?湖南省婁底市2022年中考數(shù)學(xué)試卷
一、單選題
1．2022的倒數(shù)是（　?。?
A．2022 B．-2022 C．12022 D．?12022
【答案】C
【知識點】有理數(shù)的倒數(shù)
【解析】【解答】解：2022的倒數(shù)是12022.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，即可得出答案.
2．下列式子正確的是（　　）
A．a(chǎn)3?a2=a5 B．(a2)3=a5 C．(ab)2=ab2 D．a(chǎn)3+a2=a5
【答案】A
【知識點】同底數(shù)冪的乘法；合并同類項法則及應(yīng)用；積的乘方；冪的乘方
【解析】【解答】解：a3?a2=a5，故A選項符合題意；
(a2)3=a6，故B不符合題意；
(ab)2=a2b2，故C不符合題意；
a3，a2不是同類項，不能合并，故D不符合題意.
故答案為：A.
【分析】同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，據(jù)此判斷A；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，據(jù)此判斷B；積的乘方，先將每一個因式進行乘方，然后將所得的冪相乘，據(jù)此判斷C；整式加法的實質(zhì)就是合并同類項，所謂同類項就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，同類項與字母的順序及系數(shù)沒有關(guān)系，合并同類項的時候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)都不變，但不是同類項的不能合并，據(jù)此可判斷D.
3．一個小組10名同學(xué)的出生年份（單位：月）如下表所示：
編號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
月份
2
6
8
6
10
4
7
8
8
7
這組數(shù)據(jù)（月份）的眾數(shù)是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知識點】眾數(shù)
【解析】【解答】解：因為8月份出現(xiàn)了3次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是8.
故答案為：B.
【分析】找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為眾數(shù).
4．下列與2022年冬奧會相關(guān)的圖案中，是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：根據(jù)中心對稱圖形定義，可知D符合題意.
故答案為：D.
【分析】中心對稱圖形：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，據(jù)此一一判斷得出答案.
5．截至2022年6月2日，世界第四大水電站——云南昭通溪洛渡水電站累計生產(chǎn)清潔電能突破5000億千瓦時，相當(dāng)于替代標(biāo)準(zhǔn)煤約1.52億噸，減排二氧化碳約4.16億.5000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×1012
【答案】B
【知識點】科學(xué)記數(shù)法—表示絕對值較大的數(shù)
【解析】【解答】解：5000億=500000000000，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法要求500000000000的5后面有11個0，從而用科學(xué)記數(shù)法表示為5×1011.
故答案為：B.
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示一個絕對值較大的數(shù)，一般表示為a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減去1，據(jù)此即可得出答案.
6．一條古稱在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知∠1=80°，則∠2=（　?。?br /> A．20° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【知識點】平行線的性質(zhì)；鄰補角
【解析】【解答】解：如圖，由題意可得：AB∥CD，∠1=80°，
∴∠BCD=∠1=80°，
∴∠2=180°?80°=100°，
故答案為：C.
【分析】由題意可得AB∥CD，根據(jù)二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠BCD=∠1=80°，然后根據(jù)鄰補角的性質(zhì)進行計算.
7．不等式組3?x≥12x＞?2的解集在數(shù)軸上表示正確的是（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知識點】在數(shù)軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：∵ 不等式組3?x≥1①2x＞?2②中，
解①得，x≤2，
解②得，x＞-1，
∴不等式組的解集為-1＜x≤2，
數(shù)軸表示如下：
故答案為：C.
【分析】分別求出兩個不等式的解集，根據(jù)同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了，取其公共部分可得不等式組的解集，然后根據(jù)解集的在數(shù)軸上的表示方法：大向右，小向左，實心等于，空心不等，進行判斷.
8．將直線y=2x+1向上平移2個單位，相當(dāng)于（　?。?br /> A．向左平移2個單位 B．向左平移1個單位
C．向右平移2個單位 D．向右平移1個單位
【答案】B
【知識點】一次函數(shù)圖象與幾何變換
【解析】【解答】解：將直線y=2x+1向上平移2個單位，可得函數(shù)解析式為：y=2x+3，
直線y=2x+1向左平移2個單位，可得y=2(x+2)+1=2x+5， 故A不符合題意；
直線y=2x+1向左平移1個單位，可得y=2(x+1)+1=2x+3， 故B符合題意；
直線y=2x+1向右平移2個單位，可得y=2(x?2)+1=2x?3， 故C不符合題意；
直線y=2x+1向右平移1個單位，可得y=2(x?1)+1=2x?1， 故D不符合題意.
