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B.
C.
D.
半正多面體亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個正三角形和六個正方形圍成如圖所示，若它所有棱的長都為，則( )
A. 平面
B. 該二十四等邊體的體積為
C. 與所成的角為
D. 該二十四等邊體的外接球的表面積為 二、多選題（本大題共4小題，共20分）表示空氣質量指數(shù)，的數(shù)值越小，表明空氣質量越好．當的數(shù)值不大于時稱空氣質量為“優(yōu)良”，大于時稱空氣質量為“污染”，某地年月日到日數(shù)值的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的折線圖如圖，則下列說法正確的是( )
A. 這天中，有天空氣質量為“優(yōu)良”，上旬的空氣質量比中旬的好
B. 這天中，空氣質量最好的是月日，最差的是月日
C. 這天的數(shù)值的中位數(shù)大于
D. 這天的數(shù)值中，上旬數(shù)值的方差大于中旬數(shù)值的方差設復數(shù)，為虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則下列說法正確的是( )A. 若，則 B. 若，則
C. D. 如圖，在正方體中，線段上有兩個動點，，且為正常數(shù)，則下列結論中正確的是( )A.
B. 線段上存在點，，使得
C. 的面積與的面積之比為
D. 三棱錐的體積為定值
在中，，，是的中點，則下列說法正確的是( )A. 若，點在線段的延長線上，則
B. 若是的中點，與相交于點，則
C. 若點在線段上，則的值可以是
D. 若是線段上一動點，則為定值 三、填空題（本大題共4小題，共20分）某單位職工分為青年、中年、老年三類，且青年、中年、老年職工的人數(shù)之比為：：從中抽取人作為樣本，則該單位青年職工被抽取的人數(shù)為______人．定義：，兩個向量的叉乘的模為，，，表示向量與的夾角．若點，，為坐標原點，則______．已知圓臺的軸截面面積為，母線與底面所成的角為，則圓臺的側面積為______．在空間四邊形中，，，，二面角的平面角為，為的中點，則與所成的角為______若點為的重心，則______． 四、解答題（本大題共6小題，共70分）已知向量，，
求；
求與的夾角的余弦值．定理證明：請用向量方法證明余弦定理只需證明其中的一個式子即可；
定理應用：如圖，在平面四邊形中，，，，，求的長．
某市為了解疫情期間本地居民對當?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本市居民中隨機抽取若干人進行滿意度測評測評分滿分為分根據(jù)測評的數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：
根據(jù)頻率分布直方圖，回答下列問題：
估計本次測評分數(shù)的中位數(shù)精確到和平均數(shù)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；
估計本次測評分數(shù)的第百分位數(shù)精確到；
若該市居民約為萬人，估計全市居民對當?shù)胤酪吖ぷ鳚M意度測評分數(shù)在分以上的人數(shù)．如圖，在直三棱柱中，，，為的中點，，，．
證明：平面；
證明：B.
