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A. 甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù) B. 甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù)
C. 甲的競技狀態(tài)比乙的更穩(wěn)定 D. 乙的競技狀態(tài)比甲的更穩(wěn)定如圖所示，在正方體中，，分別為棱，的中點，其中正確的結論為( )A. 直線與是相交直線
B. 直線與是平行直線
C. 直線與是異面直線
D. 直線與所成的角為已知甲罐中在四個相同的小球，標號，，，；乙罐中有五個相同的小球，標號為，，，，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于”，事件“抽取的兩個小球標號之積大于”，則( )A. 事件發(fā)生的概率為
B. 事件發(fā)生的概率為
C. 事件發(fā)生的概率為
D. 從甲罐中抽到標號為的小球的概率為定義平面向量的一種運算“”如下：對任意的兩個向量，，令，下面說法一定正確的是( )A. 對任意的，有
B. 存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立
C. 若與垂直，則與共線
D. 若與共線，則與的模相等第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共12.0分）已知向量，的夾角為，，，則______．已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，且是實數(shù)，則實數(shù)等于______ ．在中，角，，的對邊分別是，，，，，的面積為，則中最大角的正切值是______．在梯形中，，，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為 ，此時該三棱錐的外接球的表面積為 ． 四、解答題（本大題共6小題，共52.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）已知的三個內角，，所對的邊分別為，，，．
求；
設，，求．某校高二年級一個班有名學生，將期中考試的數(shù)學成績均為整數(shù)分成六段：、、、、、，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
求的值；
用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，已知甲同學的成績在，乙同學的成績在，求甲乙至少一人被抽到的概率．
如圖，在三棱柱中，側棱底面，，為的中點．，．
求證：平面；
求三棱柱的表面積．
已知，，與的夾角為，函數(shù)．
求函數(shù)最小正周期；
若銳角中，角，，的對邊分別為，，，且，求的取值范圍．已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時，點為線段的中點．
求證：平面；
若為的中點，求與平面所成角的正弦值；
在的條件下，求二面角的平面角的余弦值．
定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．已知函數(shù)；．
當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
若，函數(shù)在上的上界是，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：復數(shù)其中為虛數(shù)單位，則．
故選：．
利用復數(shù)模的計算公式求解．
本題考查復數(shù)代數(shù)形式的加減運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎題．
2.【答案】 【解析】解：全集，，
．
故選：．
利用補集定義能求出A.
本題考查集合的運算，考查補集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
3.【答案】 【解析】解：設女生總人數(shù)為人，由分層抽樣的方法可得：抽取女生人數(shù)為人，
則，解得．
故選：．
由分層抽樣方法列方程求解即可．
本題主要考查了分層抽樣方法中的比例關系，屬于基礎題．
4.【答案】 【解析】解：垂直于同一直線的兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，、不正確；
平行于同一平面的兩條直線的位置關系有：平行、相交和異面，不正確；
根據(jù)線面垂直的性質可知：D正確；
故選：．
根據(jù)空間中線、面的位置關系理解判斷、、，根據(jù)線面垂直的性質判斷．
本題考查線面平行或垂直的判斷方法，屬于基礎題．
5.【答案】 【解析】解：有位男生和位女生在周日去參加社區(qū)志愿活動，從該位同學中任取人，
基本事件總數(shù)，
至少有名女生包含的基本事件個數(shù)．
至少有名女生的概率為．
故選：．
基本事件總數(shù)，至少有名女生包含的基本事件個數(shù)由此能求出至少有名女生的概率．
本題考查概率的求法，涉及到古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力、應用意識等核心素養(yǎng)，是基礎題．
6.【答案】 【解析】解：由題意可得：，，，，
，
故選：．
利用向量共線定理、三角形法則即可得出結論．
本題考查了向量三角形法則、向量共線定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，屬于基礎題．
7.【答案】 【解析】解：正實數(shù)，滿足，，當且僅當時等號成立，
有最大值，A正確，C錯誤，
正實數(shù)，滿足，，
當且僅當時等號成立，有最小值為，BD錯誤，
故選：．
直接利用基本不等式判斷，利用乘“”法，再結合基本不等式判斷．
本題考查基本不等式的性質以及應用，關鍵是掌握基本不等式的性質，屬于基礎題．
8.【答案】 【解析】解：設是變化后的傳輸損耗，是變化后的載波頻率，是變化后的傳輸距離，
由題意可得：，，
，
所以，
所以，即，
所以，
即載波頻率變?yōu)樵瓉砑s倍．
故選：．
由題，由前后兩傳輸公式作差，結合題設數(shù)量關系及對數(shù)運算，即可得出結果．
本題考查了對數(shù)的基本運算，理解所給公式是解答本題的關鍵，屬于基礎題．
9.【答案】 【解析】【分析】本題考查莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、方差，考查運算求解能力等數(shù)學核心素養(yǎng)，屬于基礎題．
利用莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的性質直接求解．【解答】解：對于，甲的中位數(shù)是：，
乙的中位數(shù)是：，
甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù)，故A正確；