故答案為：B.
【分析】一次函數(shù)y=kx+b向左平移m（m>0）個單位長度，得到的新一次函數(shù)的解析式為y=k(x+m)+b；一次函數(shù)y=kx+b向右平移m（m>0）個單位長度，得到的新一次函數(shù)的解析式為y=k(x-m)+b；一次函數(shù)y=kx+b向上平移m（m>0）個單位長度，得到的新一次函數(shù)的解析式為y=kx+b+m；一次函數(shù)y=kx+b向下平移m（m>0）個單位長度，得到的新一次函數(shù)的解析式為y=kx+b-m，據(jù)此一一判斷得出答案.
9．在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù).即“結(jié)繩計數(shù)”.當(dāng)時有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進一，那么孩子已經(jīng)出生了（　?。?br /> A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【知識點】進位制及應(yīng)用（奧數(shù)類）
【解析】【解答】解：繩結(jié)表示的數(shù)為5×70+3×7+3×72+1×73=5+21+49×3+73=516
故答案為：B.
【分析】由題意可得繩結(jié)表示的數(shù)為5×70+3×7+3×72+1×73，計算即可.
10．如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（　?。?br /> A．3π18 B．318 C．3π9 D．39
【答案】A
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：令內(nèi)切圓與BC交于點D，內(nèi)切圓的圓心為O，連接AD，OB，
由題可知，圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，
令BC=2a，則BD=a，
在等邊三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=12∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=3a，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=33a，
∴圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比為π(33a)2×1212×2a×3a=3π18.
故答案為：A.
【分析】令內(nèi)切圓與BC交于點D，內(nèi)切圓的圓心為O，連接AD，OB，由題可知：圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，∠OBD=30°，利用勾股定理可得AD，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得OD，然后結(jié)合圓的面積公式進行計算.
11．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知點P(m，1)、Q(1，m)（m>0且m≠1），過點P、Q的直線與兩坐標(biāo)軸相交于A、B兩點，連接OP、OQ，則下列結(jié)論中成立的是（　　）
①點P、Q在反比例函數(shù)y=mx的圖象上；②△AOB成等腰直角三角形；③0°0，
解得：x＞1
故答案為：x＞1.
【分析】根據(jù)分式的分母不能為0及二次根式的被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)可得x-1>0，求解即可.
14．已知實數(shù)x1，x2是方程x2+x?1=0的兩根，則x1x2=　 　.
【答案】-1
【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【解析】【解答】解：∵ 實數(shù)x1，x2是方程x2+x?1=0的兩根，
∴x1x2=?11=?1，
故答案為：-1.
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=ca，據(jù)此解答.
15．黑色袋子中裝有質(zhì)地均勻，大小相同的編號為1~15號臺球共15個，攪拌均勻后，從袋中隨機摸出1個球，則摸出的球編號為偶數(shù)的概率是　 　.
【答案】715
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：由題意可知：編號為1~15號臺球中偶數(shù)球的個數(shù)為7個，
∴摸出的球編號為偶數(shù)的概率=715.
故答案為：715.
【分析】根據(jù)概率的計算公式，利用編號為1~15號臺球中偶數(shù)球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可.
16．九年級融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測量、計算發(fā)現(xiàn)點E是AD的黃金分割點，即DE≈0.618AD.延長HF與AD相交于點G，則EG≈　 　DE.（精確到0.001）
【答案】0.618
【知識點】矩形的判定與性質(zhì)；黃金分割
【解析】【解答】解：如圖，設(shè)每個矩形的長為x，寬為y，
則DE＝AD－AE＝x－y，
由題意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四邊形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y(tǒng)，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴EGDE=yx?y≈0.382xx?0.382x≈0.618，
∴EG≈0.618DE.
故答案為：0.618.
【分析】設(shè)每個矩形的長為x，寬為y，則DE＝x-y，易得四邊形EFGM是矩形，EG＝MF＝y(tǒng)，根據(jù)DE≈0.618AD可得y≈0.382x，然后根據(jù)EGDE=yx-y進行解答.