在；；．
這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．
問題：已知，，分別為三個內角，，的對邊，，且_____．
求的值；
若，求外接圓的面積．
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，是邊長為的正三角形，平面平面，為棱的中點．
求證：平面；
若直線與平面所成角的正切值為，求側面與側面所成二面角的大?。?/span>
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
則的虛部為．
故選：．
根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解．
本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎題．
2.【答案】 【解析】解：，，且，
，即，解得或．
故選：．
根據(jù)已知條件，結合向量平行的性質，即可求解．
本題主要考查向量平行的性質，屬于基礎題．
3.【答案】 【解析】解：由題干可知為個數(shù)據(jù)．
所以，所以第一四分位數(shù)為．
因為，所以第三四分位數(shù)為．
則．
所以．
故選：．
先求第一四分位數(shù)與第三四分位數(shù)，再根據(jù)二者之和等于構造方程求解．
本題主要考查四分位數(shù)的求法，屬于基礎題．
4.【答案】 【解析】解：設，
由得，
即，，
，．
則
故選：．
根據(jù)已知條件，結合共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解．
本題主要考查共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．
5.【答案】 【解析】解：對于，若，，則或，故A錯誤；
對于，若，，，則或與異面，即B錯誤；
對于，若，，由直線與平面垂直的性質可得，故C正確；
對于，若，，，則與的關系為平行、相交或異面，故D錯誤；
故選：．
，由直線與直線平行、直線與平面平行分析線面關系即可判斷；
，若，，，則或與異面；
，由直線與直線平行、直線與平面垂直分析線面關系即可判斷；
，由兩垂直平面中兩直線的位置關系即可判斷．
本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了空間中線線、線面、面面間的位置關系，是基礎題．
6.【答案】 【解析】解：假設甲正確，即，因為，，函數(shù)在上單調遞減，
所以，即乙也正確，故與題意矛盾，
假設乙正確，即，因為，，函數(shù)在上單調遞減，
所以，故甲也正確，故與題意矛盾；
假設丙正確，故，由于，故，
因為，，所以，函數(shù)在上單調遞增，
所以，即，此時，和的大小無法確定，故甲、乙、丁無法確定，故滿足題意；
假設丁正確，由，即，即，
即，因為，，所以，
所以，即，故甲也正確，故與題意矛盾．
故選：．
直接利用三角函數(shù)關系式的變換，三角函數(shù)的值判斷命題的真假．
本題考查三角形的正弦定理和兩角差公式的運用，考查推理能力，屬于基礎題．
7.【答案】 【解析】解：因為，，所以和的夾角為，且
故投影向量為：．
故選：．
根據(jù)投影向量的公式直接求解即可．
本題主要考查向量的投影向量，屬于基礎題．
8.【答案】 【解析】解：依題意，補齊正方體，如下圖，
對于，假設平面，平面，
，，
二十四等邊體就是一種半正多面體，
由對稱性可知，六邊形為正六邊形，
，
這與“”矛盾，所以假設不成立，A錯誤；
對于，，正方體的棱長為，
該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉個三棱錐體積，
即錯誤；
對于，，
為異面直線與所成角或補角，
在等邊中，，C錯誤；
對于，如圖，取正方形對角線交點為，即為該二十四等邊體的外接球球心，
在等腰中，，
在正方形中，，
即外接球半徑，
該二十四等邊體的外接球的表面積，D正確．
故選：．
依題意補齊正方體，對于，假設平面，得到，根據(jù)六邊形為正六邊形，，得出矛盾判斷；對于，結合幾何圖形，該二十四等邊體的體積為正方體體積去掉八個三棱錐體積，從而求出；對于，由平移法找出異面直線所成角為，判斷；對于，取正方形對角線交點為，即為該二十四等邊體的外接球球心，從而求出半徑大小，進而求出外接球體積，判斷．
本題考查了立體幾何的綜合應用，屬于中檔題．
9.【答案】 【解析】解：由折線統(tǒng)計圖可知不大于的有，，，，，，，，，日共天，
即有天空氣質量為“優(yōu)良”，且上旬的空氣優(yōu)良的天數(shù)比中旬的多天，即上旬的空氣質量比中旬的好，故A正確；
空氣質量最好的是月日，最差的是月日，故B錯誤；
因為有天不大于，將數(shù)據(jù)從小到大排列，可知第個數(shù)接近，
第個數(shù)大于，且比第個數(shù)更遠離，故中位數(shù)大于，故C正確；
