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
參考：若點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則線段P1P2的中點P0的坐標為（，）．
【解答】解：（1）由題意得：，解得，
故拋物線的表達式為y＝x2﹣3x﹣4；

（2）由拋物線的表達式知，點C（0，﹣4），
設點P的坐標為（m，m2﹣3m﹣4），
設直線PB的表達式為y＝kx+t，
則，解得，
∵CQ∥BP，
故設直線CQ的表達式為y＝（m+1）x+p，
該直線過點C（0，﹣4），即p＝﹣4，
故直線CQ的表達式為y＝（m+1）x﹣4，
令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即點Q的坐標為（，0），
則BQ＝4﹣＝，
設△PBQ面積為S，
則S＝×BQ×（﹣yP）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，
∵﹣2＜0，故S有最大值，
當m＝2時，△PBQ面積為8，
此時點P的坐標為（2，﹣6）；

（3）存在，理由：
將拋物線y＝ax2+bx﹣4向右平移經(jīng)過點（，0）時，即點A過該點，即拋物線向右平移了+1＝個單位，
則函數(shù)的對稱軸也平移了個單位，即平移后的拋物線的對稱軸為直線x＝+＝3，故設點E的坐標為（3，m），
設點F（s，t），
①當AP是邊時，
則點A向右平移3個單位向下平移6個單位得到點P，
同樣點F（E）向右平移3個單位向下平移6個單位得到點E（F）且AE＝PF（AF＝PE），
則或，
解得或，
故點F的坐標為（0，）或（6，﹣4）；
②當AP是對角線時，
由中點坐標公式和AP＝EF得：，
解得或，
故點F的坐標為（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；
綜上，點F的坐標為（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．
15．（2020?菏澤）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣6與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，OA＝2，OB＝4，直線l是拋物線的對稱軸，在直線l右側的拋物線上有一動點D，連接AD，BD，BC，CD．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點D在x軸的下方，當△BCD的面積是時，求△ABD的面積；
（3）在（2）的條件下，點M是x軸上一點，點N是拋物線上一動點，是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點，以BD為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣6中得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣6；

（2）如圖1，過D作DG⊥x軸于G，交BC于H，

當x＝0時，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
設BC的解析式為：y＝kx+n，
則，解得：，
∴BC的解析式為：y＝x﹣6，
設D（x，x2﹣x﹣6），則H（x，x﹣6），
∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣，
∵△BCD的面積是，
∴，
∴，
解得：x＝1或3，
∵點D在直線l右側的拋物線上，
∴D（3，﹣），
∴△ABD的面積＝＝＝；

（3）分兩種情況：
①如圖2，N在x軸的上方時，四邊形MNBD是平行四邊形，

∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x軸上，
∴N的縱坐標為，
當y＝時，即x2﹣x﹣6＝，
解得：x＝1+或1﹣，
∴N（1﹣，）或（1+，）；
②如圖3，點N在x軸的下方時，四邊形BDNM是平行四邊形，此時M與O重合，

∴N（﹣1，﹣）；
綜上，點N的坐標為：（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．
九．全等三角形的判定與性質（共1小題）
16．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點E在AC的延長線上，ED⊥AB于點D，若BC＝ED，求證：CE＝DB．

【解答】證明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴AE＝AB，AC＝AD，
∴CE＝BD．
一十．三角形綜合題（共1小題）
17．（2022?菏澤）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于點D，在DA上取點E，使DE＝DC，連接BE、CE．
（1）直接寫出CE與AB的位置關系；
（2）如圖2，將△BED繞點D旋轉，得到△B′E′D（點B′、E′分別與點B、E對應），連接CE′、AB′，在△BED旋轉的過程中CE′與AB′的位置關系與（1）中的CE與AB的位置關系是否一致？請說明理由；
（3）如圖3，當△BED繞點D順時針旋轉30°時，射線CE′與AD、AB′分別交于點G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的長．