17．菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=45°，點P、Q分別是BC、BD上的動點，CQ+PQ的最小值為　 　.
【答案】2
【知識點】菱形的性質(zhì)；軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題；銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值為2.
故答案為：2.
【分析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的概念可得EC，據(jù)此解答.
18．如圖，已知等腰△ABC的頂角∠BAC的大小為θ，點D為邊BC上的動點（與B、C不重合），將AD繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度時點D落在D′處，連接BD′.給出下列結(jié)論：①△ACD?△ABD′；②△ACB～△ADD′；③當(dāng)BD=CD時，△ADD′的面積取得最小值.其中正確的結(jié)論有　 ?。ㄌ罱Y(jié)論對應(yīng)的序號）.
【答案】①②③
【知識點】垂線段最短；等腰三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AD繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角度得到AD'
∴∠DAD′=θ，AD=AD′
∴∠CAB=∠DAD′
即∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠BAD′
∴∠CAD=∠BAD′
∵∠CAD=∠BAD′AC=ABAD=AD′
得：△ADC≌△AD′B（SAS）
故①對
∵△ABC和△ADD'是頂角相等的等腰三角形
∴△ACB～△ADD′
故②對
∴S△AD′DS△ABC=(ADAC)2
即AD最小時S△AD′D最小
當(dāng)AD⊥BC時，AD最小
由等腰三角形三線合一，此時D點是BC中點
故③對
故答案為：①②③.
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAD′=θ，AD=AD′，由角的和差關(guān)系可得∠CAD=∠BAD′，然后根據(jù)全等三角形的判定定理可判斷①；根據(jù)△ABC和△ADD′是頂角相等的等腰三角形結(jié)合相似三角形的判定定理可判斷②；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合垂線段最短的性質(zhì)可判斷③.
三、解答題
19．計算：(2022?π)0+(12)?1+|1?3|?2sin60°.
【答案】解：(2022-π)0+(?12)-1+|1?3|?2sin60°
=1?2?(1?3)?2×32
=1?2?1+3?3
=?2.
【知識點】實數(shù)的運算；特殊角的三角函數(shù)值
【解析】【分析】根據(jù)0次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值分別化簡，然后計算乘法，再合并同類二次根式及進行有理數(shù)的加減法即可.
20．先化簡，再求值：(x+2+4x?2)÷x3x2?4x+4，其中x是滿足條件x≤2的合適的非負(fù)整數(shù).
【答案】解：原式＝(x+2)(x?2)+4x?2×(x?2)2x3
=x2?4+4x?2?(x?2)2x3
=x?2x；
∵x≤2的非負(fù)整數(shù)，x≠0，2
∴當(dāng)x=1時，原式＝1?21=?1
【知識點】利用分式運算化簡求值
【解析】【分析】通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，對括號外分式的分母利用完全平方公式進行分解，然后將除法化為乘法，再進行約分即可對原式進行化簡，接下來在x≤2范圍內(nèi)選擇一個使分式有意義的非負(fù)整數(shù)x的值代入計算即可.
21．按國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進行“五項管理”督導(dǎo)的通知》要求，各中小學(xué)校積極行動，取得了良好的成績.某中學(xué)隨機抽取了部分學(xué)生對他們一周的課外閱讀時間（A：10h以上，B：8h~10h，C：6h~8h，D：6h以下）進行問卷調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)進行分類，統(tǒng)計了繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：
（1）本次調(diào)查的學(xué)生共　 　名；
（2）a=　 　，b=　 　；
（3）補全條形統(tǒng)計圖.
【答案】（1）200
（2）30；50
（3）解：∵ C組有200?60?100?10=30（人），
所以補全圖形如下：
【知識點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖
【解析】【解答】解：（1）10÷5%=200（人），
所以本次調(diào)查的學(xué)生共200人.
故答案為：200；
（2）60200×100%=30%，100200×100%=50%，
所以a=30，b=50，
故答案為：30，50；
【分析】（1）利用D的人數(shù)除以所占的比例可得總?cè)藬?shù)；
（2）利用A的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘以100%可得a的值，利用B的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，然后乘以100%可得b的值；
（3）根據(jù)各組人數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)可得C組的人數(shù)，據(jù)此可補全條形統(tǒng)計圖.
