2021-2022學年福建省龍巖市高二（下）期末數(shù)學試卷 題號一二三四總分得分       一、單選題（本大題共8小題，共40分）已知函數(shù)，則(    )A.  B.  C.  D. 已知事件，滿足：，，則(    )A.  B.  C.  D. 為研究高中生愛好某項運動是否與性別有關(guān)，某校研究性學習小組采取簡單隨機抽樣的方法調(diào)查了名高中生．依據(jù)獨立性檢驗，經(jīng)計算得到，參照下表，得到的正確結(jié)論是(    )A. 有的高中生愛好該項運動
B. 有以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”
C. 在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”
D. 在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”在四面體中，是的中點，是的中點，設，則(    )A.  B.
C.  D. 已知隨機變量的分布列如下：則的值為(    )A.  B.  C.  D. 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值點，則實數(shù)的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D. 把粒種子分別種在個坑內(nèi)，每坑粒，每粒種子發(fā)芽的概率為若一個坑內(nèi)至少有粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種．假定每個坑至多補種次，每補種一個坑需元，用表示補種費用，則的數(shù)學期望為(    )A. 元 B. 元 C. 元 D. 元若且恒成立，則的取值范圍是(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20分）下列四個表述中，正確的是(    )A. 運用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心
B. 在回歸直線方程中，當變量每增加個單位時，變量約增加個單位
C. 具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于，，之間的線性相關(guān)程度越高
D. 在一個列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，若的值越大，則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越小已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(    )
A.   
B.  在上是減函數(shù)
C.  在區(qū)間內(nèi)有個極值點
D. 曲線 在點處的切線斜率大于在件產(chǎn)品中，其中有件一等品，件二等品，件三等品，現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，記為取出的件產(chǎn)品中一等品件數(shù)，事件為取出的件產(chǎn)品中一等品件數(shù)等于二等品件數(shù)，事件為取出的件產(chǎn)品中一等品件數(shù)等于三等品件數(shù)，則下列命題正確的是(    )A.  B.
C.  D. ，相互獨立若正方體的棱長為，且，其中，，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 當時，三棱錐的體積為定值
B. 當時，三棱錐的體積為定值
C. 當時，的最小值為
D. 若，點的軌跡為一段圓弧 三、填空題（本大題共4小題，共20分）已知隨機變量，且，，則______．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為______．在菱形中，，將沿折疊，使平面平面，則與平面所成角的正弦值為______．某校中學生籃球隊假期集訓，集訓前共有個籃球，其中個是新球即沒有用過的球，個是舊球即至少用過一次的球每次訓練，都從中任意取出個球，用完后放回．設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為，則______；第二次訓練時恰好取到一個新球的概率為______． 四、解答題（本大題共6小題，共70分）如圖，在中，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點為的中點．
Ⅰ求證：；
Ⅱ求點到平面的距離．
根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜畝產(chǎn)量的增加量百千克與某種液體肥料每畝使用量千克之間對應數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示．
Ⅰ請從相關(guān)系數(shù)精確到的角度分析，能否用線性回顧模型擬合與的關(guān)系若，則線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合；
Ⅱ建立關(guān)于的線性回歸方程，并用其估計當該種液體肥料每畝使用量為千克時，該蔬菜畝產(chǎn)量的增加量約為多少百千克？
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，相關(guān)系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，參考數(shù)據(jù)：，．
如圖，三棱柱棱長都為，平面平面，過作平面平行于，交于點．
Ⅰ求證：點為的中點；
Ⅱ若，求銳二面角的余弦值．
設函數(shù)，，，若曲線在點處的切線方程為．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ若關(guān)于的不等式只有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的值．已知一袋中裝有個球，每個球上分別標有，，，，的一個號碼，設號碼為的球重為單位：克，這些球等可能的從袋中被取出．
Ⅰ現(xiàn)從中不放回地任意取出球，試求它們重量相等的概率；