【解答】解：（1）如圖1，延長CE交AB于H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，
∵DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，
∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）在△BED旋轉的過程中CE′與AB′的位置關系與（1）中的CE與AB的位置關系是一致，
理由如下：如圖2，延長CE'交AB'于H，

由旋轉可得：CD＝DE'，B'D＝AD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴∠CDE'＝∠ADB'，
又∵＝1，
∴△ADB'∽△CDE'，
∴∠DAB'＝∠DCE'，
∵∠DCE'+∠DGC＝90°，
∴∠DAB'+∠AGH＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴CE'⊥AB'；
（3）如圖3，過點D作DH⊥AB'于點H，

∵△BED繞點D順時針旋轉30°，
∴∠BDB'＝30°，BD'＝BD＝AD，
∴∠ADB'＝120°，∠DAB'＝∠AB'D＝30°，
∵DH⊥AB'，AD＝B'D，
∴AD＝2DH，AH＝DH＝B'H，
∴AB'＝AD，
由（2）可知：△ADB'∽△CDE'，
∴∠DCE'＝∠DAB'＝30°，
∵AD⊥BC，CD＝，
∴DG＝1，CG＝2DG＝2，
∴CG＝FG＝2，
∵∠DAB'＝30°，DH⊥AB'，
∴AG＝2GF＝4，
∴AD＝4+1＝5，
∴AB'＝AD＝5．
一十一．菱形的性質（共1小題）
18．（2021?菏澤）如圖，在菱形ABCD中，點M、N分別在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求證：BM＝BN．

【解答】證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C．
在△AMD和△CND中，
，
∴△AMD≌△CND（ASA）．
∴AM＝CN，
∴AB﹣AM＝BC﹣CN，
即BM＝BN．
一十二．四邊形綜合題（共1小題）
19．（2021?菏澤）在矩形ABCD中，BC＝CD，點E、F分別是邊AD、BC上的動點，且AE＝CF，連接EF，將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G處，點D落在點H處．
（1）如圖1，當EH與線段BC交于點P時，求證：PE＝PF；
（2）如圖2，當點P在線段CB的延長線上時，GH交AB于點M，求證：點M在線段EF的垂直平分線上；
（3）當AB＝5時，在點E由點A移動到AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長．

【解答】（1）證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折變換可知，∠DEF＝∠PEF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴PE＝PF．

（2）證明：如圖2中，連接AC交EF于O，連接PM，PO．

∵AE∥CF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF，
∵PE＝PF，
∴PO平分∠EPF，
∵AD＝BC，AE＝FC，
∴ED＝BF，
由折疊的性質可知ED＝EH，所以BF＝EH，
∴PE﹣EH＝PF﹣BF，
∴PB＝PH，
∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，
∴Rt△PMH≌Rt△PMB（HL），
∴PM平分∠EPF，
∴P．M，O共線，
∵PO⊥EF，OE＝OF，
∴點M在線段EF的垂直平分線上．

（3）如圖3中，由題意，點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC．

在Rt△BCD中，tan∠CBD＝＝，
∴∠CBD＝30°，
∴∠ABO＝∠OAB＝60°，
∴△AOB是等邊三角形，
∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，
∴點G運動的路徑的長＝＝π．
故答案為：π．
一十三．切線的性質（共1小題）
20．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點D，過點D作⊙O的切線交AC于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為5，BC＝16，求DE的長．

【解答】（1）證明：方法一：連接AD、OD．

∵AB是圓O的直徑，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ADO+∠ODB＝90°．
∵DE是圓O的切線，
∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．
∴∠EDA＝∠ODB．
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∴∠EDA＝∠OBD．
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°．
∴∠DEA＝90°．
∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圓O的切線，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴BD＝CD，
∵⊙O的半徑為5，BC＝16，
∴AC＝10，CD＝8，
∴AD＝＝6，
∵S△ADC＝AC?DE，
∴DE＝＝＝．
一十四．切線的判定與性質（共2小題）
21．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作DG⊥BC于點G，交BA的延長線于點H．
（1）求證：直線HG是⊙O的切線；
（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．

