絕密★啟用前2021-2022學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷  一、單選題（本題共7小題，共35分）復(fù)數(shù)的虛部為(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是(    )A. 若，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，則如圖，是水平放置的的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、均在坐標(biāo)軸上，且的面積為，則的長(zhǎng)度為(    )
A.  B.  C.  D. 若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為(    )A.  B.  C.  D. 在中，角，，的對(duì)邊分別為，，已知三個(gè)向量，，共線，則的形狀為(    )A. 等邊三角形 B. 鈍角三角形．
C. 有一個(gè)角是的直角三角形 D. 等腰直角三角形關(guān)于用統(tǒng)計(jì)方法獲取數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(    )A. 某食品加工企業(yè)為了解生產(chǎn)的產(chǎn)品是否合格，合理的調(diào)查方式為抽樣調(diào)查
B. 為了解高一學(xué)生的視力情況，現(xiàn)有高一男生人，女性人，按性別進(jìn)行分層抽樣，樣本量按比例分配，若從女生中抽取的樣本量為，則樣本容量為
C. 若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差滿足，則可以估計(jì)乙比甲更穩(wěn)定
D. 若數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為天，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則(    )A.  B.  C.  D. 二、多選題（本題共5小題，共25分）如圖所示，是長(zhǎng)方體，是的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(    )A. ，，三點(diǎn)共線
B. ，，，不共面
C. ，，，不共面
D. ，，，共面設(shè)是已知的平面向量，向量，，在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，下列說(shuō)法正確的是(    )A. 給定向量，總存在向量，使
B. 給定向量和，總存在實(shí)數(shù)和，使
C. 給定單位向量和正數(shù)，總存在單位向量和實(shí)數(shù)，使
D. 若，存在單位向量，和正實(shí)數(shù)，，使，則對(duì)于，角，，的對(duì)邊分別為，，有如下判斷，其中正確的判斷是(    )A. 若，則
B. 若，則
C. 若，，，則符合條件的有兩個(gè)
D. 若，則是鈍角三角形為了解某貧困地區(qū)實(shí)施精準(zhǔn)扶貧后的成果，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該地區(qū)三個(gè)縣市在年建檔立卡人員年人均收入提升狀況．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，縣建檔立卡人員年人均收入提升狀況用餅狀圖表示，縣建檔立卡人員年人均收入提升狀況用條形圖表示，縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為百元，方差為，，，三縣建檔立卡人數(shù)比例為：：，則下列說(shuō)法正確的有(    )
A. 縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為
B. 縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為
C. 估計(jì)該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升百元
D. 縣精準(zhǔn)扶貧的效果最好已知球的半徑為，球心在大小為的二面角內(nèi)，二面角的兩個(gè)半平面所在的平面分別截球面得兩個(gè)圓，，若兩圓，的公共弦的長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，四面體的體積為，則正確的是(    )A. ，，，四點(diǎn)共圓 B.
C.  D. 的最大值為三、填空題（本題共4小題，共20分）已知復(fù)數(shù)：滿足，則______．在?中，，，是中點(diǎn)，則______．如圖，銅質(zhì)六角螺帽毛胚是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知正六棱柱的底面邊長(zhǎng)、高都為，圓柱的底面積為若將該螺帽熔化后鑄成一個(gè)高為的正三棱柱零件，則該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為______不計(jì)損耗
 平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面 ，則，所成角的正弦值為______．四、解答題（本題共6小題，共70分）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是平行四邊形，平面，，，．
證明：；
證明：平面D.
已知，為不共線的單位向量，，，且與共線．
求的值；
在，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上并解答．
問(wèn)題：若____，分別求和的坐標(biāo)．從某校高一年級(jí)新生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的身高樣本，數(shù)據(jù)如下單位：，數(shù)據(jù)間無(wú)大小順序要求：，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
若為這組數(shù)據(jù)的一個(gè)眾數(shù)，求的取值集合；
若樣本數(shù)據(jù)按順序排列，第百分位數(shù)是，求的值；
若，試估計(jì)該校高一年級(jí)新生的平均身高．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且．
求證：平面平面；
求點(diǎn)到平面的距離．
如圖，在中，延長(zhǎng)到，使得，且．
若，求的面積；
當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍．
如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為直角梯形，，，，，點(diǎn)在線段上，且．
探究在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，試證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
設(shè)二面角的大小為，若，求直線與平面所成角的正弦值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的虛部為．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合虛部的定義，即可求解．
本題主要考查虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：：當(dāng)時(shí)，，可以成立，本選項(xiàng)結(jié)論不正確；
：當(dāng)時(shí)，若，，，此時(shí)，成立，因此本選項(xiàng)結(jié)論不正確；
：當(dāng)時(shí)，若，，此時(shí)，成立，因此本選項(xiàng)結(jié)論不正確；
：因?yàn)?/span>，所以，，，所以，而，，
所以，而，因此，所以本選項(xiàng)結(jié)論正確，
故選：．
根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合面面平行、垂直的判定定理逐一判斷即可．
本題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)的長(zhǎng)度為，又由的坐標(biāo)為，則，
故，
又由原圖的面積為，則有，解可得；
故選：．
根據(jù)題意，設(shè)的長(zhǎng)度為，用表示的值，由原圖與直觀圖的面積關(guān)系可得關(guān)于的方程，解可得答案．
本題考查斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用，涉及平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】解：圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為，
斜邊長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)，
圓錐的高與底面圓的半徑都為等腰直角三角形斜邊的一半，即，
該圓錐的側(cè)面積為．
故選：．
先根據(jù)圓錐的軸截面為等腰直角三角形，且直角邊長(zhǎng)為，可求出圓錐的高、底面圓的半徑、母線長(zhǎng)，最后由圓錐的側(cè)面積公式即可求解．
本題考查圓錐的側(cè)面積公式，空間想象力，屬基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：向量，共線，
，
由正弦定理得：，
，
，為三角形內(nèi)角，可得，都為銳角，
，
，
，，
，即，
同理可得，
形狀為等邊三角形．
故選：．
由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用正弦定理化邊為角，再展開(kāi)二倍角公式整理可得，結(jié)合角的范圍求得，同理可得，則答案可求．
本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了三角形形狀的判斷，屬中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：對(duì)于，為了解生產(chǎn)的產(chǎn)品是否合格，合理的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于，根據(jù)分層抽樣抽樣比可知樣本容量為，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于，因?yàn)?/span>，所以甲的數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于，根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)，的平均數(shù)為，選項(xiàng)D正確．
故選：．
根據(jù)抽樣調(diào)查的適用情形即可判斷選項(xiàng)A；
根據(jù)分層抽樣的抽樣比可判斷選項(xiàng)B；
根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的含義即可判斷選項(xiàng)C；
根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D．
本題考查了命題真假的判斷問(wèn)題，也考查了抽樣方式、分層抽樣、標(biāo)準(zhǔn)差、平均數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：設(shè)，，，
，
，
，
，
即，

