?2022年中考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編：17 三角形
一、單選題
1．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：
①分別過(guò)點(diǎn)A、B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；②作直線PQ交AB于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交PQ于點(diǎn)M、連接AM、BM.若AB=22，則AM的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．4 B．2 C．3 D．2
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由作圖可得PM垂直平分AB，AD=DM=12AB=2
則△ADM是等腰直角三角形
∴由勾股定理得：AM=2AD=2×2=2
故答案為：B.
【分析】由作圖可得PM垂直平分AB，則AD=DM=12AB=2，推出△ADM是等腰直角三角形，然后結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算.
2．如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點(diǎn)D，若∠C=40°，則∠1的度數(shù)是（　?。?br /> A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°，
則∠CED=90°?40°=50°，
∵l∥AB，
∴∠1=∠CED=50°.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠CED=90°-∠C=50°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠CED，據(jù)此解答.
3．如圖，在△ABC中，AB=AC，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BA于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)P，畫(huà)射線BP，交AC于點(diǎn)D，若AD=BD，則∠A的度數(shù)是（　?。?br /> A．36° B．54° C．72° D．108°
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；作圖-角的平分線
【解析】【解答】由作法得BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BCD=12∠ABC
設(shè)∠ABD=∠BCD=12∠ABC=x ，
∴∠ABC=2x
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=2x
∵AD=BD
∴∠ABD=∠A=x
∵∠ABC+∠C+∠A=180°
∴2x+2x+x=180°，解得x=36°
∴∠A=36°
故答案為：A
【分析】由作法可知BD平分∠ABC，可得到∠ABD=∠BCD=12∠ABC，設(shè)∠ABD=x，可表示出∠ABC的度數(shù)，利用等邊對(duì)等角可表示出∠C，∠ABD的度數(shù)；利用三角形的內(nèi)角和定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠A的度數(shù).
4．如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外側(cè)作正方形ABED，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，則DF的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．23+2 B．5?33 C．3?3 D．3+1
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，
∵DF⊥BC，
∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，
∴四邊形AGFH是矩形，
∴FH=AG，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，BC=AB=2，
∴∠BAG=30°，BG=1，
∴AG=AB2?BG2=3，
∴FH=3，
在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，
∴∠DAH=∠BAG=30°，
∴DH=12AD=1，
∴DF=DH+FH=3+1.
故答案為：D