【解答】（1）證明：連接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半徑，
∴直線HG是⊙O的切線；
（2）解：設⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，
∴∠HOD＝∠B，
∴cos∠HOD＝，即＝＝，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，
∵cosB＝，
∴＝，即＝，
解得：BG＝，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．

22．（2021?菏澤）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，E為上一點，F(xiàn)為弦DC延長線上一點，連接FE并延長交直徑AB的延長線于點G，連接AE交CD于點P，若FE＝FP．
（1）求證：FE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為8，sinF＝，求BG的長．

【解答】解：（1）如圖，連接OE，

∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是⊙O的切線；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝＝，
設EG＝3x，OG＝5x，
∴OE＝＝＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．
一十五．相似三角形的判定（共1小題）
23．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．

【解答】證明：∵BE＝BC，
∴∠C＝∠CEB，
∵∠CEB＝∠AED，
∴∠C＝∠AED，
∵AD⊥BE，
∴∠D＝∠ABC＝90°，
∴△ADE∽△ABC．
一十六．相似形綜合題（共1小題）
24．（2020?菏澤）如圖1，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC，OB＝OD+CD．
（1）過點A作AE∥DC交BD于點E，求證：AE＝BE；
（2）如圖2，將△ABD沿AB翻折得到△ABD'．
①求證：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求證：CD2＝2OD?BD．

【解答】（1）證明：∵AE∥DC，
∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，
又∵OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），
∴CD＝AE，OD＝OE，
∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，
∴BE＝CD，
∴AE＝BE；
（2）①證明：如圖1，過點A作AE∥DC交BD于點E，

由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵將△ABD沿AB翻折得到△ABD'，
∴∠ABD'＝∠ABD，
∴∠ABD'＝∠BAE，
∴BD'∥AE，
又∵AE∥CD
∴BD'∥CD．
②證明：如圖2，過點A作AE∥DC交BD于點E，延長AE交BC于點F，

∵AD'∥BC，
∴∠D'AB＝∠ABC，
由翻折可知∠D'AB＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠DAB，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABD，
∴∠ABC﹣∠EAB＝∠DAB﹣∠ABD，
∴∠DBC＝∠DAE，
∵AE∥DC，
∴∠AED＝∠CDB，
∴△ADE∽△BCD，
∴，
由①知AE＝CD，OD＝EO，
∴DE＝2OD，
∴CD2＝2OD?BD．
一十七．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共1小題）
25．（2022?菏澤）菏澤某超市計劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點B延伸至點D，求BD的長．（結果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）

【解答】解：由題意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB?sin37°＝4.8（米），
BC＝AB?cos37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD＝≈8.304（米），
則BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改動后電梯水平寬度增加部分BD的長為1.9米．
一十八．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共1小題）
26．（2020?菏澤）某興趣小組為了測量大樓CD的高度，先沿著斜坡AB走了52米到達坡頂點B處，然后在點B處測得大樓頂點C的仰角為53°，已知斜坡AB的坡度為i＝1：2.4，點A到大樓的距離AD為72米，求大樓的高度CD．
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

【解答】解：如圖，過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，

∵CD⊥AD，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴FD＝BE，F(xiàn)B＝DE，
在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，
設BE＝5x，AE＝12x，
根據(jù)勾股定理，得
AB＝13x，
∴13x＝52，
解得x＝4，
∴BE＝FD＝5x＝20，
AE＝12x＝48，
∴DE＝FB＝AD﹣AE＝72﹣48＝24，
∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈24×≈32，
∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．
答：大樓的高度CD約為52米．
一十九．解直角三角形的應用-方向角問題（共1小題）
27．（2021?菏澤）某天，北海艦隊在中國南海例行訓練，位于A處的濟南艦突然發(fā)現(xiàn)北偏西30°方向上的C處有一可疑艦艇，濟南艦馬上通知位于正東方向200海里B處的西安艦，西安艦測得C處位于其北偏西60°方向上，請問此時兩艦距C處的距離分別是多少？