Ⅱ現(xiàn)從中任意取出球，若它的重量小于號碼數(shù)，則放回，攪拌均勻后重取一球；若它的重量不小于號碼數(shù)，則停止取球．按照以上規(guī)則，最多取球次，設停止之前取球次數(shù)為，求的分布列和期望．設函數(shù)．
Ⅰ當時，求的值域；
Ⅱ當時，，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
故選：．
利用導數(shù)的運算公式，即可解出．
本題考查了導數(shù)的運算公式，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題．
 2.【答案】 【解析】解：，，
．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合條件概率公式，即可求解．
本題主要考查條件概率公式，屬于基礎題．
 3.【答案】 【解析】解：由，即在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”．
故選：．
比較觀測值與參照值大小，根據(jù)獨立檢驗的基本思想確定結(jié)論即可．
本題考查了獨立性檢驗的問題，是基礎題．
 4.【答案】 【解析】解：是的中點，是的中點，，
．

故選：．
由向量加減、數(shù)乘的幾何意義可得，即可求解．
本題主要考查空間向量及其線性運算，屬于基礎題．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)分布列可知解得，
，
，
所以．
故選：．
根據(jù)概率之和等于求得，再根據(jù)期望公式和方差公式求出期望與方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)即可得解．
本題考查離散型隨機變量的方差，屬于中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：由題意，，在區(qū)間內(nèi)恰好有一個極值點，
則，
即，
解得，
如果有兩個極值點，可得：，解得，
另外，當時，函數(shù)在區(qū)間恰有一個極值點，
綜上所述實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
首先利用函數(shù)的導數(shù)與極值的關(guān)系，由于函數(shù)在區(qū)間恰有一個極值點，，或者有個極值點，故可求實數(shù)的取值范圍．
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．
 7.【答案】 【解析】解：每個坑需要補種的概率是相等的，都是，故個坑需要補種的個數(shù)，所以，
故補種費用元．
故選：．
由題設易得個坑需要補種的個數(shù)，利用二項分布的期望公式求，進而求的數(shù)學期望．
本題考查離散型隨機變量的期望，屬于中檔題．
 8.【答案】 【解析】解：當時，由題意與互為反函數(shù)，
所求等價于在區(qū)間上恒成立，
令，，則，
令，解得，
當時，，則為減函數(shù)，
當時，，則為增函數(shù)，
所以在處取得極小值，也為最小值，
所以，整理可得，
因為，所以，
所以，則，
所以，則，解得；
當時，不符合題意，故舍去，
所以的取值范圍是
故選：．
當時，原題等價于在區(qū)間上恒成立，令，，利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和最值，分析計算，即可得答案，當，分析得不符合題意，綜合即可得答案．
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：對于，結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)可知，運用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過樣本中心，故A正確，
對于，在回歸直線方程中，當變量每增加個單位時，變量約增加個單位，故B正確，
對于，具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量，的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于，，之間的線性相關(guān)程度越低，故C錯誤，
對于，在一個列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值，若的值越大，則認為兩個變量間有關(guān)的把握就越大，故D錯誤．
故選：．
對于，結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解，
對于，結(jié)合線性回歸方程，即可求解，
對于，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的定義，即可求解，
對于，結(jié)合獨立性檢驗的定義，即可求解．
本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，以及獨立性檢驗的定義，屬于基礎題．
 10.【答案】 【解析】解：由題意可知，，時，，函數(shù)是減函數(shù)，，，，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)取得極小值，時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值，
所以  ，A正確；，，所以 在上是減函數(shù)．所以B正確；
 在區(qū)間內(nèi)有個極值點，所以不正確；
曲線 在點處的切線斜率大于，D正確；
故選：．
利用導函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，然后判斷選項的正誤即可．
本題考查函數(shù)導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的判斷，切線向量的判斷，是中檔題．
 11.【答案】 【解析】解：隨機變量可取，，，，
，
，
，
，
則，
，
故A正確，B錯誤，C正確．
因為事件為取出的件產(chǎn)品中一等品件數(shù)等于一等品件數(shù)，為必然事件．
事件為取出的件產(chǎn)品中一等品件數(shù)等于三等品件數(shù)，包含事件于A.