對于，甲的平均數(shù)為：，
乙的平均數(shù)為：，
甲的平均數(shù)小于乙的平均數(shù)，故B錯誤；
由莖葉圖得甲的數(shù)據(jù)更集中，故甲的競技狀態(tài)比乙的更穩(wěn)定，故C正確，D錯誤．
故選：． 10.【答案】 【解析】解：在正方體中，，分別為棱，的中點，
在中，直線與是異面直線，故A錯誤；
在中，直線與是異面直線，故B錯誤；
在中，直線與是異面直線，故C正確；
在中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
設正方體中棱長為，
則，，，，
，，
則，
直線與所成的角為，故D正確．
故選：．
在中，直線與是異面直線；在中，直線與是異面直線；在中，直線與是異面直線；在中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與所成的角為．
本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
11.【答案】 【解析】解：甲罐中在四個相同的小球，標號，，，；乙罐中有五個相同的小球，標號為，，，，．
現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，記事件“抽取的兩個小球標號之和大于”，事件“抽取的兩個小球標號之積大于”，
對于，從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，基本事件總數(shù)，
事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個，
，故A錯誤；
對于，事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共個，
，故B正確；
對于，事件包含的基本事件有，，，，，，，，共個，
．
對于，從甲罐中抽到標號為的小球的概率為，故D錯誤．
故選：．
對于，從甲罐、乙罐中分別隨機抽取個小球，基本事件總數(shù)，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個，從而；對于，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個，從而；對于，利用列舉法求出事件包含的基本事件有個，從而對于，從甲罐中抽到標號為的小球的概率為．
本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
12.【答案】 【解析】解：設，
對于，對任意的，
，故A正確；
對于，假設存在唯一確定的向量使得對于任意向量，
故有成立，即恒成立，
對任意，恒成立，而此方程組無解，故B錯誤；
對于，若垂直，則，設，
，
，故C錯誤；
對于，若共線，則，設，
，
若與共線，則與的模相等，故D正確．
故選：．
由表示出和，判斷；假設存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立，由此列方程組能判斷；若垂直，則，設，分別表示出與，判斷；若共線，則，設，分別表示出與，判斷．
本題考查命題真假的判斷，考查新定義、平面向量運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
13.【答案】 【解析】解：由向量，的夾角為，，，
則，
則，
故答案為：．
先由已知條件求出，然后結合向量模的運算求解即可．
本題考查了平面向量數(shù)量積運算，重點考查了平面向量的模的運算，屬基礎題．
14.【答案】 【解析】解：，，
，
是實數(shù)，
，得．
故答案為：．
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由虛部為求得的值．
本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎的計算題．
15.【答案】或 【解析】解：，，的面積為，
，
，
若為最大角，，此時；
若不為最大角，，又，為最大角，
由余弦定理得：，
，
再由正弦定理得：
，
又，
，
綜上，中最大角的正切值為或．
故答案為：或
利用三角形的面積公式表示出三角形的面積，把，及已知的面積代入求出的值，分兩種情況考慮：當為最大角時，利用特殊角的三角函數(shù)值求出的度數(shù)，進而確定出的值，即為三角形中最大角的正切值；當不為最大角時，根據(jù)小于得到為最大角，求出的度數(shù)，利用余弦定理得到，把，及的值代入求出的長，再由及的值，利用正弦定理求出的值，同時利用余弦定理表示出，把，及的值代入求出的值，進而確定出的值，即為最大角的正切值，綜上，得到所求三角形中最大角的正切值．
此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，三角形的面積公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，三角形的邊角關系，以及特殊角的三角函數(shù)值，利用了分類討論的數(shù)學思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．
16.【答案】 【解析】【分析】本題考查了三棱錐體積的最大值和外接球的表面積，屬于中檔題．
注意到三棱錐體積最大時，平面平面，可知以為頂點時，為三棱錐的高，然后利用正余弦定理可得各棱長可得體積；利用球心到平面的距離、外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積．【解答】解：過點作，垂足為，
為等腰梯形，，，
，，
由余弦定理得，即，
，
，
易知，當平面平面時，三棱錐體積最大，
此時，平面，
易知，，
，
；
記為外接球球心，半徑為，
平面，，
到平面的距蘺，
又的外接圓半徑，
，
，
故答案為：． 17.【答案】解：由正弦定理得，
因為，
所以，
又因為，，
所以，
又，
所以．
由余弦定理，，
可得，解得． 【解析】本題考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．
由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得，結合，可求的值．
由已知利用余弦定理即可解得的值．
18.【答案】解：由題意可得，解得：；
因為總體共名學生，樣本容量為，因此抽樣比為．
其中分數(shù)段有人，
分數(shù)段有人，
所以在分數(shù)段中抽取人，
分數(shù)段抽取人，
設甲被抽到的事件為，乙被抽到的事件為，
則，，
則甲乙至少一人被抽到的概率為． 【解析】利用頻率分布直方圖中各個小矩形面積之和為即可求出的值；
設甲被抽到的事件為，乙被抽到的事件為，求出相應的概率，然后可以根據(jù)對立事件求解．
本題考查頻率分布直方圖求頻數(shù)、頻率，分層抽樣，相互獨立事件的概率，是基礎題．
19.【答案】解：證明：連接，交于，連接，
在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，
是中點，
為的中點，，
平面，平面，
平面D.