【分析】過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，利用垂直的定義和矩形的性質(zhì)可證得∠GFH=∠AHF=∠AGF，F(xiàn)H=AG，利用等邊三角形的性質(zhì)可證得∠BAC=60°，同時(shí)可求出AB的長(zhǎng)；利用勾股定理求出AG的長(zhǎng)，可得到FH的長(zhǎng)；然后利用30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求出DH的長(zhǎng)，根據(jù)DF=DH+FH，代入計(jì)算求出DF的長(zhǎng).
5．如圖，直線m∥n，△ABC是等邊三角形，頂點(diǎn)B在直線n上，直線m交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，若∠1=140°，則∠2的度數(shù)是（　?。?br /> A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=140°，
∴∠AEF=∠1-∠A=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵m∥n，
∴∠2=∠BEF=100°.
故答案為：B
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)可求出∠A的度數(shù)，再利用三角形的外角的性質(zhì)可求出∠AEF的度數(shù)，及可求出∠BEF的度數(shù)；然后利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可求出∠2的度數(shù).
6．如圖，定直線MN∥PQ，點(diǎn)B、C分別為MN、PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC=12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終有∠BCQ=60°.點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AE∥BC∥DF，AE=4，DF=8，AD=243，當(dāng)線段BC在平移過(guò)程中，AB+CD的最小值為（　?。?br /> A．2413 B．2415 C．1213 D．1215
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；平行四邊形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義
【解析】【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作FH∥CD交BC于H，連接EH，
∵BC∥DF，F(xiàn)H∥CD，
∴四邊形CDFH是平行四邊形，
∴CH=DF=8，CD=FH，
∴BH=4，
∴BH=AE=4，
又∵AE∥BC，
∴四邊形ABHE是平行四邊形，
∴AB=HE，
∵EH+FH≥EF，
∴當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，
延長(zhǎng)AE交PQ于G，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥PQ于T，過(guò)點(diǎn)A作AL⊥PQ于L，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥PQ于K，
∵M(jìn)N∥PQ，BC∥AE，
∴四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，
∴EG=BC=12，
∴GT=GE?cos∠EGT=6，ET=GE?sin∠EGT=63，
同理可求得GL=8，AL=83，KF=4，DK=43，
∴TL=2，
∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，
∴AL∥DK，
∴△ALO∽△DKO，
∴ALDK=AODO=2，
∴AO=23AD=163，DO=13AD=83，
∴OL=AO2?AL2=24，OK=DO2?DK2=12，
∴TF=TL+OL+OK+KF=42，
∴EF=ET2+TF2=1213.
故答案為：C.
【分析】過(guò)點(diǎn)F作FH∥CD交BC于H，連接EH，易得四邊形CDFH、ABHE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得CH=DF=8，CD=FH，AB=HE，故當(dāng)E、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，EH+HF有最小值EF即AB+CD有最小值EF，延長(zhǎng)AE交PQ于G，過(guò)點(diǎn)E作ET⊥PQ于T，過(guò)點(diǎn)A作AL⊥PQ于L，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥PQ于K，則四邊形BEGC是平行四邊形，∠EGT=∠BCQ=60°，EG=BC=12，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得GT、ET，同理可得GL、AL、FK、DK，易證△ALO∽△DKO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AO、DO，利用勾股定理可得OL、OK，由TF=TL+OL+OK+KF可得TF，然后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.
7．如圖，直線l1∥l2，點(diǎn)C、A分別在l1、l2上，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交l1于點(diǎn)B，連接AB.若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（　?。?br /> A．10° B．15° C．20° D．30°
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】解：由作圖得，CA=CB，
∴∠ABC=∠CAB
∵∠BCA＝150°，
∴∠ABC=12(180°?∠ACB)=12(180°?150°)=15°
∵l1∥l2
∴∠1=∠ABC=15°
故答案為：B.
【分析】由作圖得：CA=CB，則∠ABC=∠CAB，結(jié)合內(nèi)角和定理可得∠ABC的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答.
8．如圖，線段OA在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5)，線段OA繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段OA′，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（　?。?br /> A．(?5，2) B．(5，2) C．(2，?5) D．(5，?2)
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如圖，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°作出OA′，過(guò)A作AB⊥x軸，垂足為B，過(guò)A′作A′B′⊥x軸，垂足為B′，
∴∠A′BO=∠ABO=90°，OA′=OA，
∵∠A′OB+∠AOB=180°?∠A′OA=90°，∠AOB+∠A=90°，
∴∠A′OB=∠A，
∴△A′OB≌∠BOA(AAS)，
∴OB′=AB，A′B=OB，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5)，
∴AB=5，OB=2，
∴OB′=5，A′B=2，
∴A′(?5，2)，
故答案為：A．

【分析】逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°作出OA′，過(guò)A作AB⊥x軸，垂足為B，過(guò)A′作A′B′⊥x軸，垂足為B′，利用“AAS”證明△A'OB≌?BOA可得OB′=AB，A′B=OB，再結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，5)，即可得到OB′=5，A′B=2，從而得到A′(?5，2)。
9．如圖，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)P．若△ABC的面積是24，PD=1.5，則PE的長(zhǎng)是（　?。?
A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如圖，連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，
∵AB=AC，AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴S△ABD=12S△ABC=12×24=12，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴S△AED=12S△ABD=12×12=6，
∵G是AD的中點(diǎn)，
∴S△EGD=12S△AED=12×6=3，
∵E是AB的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，
∴EG∥BC，EG=12BD=12CD，
∴∠EGP=∠FDP=90°，
∵F是CD的中點(diǎn)，
∴DF=12CD，
∴EG=DF，
∵∠EPG=∠FPD，
∴△EGP≌△FDP（AAS），
∴GP=PD=1.5，
∴GD=3，
∵S△EGD=12GD?EG=3，即12EG×3=3，
∴EG=2，
在Rt△EGP中，由勾股定理，得
PE=EG2+GP2=22+1.52=2.5，
故答案為：A．

【分析】，連接DE，取AD的中點(diǎn)G，連接EG，先利用“AAS”證明△EGP≌△FDP可得GP=PD=1.5，再利用S△EGD=12GD?EG=3，即12EG×3=3，求出EG的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求出PE的長(zhǎng)即可。
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以點(diǎn)C為圓心，CA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（　?。?br /> A．π B．43π C．53π D．2π
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；弧長(zhǎng)的計(jì)算
【解析】【解答】解：連接CD，如圖所示：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8，
∴∠A=90°?30°=60°，AC=12AB=4，
由題意得：AC=CD，
∴△ACD為等邊三角形，
∴∠ACD=60°，
∴AD的長(zhǎng)為：60π×4180=43π.
故答案為：B.
【分析】連接CD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A=60°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AC=12AB=4，由題意可得AC=CD，推出△ACD為等邊三角形，得到∠ACD=60°，然后結(jié)合弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.
11．如圖，在矩形ABCD中，AB

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