所以事件和事件不是相互獨立事件，故D錯誤．
故選：．
寫出隨機變量的所有取值，求出對應隨機變量的概率，再根據(jù)期望公式求出期望，即可判斷；再根據(jù)相互獨立事件的定義即可判斷．
本題主要考查離散型隨機變量的概率及數(shù)學期望，是基礎題．
 12.【答案】 【解析】解：如圖，設，，，均為所在棱的中點，
，其中，，
點在正方體左側(cè)面內(nèi)，包括邊界，
對選項，當時，點在線段上，
易知平面，
上的點到平面的距離都相等且為定值，
又的面積也為定值，
三棱錐的體積為定值，選項正確；
對選項，當時，點在線段上，
顯然上的點到平面的距離是變化的，而的面積為定值，
三棱錐的體積不為定值，選項錯誤；
對選項，當時，由得點在線段上，
如圖，將等腰直角三角形與等邊三角形展開鋪平在一個平面內(nèi)，
則線段上的點到與的距離之和，
當且僅當，，三點共線時取得等號，
而，
的最小值為，選項正確；
對選項，若，又點在正方體左側(cè)面內(nèi)，包括邊界，
點在線段上，點的軌跡為線段，選項錯誤．
故選：．
如圖，設，，，均為所在棱的中點
對，當時，點在線段上，利用平面即可說明三棱錐的體積為定值；
對，當時，點在線段上，由與平面相交即可說明三棱錐的體積不為定值；
對，當時，點在線段上，等腰直角三角形與等邊三角形展開鋪平在一個平面內(nèi)，根據(jù)平面內(nèi)兩點間距離最短即可求解；
對，若，則點的軌跡為線段，從而判斷選項．
本題考查平面向量的基本定理，向量共線定理的推論，線面平行、線面相交關(guān)系，三棱錐的體積，距離最短問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：隨機變量，且，，
．
故答案為：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解．
本題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題．
 14.【答案】 【解析】解：設，
則，
即函數(shù)為上的增函數(shù)，
又，即，
則等價于，
則的解集為，
故答案為：．
設，則，即函數(shù)為上的增函數(shù)，又等價于，然后求解集即可．
本題考查了導數(shù)的應用，重點考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題．
 15.【答案】 【解析】解：取的中點，連接，，
，，為等邊三角形，
為的中點，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
又，平面，
，，
以為原點，，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，
設菱形的邊長為，則，，，，
，，，
設平面的法向量，
則，即，
令，則，，即，
設與平面所成的角為，
則，，
與平面所成角的正弦值為，
故答案為：．
取的中點，連接，，由題意可知平面，所以，，以為原點，，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，設菱形的邊長為，求出相應點的坐標，進而得到相應向量的坐標，結(jié)合線面夾角公式即可求解．
本題主要考查了直線與平面所成的角，屬于中檔題．
 16.【答案】  【解析】解：由題意的可能取值為，，，
，，，
事件表示第二次恰好取到一個新球，
當時，；
當時，；
當時，，
所以．
故答案為：，．
由題意的可能取值為，，，應用古典概型的概率求法求對應概率，再應用全概率公式求第二次訓練時恰好取到一個新球的概率．
本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用．
 17.【答案】證明：Ⅰ由題意知：面，面，則，
由為的中點，則，
又，，面，故AB面，
由面，則；
解：Ⅱ若，易知：是中點，又，
而，且，
則，故，
又，則，故，
若到平面的距離為，則，所以，
即到平面的距離為． 【解析】Ⅰ由面得，根據(jù)圓的性質(zhì)知，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)即可證結(jié)論；
Ⅱ利用等體積法有，結(jié)合棱錐的體積公式求點面距．
本題考查了線線垂直的證明和點到平面的距離計算，屬于中檔題．
 18.【答案】解：由圖數(shù)據(jù)可得，，，
則，，
，
，
故線性相關(guān)程度很強，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．
，
則，
故關(guān)于的線性回歸方程為，
當時，，