【解答】解：過點C作CD⊥BA的延長線于點D，如圖．
由題意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A處的濟南艦距C處的距離200海里，位于B處的西安艦距C處的距離200海里．

二十．頻數(shù)（率）分布直方圖（共1小題）
28．（2020?菏澤）某中學全校學生參加了“交通法規(guī)”知識競賽，為了解全校學生競賽成績的情況，隨機抽取了一部分學生的成績，分成四組：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并繪制出如圖不完整的統(tǒng)計圖．

（1）求被抽取的學生成績在C：80≤x＜90組的有多少人？
（2）所抽取學生成績的中位數(shù)落在哪個組內(nèi)？
（3）若該學校有1500名學生，估計這次競賽成績在A：60≤x＜70組的學生有多少人？
【解答】解：（1）本次抽取的學生有：12÷20%＝60（人），
C組學生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
即被抽取的學生成績在C：80≤x＜90組的有24人；
（2）所抽取學生成績的中位數(shù)落在C：80≤x＜90這一組內(nèi)；
（3）1500×＝150（人），
答：這次競賽成績在A：60≤x＜70組的學生有150人．
二十一．列表法與樹狀圖法（共2小題）
29．（2022?菏澤）為提高學生的綜合素養(yǎng)，某校開設了四個興趣小組，A“健美操”、B“跳繩”、C“剪紙”、D“書法”．為了了解學生對每個興趣小組的喜愛情況，隨機抽取了部分同學進行調查，并將調查結果繪制出下面不完整的統(tǒng)計圖，請結合圖中的信息解答下列問題：

（1）本次共調查了 　40　名學生；并將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）C組所對應的扇形圓心角為 　72　度；
（3）若該校共有學生1400人，則估計該校喜歡跳繩的學生人數(shù)約是 　560人　；
（4）現(xiàn)選出了4名跳繩成績最好的學生，其中有1名男生和3名女生．要從這4名學生中任意抽取2名學生去參加比賽，請用列表法或畫樹狀圖法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．
【解答】解：（1）本次調查的學生總人數(shù)為4÷10%＝40（名），C組人數(shù)為40﹣（4+16+12）＝8（名），
補全圖形如下：

故答案為：40；
（2）C組所對應的扇形圓心角為360°×＝72°，
故答案為：72；
（3）估計該校喜歡跳繩的學生人數(shù)約是1400×＝560（人），
故答案為：560人；
（4）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的結果有6種，
∴選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率為＝．
30．（2021?菏澤）2021年5月，菏澤市某中學對初二學生進行了國家義務教育質量檢測，隨機抽取了部分參加15米折返跑學生的成績，學生成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個等級，學校繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

（1）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）合格等級所占百分比為 　30　%；不合格等級所對應的扇形圓心角為 　36　度；
（3）從所抽取的優(yōu)秀等級的學生A、B、C…中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求出恰好抽到A、B兩位同學的概率．
【解答】解：（1）抽取的學生人數(shù)為：12÷40%＝30（人），
則優(yōu)秀的學生人數(shù)為：30﹣12﹣9﹣3＝6（人），
把條形統(tǒng)計圖補充完整如下：

（2）合格等級所占百分比為：9÷30×100%＝30%，
不合格等級所對應的扇形圓心角為：360°×＝36°，
故答案為：30，36；
（3）優(yōu)秀等級的學生有6人，為A、B、C、D、E、F，
畫樹狀圖如圖：

共有30種等可能的結果，恰好抽到A、B兩位同學的結果有2種，
∴恰好抽到A、B兩位同學的概率為＝．