側棱底面，，為的中點，，，
，，
，
三棱柱的表面積． 【解析】連接，交于，連接，推導出，由此能證明平面D.
根據(jù)表面積公式即可求出．
本題考查線面平行的證明，考查三棱柱表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
20.【答案】解：由于，，
所以，
函數(shù)；
所以函數(shù)的最小正周期為．
由于，即；
由于該三角形為銳角三角形，
所以，
所以；
故，
由于，所以，
故，
所以；
故
故． 【解析】直接利用向量的坐標運算和向量的夾角求出三角函數(shù)的關系式，進一步利用正弦型函數(shù)的性質的應用求出函數(shù)的最小正周期；
利用正弦定理和三角函數(shù)的關系式的變換和正弦型函數(shù)的性質的應用求出結果．
本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關系式的變換，向量的夾角的運算，正弦型函數(shù)的性質，正弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．
21.【答案】證明：因為，，所以為等邊三角形，
因為為的中點，所以．
取的中點，連接，，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
因為，，，平面，所以平面，
因為平面，所以，
又因為，，平面，所以平面．
解：過點作，垂足為如圖所示，
由知，平面．
因為平面，所以，所以平面，
所以為與平面所成角．
由知，平面，平面，所以．
在中，，，，
因為為的中點，所以．
在中，，
在中，，
在中，，
所以由同角三角函數(shù)的基本關系得．
所以與平面所成角的正弦值為．
取的中點為，連接，因為為線段的中點，
所以，
由知，平面，所以平面，平面．
所以．
過點作，垂足為，連接，，，平面，
所以平面平面，所以，
所以為二面角的平面角．
在中，，
由知，為等邊三角形，為線段的中點，
所以
由知，平面，平面所以，
在中，，由知，，
即，解得．
因為平面，平面，所以．
在中，．
，
所以二面角的平面角的余弦值為． 【解析】根據(jù)等腰三角形的三線合一定理及線面垂直的性質定理，再利用線面垂直的性質定理及線面垂直的判定定理即可求解；
根據(jù)線面垂直的性質及線面垂直的判定定理，再利用線面角的定義及勾股定理，結合銳角三角函數(shù)的定義即可求解；
根據(jù)線面垂直的性質及線面垂直的判定定理，再利用面面角的定義及勾股定理，結合等面積法及銳角三角函數(shù)的定義即可求解．
本題考查空間向量的應用，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
22.【答案】解：當時，
因為在上遞減，所以，
即在的值域為故不存在常數(shù)，使成立
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)．分
由題意知，在上恒成立．分
，
在上恒成立
分
設，，，由得，
設，
所以在上遞減，在上遞增，分
在上的最大值為，在上的最小值為
所以實數(shù)的取值范圍為分
，
，
在上遞減，分
即分
當，即時，，分
此時，分
當，即時，，
此時，
綜上所述，當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是分 【解析】當時，易知在上遞減，有，再有給出的定義判斷；
由函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，結合定義則有在上恒成立，再轉化為在上恒成立即可；
據(jù)題意先研究函數(shù)在上的單調性，確定函數(shù)的范圍，即分別求的最大值和最小值，根據(jù)上界的定義，不小于最大值，從而解決．
本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉化為已有的知識和方法去解決，本題主要體現(xiàn)了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力．
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2022-2023學年廣東省廣州市華南師大附中高一（上）期末數(shù)學試卷：
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