課時規(guī)范練35　綜合法、分析法、反證法1.已知a>5,求證:.證明:要證,只需證,只需證()2<()2,只需證2a-5+2<2a-5+2,只需證,只需證a2-5a<a2-5a+6,只需證0<6,顯然成立,所以成立.2.用合適的方法證明:(1)已知a,b都是正數,求證:a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)已知a是整數,a2是偶數,求證:a也是偶數.證明:(1)綜合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因為a,b都是正數,所以上式非負,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.(2)反證法:假設a不是偶數,即a是奇數,不妨設a=2n+1(n∈Z),則a2=4n2+4n+1.因為4(n2+n)是偶數,所以4n2+4n+1是奇數,這與已知a2是偶數矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶數.3.已知α∈(0,π),試用分析法和綜合法分別推證下列命題:2sin 2α≤.證明:(方法1　分析法)要證2sin2α≤成立,只需證4sinαcosα≤,∵α∈(0,π),∴sinα>0,∴只需證4cosα≤.∵1-cosα>0,∴只需證4cosα(1-cosα)≤1,即4cos2α-4cosα+1≥0,只需證(2cosα-1)2≥0,顯然成立.命題得證.(方法2　綜合法)-2sin2α=sinα-4cosα=,∵α∈(0,π),∴-1<cosα<1,0<sinα<1,∴≥0,即-2sin2α≥0,∴2sin2α≤.4.(2021上海松江實驗高級中學月考)(1)證明:|x-3|-|x-5|≥-2,對所有實數x均成立,并求等號成立時x的取值范圍.(2)求證:是無理數.證明:(1)對于不等式|x-3|-|x-5|≥-2,當x≤3時,左邊=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.當3<x<5時,左邊=x-3+(x-5)=2x-8>-2,不等式成立.當x≥5時,左邊=x-3-(x-5)=2>-2.所以|x-3|-|x-5|≥-2,對所有實數x均成立,等號成立時x∈(-∞,3].(2)假設是有理數,則,其中m,n是互質的整數,則m=n,兩邊平方得m2=6n,所以m為偶數,設m=2k,k∈Z,則4k2=6n,2k2=3n,所以n為偶數,與“m,n是互質的整數”矛盾,所以假設不成立.所以是無理數.5.(2021青海海東模擬)(1)用分析法證明:若x>1,則3x2+>3x+>3.(2)用反證法證明:若a<e2,則函數f(x)=ax2-4ex(x>0)無零點.證明:(1)因為x>1,所以要證3x2+>3x+,只需證3x4+1>3x3+x,即證3x3(x-1)>x-1,所以只需證3x3>1.因為x>1,所以3x3>3>1,故3x2+>3x+得證.令t=>1,則3x+>3等價于3t2+>3t+,又因為已證明3x2+>3x+,所以3t2+>3t+.故3x2+>3x+>3.(2)假設函數f(x)=ax2-4ex(x>0)有零點,則方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=在(0,+∞)上有解.設g(x)=(x>0),g'(x)=(x>0),當0<x<2時,g'(x)<0;當x>2時,g'(x)>0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因為a<e2,所以a=在(0,+∞)上無解,顯然矛盾,故假設不成立,即原命題得證.6.(2021安徽黃山模擬)列三角形數表假設第n行的第二個數為an(n≥2,n∈N+).(1)歸納出an+1與an的關系式并求出an的通項公式;(2)求證:數列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的連續(xù)三項不可能構成等差數列.(1)解:由三角形數表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N+),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=+2=(n≥3).又a2=2也滿足上式,∴an=(n≥2,n∈N+).(2)證明:(反證法)假設{an}中存在連續(xù)三項構成等差數列,可設an-1,an,an+1(n≥3,n∈N+)成等差數列,則2an=an-1+an+1,即2×=n2-n+3,得0=1,顯然矛盾,即假設不成立.故數列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的連續(xù)三項不可能構成等差數列.

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