，


，
故選：．
設(shè)，，，則，由題意得，再化簡(jiǎn)，從而求得．
本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題利用直接法進(jìn)行判斷，先觀察圖形判斷，，三點(diǎn)共線，為了要證明，，三點(diǎn)共線，先將看成是在平面與平面的交線上，同樣證明點(diǎn)、也是在平面與平面的交線上，從而證明三點(diǎn)共線．
本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論、三點(diǎn)共線及空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．
【解答】
解：連接，，則，
、、、四點(diǎn)共面，
平面，
，平面，又平面，
在平面與平面的交線上，
同理在平面與平面的交線上，
、、三點(diǎn)共線．
故選：．  9.【答案】 【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A，給定向量和，只需求得其向量差即為所求的向量，故總存在向量，使，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)向量，和在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，取，，無(wú)論取何值，向量都平行于軸，而向量的模恒等于，要使成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量的縱坐標(biāo)一定為，故找不到這樣的單位向量使等式成立，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，，又，不共線，
，即，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
，得，故D正確
 故選：．
利用平面向量基本定理依次判斷，即得解．
本題主要考查平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：對(duì)于：由于，所以，整理得，故A正確；
對(duì)于：由于，利用正弦定理，所以，所以
故，故，即，故B正確；
對(duì)于：在中，，，，所以，所以，由于，所以符合條件的有一個(gè)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于：由于，利用正弦定理：，故則，故是鈍角三角形，故D正確．
故選：．
直接利用正弦定理和余弦定理及三角形的解的情況的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形的解的情況的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：對(duì)于：縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于：縣建檔立卡人員年人均收入提升的均值為，
縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為，故B正確；
對(duì)于：該地區(qū)建檔立卡人員的年人均收入提升：百元，故 C正確；
對(duì)于：縣建檔立卡人員年人均收入提升的方差為，所以，，故精準(zhǔn)扶貧的效果最好，故D正確；
故選：．
對(duì)于：利用均值公式求解；對(duì)于：先求得平均數(shù)，再利用方差公式求解；對(duì)于：利用均值公式求解；對(duì)于：利用平均數(shù)和方差判斷即可．
本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】 【解析】解：因?yàn)楣蚕?/span>在棱上，連結(jié)，，，，，
則，故B正確；
因?yàn)槎娼?/span>的兩個(gè)半平面分別截球面得兩個(gè)圓，，為球心，
所以，，
又平面，平面，
所以，，
故，，，四點(diǎn)共圓，故選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?/span>為弦的中點(diǎn)，
故，，故即為二面角的平面角，
所以，
故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
設(shè)，，
在中，由余弦定理可得，，
所以，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)D正確．
故選：．
利用球心和截面圓之間的關(guān)系可以得到，，，四點(diǎn)共圓，即可判斷選項(xiàng)A；利用二面角的定義得到即為二面角的平面角，求出即可判斷選項(xiàng)B，；利用余弦定理和基本不等式以及錐體的體積公式即可判斷選項(xiàng)D．
本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，考查的知識(shí)點(diǎn)：球的幾何性質(zhì)、截面圓的幾何性質(zhì)、二面角的平面角、余弦定理、基本不等式以及錐體的體積公式，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：，
，
即，
故答案為：．
由題意得，從而化簡(jiǎn)求解．
本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
可解決此題．
本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】【分析】
本題考查該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)的求法，考查棱柱、圓柱的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．
設(shè)該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，利用棱柱、圓柱的體積公式列出方程，由此能求出該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)．
 【解答】
解：設(shè)該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，
則由可得，
，
解得
故答案為：．  16.【答案】 【解析】解：如圖：平面，平面，平面，
可知：，，
是正三角形．、所成角就是．
則、所成角的正弦值為：．
故答案為：．
如圖：平面，平面，平面，可知：，，由是正三角形，即可得出、所成角．
本題考查了空間位置關(guān)系、異面直線所成的角、等邊三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
 17.【答案】證明：，，
在中，由余弦定理得 ，
，，
平面，且平面，
，又，平面．
又平面，分
連結(jié)、，設(shè)，連結(jié)，
四邊形是平行四邊形，，