由折線統(tǒng)計圖可知上旬的數(shù)據(jù)的極差不超過，且數(shù)據(jù)比較集中，
中旬的數(shù)據(jù)極差大于，且數(shù)據(jù)比較分散，故中旬的方差更大，故D錯誤；
故選：．
根據(jù)折線統(tǒng)計圖一一分析即可判斷．
本題考查統(tǒng)計數(shù)據(jù)的折線圖，是基礎題．
10.【答案】 【解析】解：，則，
對于，，則，正確；
對于，，則，則，B正確；
對于，，C錯誤；
對于，，D正確．
故選：．
利用復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義即可得出．
本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，考查了共軛復數(shù)的概念，是基礎題．
11.【答案】 【解析】解：在正方體中，線段上有兩個動點，，且為正常數(shù)，
對于，，，，平面，
平面，，故A正確；
對于，與是異面直線，線段上不存在點，，使得，故B錯誤；
對于，設到的距離為，則是正的高，設到的距離為，則，
設，則，，
的面積與的面積之比為：，故C正確；
對于，當在線段上運動時，的面積不變，點到平面的距離不變，
三棱錐的體積為定值，故D正確．
故選：．
對于，由，，得平面，從而；對于，由與是異面直線，得線段上不存在點，，使得；對于，到的距離是正的高，到的距離是，由此能判斷；對于，的面積不變，點到平面的距離不變，從而三棱錐的體積為定值．
本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
12.【答案】 【解析】解：選項A：若，則，則，故A正確；
選項B：令，則，
所以，
令，則，
所以，
即，故B不正確；
選項C：設，
則，
不妨設，，則，
當時，，即，
，所以不存在，故C不正確；
選項D：設，則，
因為，
所以，
所以定值，故D正確．
故選：．
以為基底，按題中要求表示出相關的向量，用數(shù)量積的公式計算即可．
本題考查了向量的運算，及數(shù)形結合思想方法的運用，是中檔題．
13.【答案】 【解析】解：由題意，該單位青年職工所占的比例為，
可得該單位青年職工被抽取的人數(shù)為，
故答案為：．
先求出該單位青年職工所占的比例，再用樣本容量乘以此比例，即為所求．
本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎題．
14.【答案】 【解析】解：，，
，，則，
，，則，
，
可得．
故答案為：．
由已知可得，，，進一步得到，再由已知定義求解．
本題考查數(shù)量積求向量的夾角，考查向量叉乘的模的求法，考查運算求解能力，是基礎題．
15.【答案】 【解析】解：圓臺的軸截面面積為，母線與底面所成的角為，如圖，
設下底面圓半徑為，上底面圓半徑為，圓臺的高為，
過點作，交于點，
在中，，，
，，
則圓臺軸截面的面積，
則圓臺的側面積為．
故答案為：．
作出圓臺的軸截面圖形，根據(jù)其幾何特征寫出軸截面面積的表達式，再根據(jù)圓臺的側面積公式直接代入求解即可．
本題考查圓臺的結構特征、圓臺側面積公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
16.【答案】 【解析】解：根據(jù)已知條件，作出圖形，如下，
取的中點，連接，，
在中，，
，
在中，，
，
，且，
，
為異面直線與所成的角或補角，
為二面角的平面角，，
又，
；
連接，如下圖，
點為的重心，在中線上，且，
過點作交的延長線于點，連接，過點作交于點，
，，，又平面，平面，
平面，平面，，
又平面，平面，，
平面，平面，
在中，，
，
在中，，，
．
故答案為：．
對于第一空，取的中點，連接，，根據(jù)平移法得出為異面直線與所成的角或補角，根據(jù)二面角的平面角定義得出為二面角的平面角，進而利用解三角形知識求；對于第二空，利用等體積法將轉化為，結合點為的重心則有，再根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，從而得到平面，進而確定出為所求幾何體的高，再通過解三角形知識以及體積公式進行求解即可．
本題考查了異面直線所成角和三棱錐的體積計算，屬于中檔題．
17.【答案】解：，，
又，且，
，即，
；
，
，
與的夾角的余弦值為． 【解析】由已知，可得，又，結合，利用求得，再由向量模的運算公式求解；
求得，再由數(shù)量積求夾角公式可得與的夾角的余弦值．
本題考查平面向量的數(shù)量積、平面向量夾角與模的運算等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．
18.【答案】解：已知的三個內角，，所對的邊分別是，，，
求證：．
證明：如圖，
由三角形法則有，
所以，
，
因為，
所以，
因為，，
由余弦定理得，
所以，
由正弦定理，
得． 【解析】利用，兩邊平方可得結論．
由已知可得，進而由余弦定理可求，進而由正弦定理可求．