22．“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想”.墩墩使用握力器（如實物圖所示）鍛煉手部肌肉.如圖，握力器彈簧的一端固定在點P處，在無外力作用下，彈簧的長度為3cm，即PQ=3cm.開始訓(xùn)練時，將彈簧的端點Q調(diào)在點B處，此時彈簧長PB=4cm，彈力大小是100N，經(jīng)過一段時間的鍛煉后，他手部的力量大大提高，需增加訓(xùn)練強度，于是將彈簧端點Q調(diào)到點C處，使彈力大小變?yōu)?00N，已知∠PBC=120°，求BC的長.
注：彈簧的彈力與形變成正比，即F=k?Δx，k是勁度系數(shù)，Δx是彈簧的形變量，在無外力作用下，彈簧的長度為x0，在外力作用下，彈簧的長度為x，則Δx=x?x0.
【答案】解：由題意可得：當(dāng)F=100時，△x=4?3=1，
∴k=100， 即F=100·△x，
當(dāng)F=300時，則△x=3，
∴PC=3+3=6，
如圖，記直角頂點為M，
∵∠PBC=120°，∠PMB=90°，
∴∠BPM=30°， 而PB=4，
∴BM=2，PM=42?22=23，
∴MC=62?(23)2=24=26，
∴BC=MC?BM=26?2.
【知識點】解直角三角形的應(yīng)用
【解析】【分析】由題意可得：當(dāng)F=100時，△x=1；當(dāng)F=300時，△x=3，據(jù)此可得PC的值，記直角頂點為M，易得∠BPM=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BM，利用勾股定理可得PM、MC，然后根據(jù)BC=MC-BM進行計算.
23．“綠水青山就是金山銀山”.科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4mg，若一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg.
（1）請分別求出一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；
（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計三棵銀杏樹共有約50000片樹葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？
【答案】（1）解：設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為xmg，則一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為(2x?4)mg，則
∴x+2x?4=62，
解得：x=22，
∴2x?4=40，
答：一片國槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量分別為22mg，40mg.
（2）解：50000×40=2000000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克.
【知識點】運用有理數(shù)的運算解決簡單問題；一元一次方程的實際應(yīng)用-和差倍分問題
【解析】【分析】（1）設(shè)一片國槐樹葉一年的平均滯塵量為xmg，則一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為(2x-4)mg，根據(jù)一片國槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62mg可得關(guān)于x的方程，求解即可；
（2）利用銀杏樹的總片數(shù)×一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量進行解答即可.
24．如圖，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG（點C，D，F(xiàn)共線），動點A在以BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點O.設(shè)∠G=θ.
（1）求證：無論θ為何值，EF與BC相互平分；并請直接寫出使EF⊥BC成立的θ值.
（2）當(dāng)θ=90°時，試給出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，請說明理由.
【答案】（1）證明：如圖所示：連接BF、CE，
∵菱形BCDE和菱形BCFG（點C，D，F(xiàn)共線），
∴點G、B、E共線，
∴FC∥BG，F(xiàn)C=BC=BE ，
∴FC∥BE，F(xiàn)C=BE ，
∴四邊形BFCE是平行四邊形，
∴EF與BC相互平分，
即：無論θ為何值，EF與BC相互平分；
又∵EF⊥BC，
∴四邊形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形BCDE和菱形BCFG，
∴GF=BG=BF=BE ，
∴△GFB 為等邊三角形，
∴∠G=θ=60°；
（2）解：如圖所示：連接AF，AO ，設(shè)EF與AC交于點H，
∵EF垂直平分AC
∴AF=FC，AO=CO，∠AHO=90° ，
由（1）知，O為BC的中點，
∴動點A在以O(shè)為圓心，BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，
∴∠BAC=90°，AO=BO=CO ，
∴∠OBA=∠OAB ，
∵∠OAB+∠OAC=∠AOH+∠OAC=90° ，
∴∠AOH=∠OAB=∠OBA ，
在△AOF和△COF 中，
AF=CFAO=COFO=FO ，
∴△AOF≌△COF ，
∴∠FAO=∠FCO ，
∵θ=90°，菱形BCFG，
∴四邊形BCFG為正方形，
∴∠FCO=90°，F(xiàn)C=BC ，
∴∠FAO=∠FCO=90°，
設(shè)FC=BC=x，則AF=CF=x ，AO=OC=12BC=12x ，
在Rt△FAO 中，
tan∠FOA=AFAO=x12x=2，
∵∠AOH=∠OBA，
∴tan∠ABC=tan∠FOA=2.