由棱臺(tái)的定義及知，，且，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，
平面D.分 【解析】由已知條件利用余弦定理得，從而利用勾股定理得，進(jìn)而得到平面，由此能證明．
連結(jié)、，設(shè)，連結(jié)，由棱臺(tái)的定義結(jié)合已知條件推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，由此能證明平面D.
本題考查異面直線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．
 18.【答案】解：根據(jù)題意，，，且與共線．
設(shè)，則，則有
解可得：
根據(jù)題意，若選擇：，
設(shè)，若，則，
又由，為不共線的單位向量，則有
解得或
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
若選擇：，
設(shè)，若，則有，
又由，為不共線的單位向量，則有
解得或
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)， 【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，解可得答案．
若選擇：，設(shè)，由此表示向量，由單位向量的定義可得解可得答案，若選擇，同理可得答案．
本題考查向量的坐標(biāo)計(jì)算，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：若為這組數(shù)據(jù)的一個(gè)眾數(shù)，則的可能取值為，，，，
即的取值集合為．
因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的第百分位數(shù)是，即比小的數(shù)據(jù)占，又，
所以的值為．
若，則該校高一年級(jí)新生的平均身高為． 【解析】根據(jù)眾數(shù)的定義求解．
根據(jù)第百分位數(shù)的定義求解．
根據(jù)平均數(shù)的定義求解．
本題主要考查了數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題．
 20.【答案】證明：平面，平面，
，又，，
平面，又面，，
，為中點(diǎn)，，又，
平面，又平面，
平面平面．
解：，平面，平面，平面，
到平面的距離等于到平面的距離，
取的中點(diǎn)，連接，
平面，，
又，，
平面，，
，是的中點(diǎn)，，
又，平面，
，，，
，
點(diǎn)到平面的距離為，
，點(diǎn)到平面的距離為． 【解析】證明平面得出，結(jié)合得出平面，故而平面平面；
取中點(diǎn)，證明平面，平面，則點(diǎn)到平面的距離為的長(zhǎng)，利用，即可求得點(diǎn)到平面的距離．
本題考查了面面垂直的判定，線面垂直的判定，考查點(diǎn)到平面的距離計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 21.【答案】解：在中，則，即，
，
的面積為，
在中，，即，
，
的面積為．
的面積．
在中，設(shè)，
，則，
的面積，
，則，，，
則，
面積的取值范圍為 【解析】在中，由正弦定理可求得，利用三角形面積公式即可求得的面積．
 在中，設(shè)，由正弦定理表示，可得的面積，結(jié)合，則，，即可求解．
本題考查了正弦定理、三角形面積公式，考查了運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 22.【答案】解：存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面，
證明：連接，交于點(diǎn)，
因?yàn)?/span>，，
所以，，
因?yàn)?/span>，則∽，
則，
故，
又平面，平面，
故平面；
解：取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)?/span>為正三角形，則，，
因?yàn)?/span>為直角梯形，，，，
故四邊形為矩形，
則，又，，平面，
所以平面，又平面，
故平面平面，
所以為二面角的平面角，
故，且，設(shè)，
由余弦定理可得，，
所以，
整理可得，解得或舍，
過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
因?yàn)?/span>，且平面，
故AD平面，又平面，
則平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，
故即為點(diǎn)到平面的距離，
又，平面，平面，
所以平面，
故即為點(diǎn)到平面的距離，
因?yàn)?/span>，
則，
所以，
即，解得，
又，
故直線與平面所成角的正弦值為． 【解析】存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面，連接，交于點(diǎn)，利用相似比證明，然后由線面平行的判定定理證明即可；
取的中點(diǎn)，連接，，可得為二面角的平面角，在中利用余弦定理求解，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，可證平面，又平面，所以即為點(diǎn)到平面的距離，再利用等面積法求出，再求出的長(zhǎng)，利用邊角關(guān)系求解即可．
本題考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，線面角的求解，在使用幾何法求線面角時(shí)，可通過(guò)已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過(guò)解直角三角形求得，屬于中檔題．
 

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這是一份2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析），共17頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023屆高三適應(yīng)性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題：

這是一份吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023屆高三適應(yīng)性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題，共27頁(yè)。

吉林省長(zhǎng)春市吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023屆高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性測(cè)試（一）試題（Word版附解析）：

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