本題主要考查平面向量的應用、正弦定理、余弦定理及三角恒等變換等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力等；考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想等；考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性．
19.【答案】解：在頻率分布直方圖中，由，，
所以中位數(shù)位于內，設中位數(shù)為，則，
解得，即本次測評分數(shù)的中位數(shù)約為，
由頻率分布直方圖可知，
本次測評分數(shù)的平均數(shù)為
即本次測評分數(shù)的平均數(shù)約為．
在頻率分布直方圖中，前組頻率之和為，小于，故第百分位數(shù)位于第組，
所以，
即第百分位數(shù)約為，
由頻率分布直方圖知測評分在分以上的頻率為，
所以估計該市居民測評分在分以上的人數(shù)約為萬人． 【解析】利用頻率分布直方圖以及樣本數(shù)字特征知識可解．
本題主要考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、方差、中位數(shù)、分位數(shù)等基礎知識；考查運算求解能力、推理論證能力、應用意識、創(chuàng)新意識等；考查統(tǒng)計與概率思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想等；考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應用性．屬于中檔題．
20.【答案】證明：連接交于點，連接，
因為四邊形為矩形，所以為的中點，
在中，為的中點，所以，
又因為平面，平面，
所以平面．
因為平面，平面，所以．
又因為，平面，平面，，
所以平面，
又因為平面，所以，
因為，所以矩形為正方形，所以，
又因為平面，平面，．
所以平面C.
又因為平面，所以，
因為，所以．
因為，為的中點，所以，
所以，
所以B. 【解析】利用中位線等相關知識可證，
利用線面垂直可推線線垂直．
本題主要考查空間直線與平面的位置關系等基礎知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等；考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想等；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性，屬于中檔題．
21.【答案】解：解法一：選．
所以 ，分
又，所以，分
由正弦定理得，分
因為，所以；分
解法二：選．
所以由正弦定理得，分
所以，分
所以，分
因為，所以，分
又因為，所以；分
解法三：選．
在中，由正弦定理，分
得，分
因為，所以，分
因為，所以；分
解法一：因為，所以，
即，分
所以，分
所以，分
又，所以，解得或，又，所以，分
在中，由余弦定理得，所以分
由正弦定理得，所以，分
所以外接圓的面積分
解法二：因為，所以設，
則，，在中，由余弦定理得，
即分
在中，由余弦定理得，
即，分
由得：，
又，所以分
在中，由余弦定理得，分
又，所以，
由解得，所以，分
在中，由正弦定理得，所以分
所以外接圓的面積分 【解析】解法一：選，由正弦定理結合誘導公式化簡，可求出的值；
解法二：選，由正弦定理結合兩角和的正弦定理化簡可求出的值；
解法三：選，由正弦定理化簡，可求出的值；
解法一：由，得出，對其兩邊同時平方可求出，再由余弦定理求出，可求出外接圓的半徑，即可求出答案．
解法二：因為，所以設，在，中，由余弦求出，在中，由余弦定理得，兩式求解可得出，求出，可求出外接圓的半徑，即可求出答案．
本小題主要考查正弦定理、余弦定理、平面向量及三角恒等變換等基礎知識；考查推理論證能力、運算求解能力等；考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想等；考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎性、綜合性．
22.【答案】證明：在中，，為的中點，所以，
因為平面平面平面平面，，平面，所以平面，
因為平面，所以，
因為平面，平面，，
所以平面；
解：取的中點，連接，，
在中，，所以，
因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
因為，平面，平面，所以平面，
設平面平面，平面，，
所以，
取的中點，連接，，
在中，，所以，所以，
所以為側面與側面所成的角，
在中，，所以，
所以側面與側面所成的角為． 【解析】依題意可得，再由面面垂直的性質得到平面，即可得到，從而得證；
取的中點，連接，，可證平面，則為直線與平面所成的角，即可求出，取的中點，連接，，即可得到為側面與側面所成的角，從而得解．
本題考查了線面垂直的證明和二面角的計算，屬于中檔題．
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