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【分析】（1）連接BF、CE，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得FC∥BG，F(xiàn)C=BC=BE，推出四邊形BFCE是平行四邊形，得到EF與BC相互平分，結(jié)合EF⊥BC可得四邊形BFCE是菱形，則BE=BF，進而推出△GFB為等邊三角形，據(jù)此解答；
（2）連接AF、AO，設(shè)EF與AC交于點H，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AF=FG，AO=CO，∠AHO=90°，由（1）知：O為BC的中點，則動點A在以O(shè)為圓心，BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OBA=∠OAB，推出∠AOH=∠OAB=∠OBA，證明△AOF≌△COF，得到∠FAO=∠FCO，易得四邊形BCFG為正方形，則∠FCO=90°，F(xiàn)C=BC，設(shè)FC=BC=x，則AF=CF=x，AO=OC=12x，根據(jù)∠AOH=∠OBA結(jié)合三角函數(shù)的概念進行計算.
25．如圖，已知BD是Rt△ABC的角平分線，點O是斜邊AB上的動點，以點O為圓心，OB長為半徑的⊙O經(jīng)過點D，與OA相交于點E.
（1）判定AC與⊙O的位置關(guān)系，為什么？
（2）若BC=3，CD=32，
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②試用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜測sin2α與sinα，cosα的關(guān)系，并用α=30°給予驗證.
【答案】（1）解：AC與⊙O的位置關(guān)系為相切，理由如下，
連接OD，如圖所示
∵BD為∠ABC的角平分線
∴∠ABD=∠CBD
又∵⊙O過點B、D，設(shè)⊙O半徑為r
∴OB=OD=r
∴∠ODB=∠OBD=∠CBD
∴OD//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
∵OD⊥AC
∴AC與⊙O的位置關(guān)系為相切.
（2）解：①∵BC=3，CD=32
∴BD=BC2+CD2=352
∴sin∠DBC=CDBD=55
過點D作DF⊥AB交于一點F，如圖所示
∴CD=DF（角平分線的性質(zhì)定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，OF=CD=32
∴OD2=OF2+DF2即r2=(3?r)2+(32)2
∴r=158
∵OD//BC
∴∠ABC=∠FOD
∴sin∠ABC=sin∠FOD=DFOD=45
∴sin∠DBC=55，sin∠ABC=45；
②cos∠DBC=CBBD=255
∴sin∠DBC×cos∠DBC=55×255=25
∴sin∠ABC=2sin∠DBC×cos∠DBC
猜測sin2α=2sinαcosα
當(dāng)α=30°時2α=60°
∴sin2α=sin60°=32
sinα=sin30°=12
cosα=cos30°=32
∴sin2α=2sinαcosα=2×12×32=32=sin2α
∴sin2α=2sinαcosα.
【知識點】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；切線的判定；銳角三角函數(shù)的定義；角平分線的定義
【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)角平分線概念得∠ABD=∠CBD，設(shè)OB=OD=r，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得∠ODB=∠OBD=∠CBD，推出OD∥BC，結(jié)合BC⊥AD可得OD⊥AC，據(jù)此證明；
（2）①利用勾股定理可得BD，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得sin∠DBC的值，過點D作DF⊥AB交于一點F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得CD=DF，則BF=BC=3，OF=3-r，OF=CD=32，利用勾股定理可得r，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠FOD，然后結(jié)合三角函數(shù)的概念進行解答；②根據(jù)三角函數(shù)的概念求出cos∠DBC、sin∠DBC、cos∠DBC的值，猜想sin2α=2sinαcosα，令α=30°，求出sin2α、sinα、cosα的值，據(jù)此證明.
26．如圖，拋物線y=12x2?2x?6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C.
（1）請直接寫出點A，B，C的坐標(biāo)；
（2）點P(m，n)(0

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