故估計當該種液體肥料每畝使用量為千克時，該蔬菜畝產(chǎn)量的增加量約為百千克． 【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的公式，即可求解．
根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法，求出線性回歸方程，再將代入上式，即可求解．
本題主要考查線性回歸方程的應用，以及相關(guān)系數(shù)的求解，屬于中檔題．
 19.【答案】解：Ⅰ證明：由題意平面，連接交于，連接，

則，面，面平面，，
三棱柱棱長都為，是的中點，
在中，為中位線，是的中點．
Ⅱ由知，，又，
，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，則平面平面，平面，
平面，而平面平面，
平面，平面，，

又為等邊三角形，若為的中點，則，
而，則面，
又面，，
綜上，，，銳二面角的平面角為，
在中，，則，
銳二面角的余弦值為． 【解析】Ⅰ連接交于，連接，由面，可得，根據(jù)已知有為中位線，即可證明點為的中點；
Ⅱ由題設能證明，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)及棱柱的結(jié)構(gòu)特征有面，再由線面垂直的判定和性質(zhì)有，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)及棱柱的結(jié)構(gòu)特征有平面，再由線面垂直的判定和性質(zhì)，若為的中點，由等邊三角形性質(zhì)得，即為銳二面角的平面角，由此能求出銳二面角的余弦值．
本題考查線面平行的性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及棱柱的結(jié)構(gòu)特征、線面垂直的判定和性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、銳二面角的平面角等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
 20.【答案】解：由題意得，
所以，
又，解得．
由可得，
令，解得，
當時，，則為增函數(shù)，
當時，，則為減函數(shù)，
所以
則只有唯一實數(shù)解，整理可得，
令，
則，
因為，
所以恒成立，
令，解得，
當時，，則為減函數(shù)，
當時，，則為增函數(shù)，
所以，
因為只有唯一實數(shù)解使得成立，所以．
所以關(guān)于的不等式只有唯一實數(shù)解，實數(shù)的值為． 【解析】求導可得，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可得，又，即可求得答案．
由可得，利用導數(shù)可得的單調(diào)性和最值，則所求整理可得只有唯一實數(shù)解，令，利用導數(shù)求的單調(diào)區(qū)間和最值，分析即可得答案．
本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查學生的運算能力，屬于中檔題．
 21.【答案】解：Ⅰ令，其對稱軸為且，
所以不放回地任意取出球重量相等的號碼有、、、、，
故不放回地任意取出球重量相等概率為．
Ⅱ由，，即或且，
所以，取到，共個中的一個，即可停止取球，
故每次取到球后停止的概率為，而，
，，，
分布列如下： 所以． 【解析】Ⅰ根據(jù)二次函數(shù)對稱性寫出任意取出球重量相等的號碼的可能組合，應用古典概型的概率求法求概率；
Ⅱ首先求出每次取到球后停止的概率，而并應用獨立事件乘法公式求對應值的概率，進而寫出分布列，即可求期望值．
本題考查離散型隨機變量的概率分布列及數(shù)學期望，是基礎題．
 22.【答案】解：Ⅰ由，得，
當時，即遞減；
當時，即遞增；
而，，，
所以的值域為．
Ⅱ令，
所以，上，即上恒成立，
令，則，
令，則，
當時，即在單調(diào)遞減，
所以，故，
所以在單調(diào)遞減，則，
當時，，
令，則，所以在上遞減，
故．
綜上，，故的取值范圍． 【解析】Ⅰ利用導數(shù)研究的區(qū)間單調(diào)性并求出區(qū)間最值，即可得值域；
Ⅱ將問題轉(zhuǎn)化為上恒成立，利用導數(shù)研究右側(cè)的最大值，即可求參數(shù)范圍．
本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
 

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