課時規(guī)范練30　等比數(shù)列基礎(chǔ)鞏固組1.(2021陜西西安二模)在等比數(shù)列{an}中,a3a7=9,則a5=(　　)A.±3 B.3 C.± D答案:A解析:由等比數(shù)列的性質(zhì),可得=a3a7=9,則a5=±3.2.(2021四川成都三診)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則“a6>a5>0”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的(　　)A.充要條件  B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件答案:B解析:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.充分性:當(dāng)a6>a5>0時,q=>1,且a1=>0,則數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;必要性:當(dāng)數(shù)列{an}為遞增數(shù)列時,若a1<0,0<q<1,則0>a6>a5.故為充分不必要條件.3.(2021山西臨汾二模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=21,a4-a1=21,則a3=(　　)A.9 B.10 C.11 D.12答案:D解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,顯然q≠1,則解得q=2,a1=3,則a3=3×22=12.4.(2021湖北鄂東南示范高中聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=10,a3+a4=20,則a7+a8=(　　)A.80 B.100 C.120 D.140答案:A解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q2==2,∴a7+a8=(a1+a2)q6=10×23=80.5.(2021安徽江南十校一模)將數(shù)列{3n+1}與{9n-1}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an},則a10=(　　)A.319 B.320 C.321 D.322答案:B解析:由題意知,數(shù)列{an}是首項為9,公比為9的等比數(shù)列,所以an=9n,則a10=910=320.6.(2021吉林長春四模)在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=,a4+a5=18,則其前5項的積為(　　)A.64 B.81 C.192 D.243答案:D解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意=q3=8,解得q=2,所以a1+a2=a1+2a1=,所以a1=,所以a1a2a3a4a5=q10=5×210=243.7.(2021河南新鄉(xiāng)、商丘高三聯(lián)考)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,且8a2-a5=0,Sm=5S2,則m的值是　　　　　. 答案:4解析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由8a2-a5=0,得8a1q=a1q4,解得q=2.又因為Sm=5S2,所以=5,解得m=4.8.(2021北京西城一模)在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,則公比q=　　　　　;滿足an>1的n的最大值為　　　　. 答案:-　3解析:因為a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q==-所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×-n-1,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,an<0;當(dāng)n為奇數(shù)時,an=8=8×n-1=24-n>0.要使an>1,則4-n>0且n為奇數(shù),即n<4且n為奇數(shù),所以n=1或n=3,n的最大值為3.9.(2021河北邯鄲二模)已知數(shù)列{an}滿足an>0,an+1=3an+4.(1)證明:數(shù)列{an+2}為等比數(shù)列;(2)若a3=25,求數(shù)列{an-n}的前n項和Sn.(1)證明:由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2),因為an>0,所以an+2≠0,所以數(shù)列{an+2}為等比數(shù)列.(2)解:若a3=25,則an+2=(a3+2)×3n-3,即an+2=(25+2)×3n-3,所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,數(shù)列{an-n}的前n項和Sn=(3+32+…+3n)--2n=-2n=.綜合提升組10.(2021廣東梅州二模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=1,則+…+=　　　　　　. 答案:502解析:因為an+Sn=1,所以當(dāng)n≥2時,an-1+Sn-1=1,兩式相減,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=an-1(n≥2);當(dāng)n=1時,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=所以數(shù)列{an}表示首項為,公比為的等比數(shù)列,所以an=n,Sn==1-n,所以=2n-1,所以+…+=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=-8=29-10=502.11.(2021山東淄博高三)在等比數(shù)列{an}中,a1=2,公比q>1,a2,a3是函數(shù)f(x)=x3-6x2+32x的兩個極值點,則數(shù)列{an}的前9項和是　　　　　　. 答案:1 022解析:由f(x)=x3-6x2+32x得f'(x)=x2-12x+32,又因為a2,a3是函數(shù)f(x)=x3-6x2+32x的兩個極值點,所以a2,a3是函數(shù)f'(x)=x2-12x+32=(x-4)(x-8)的兩個零點,即4或8,又因為a1=2,{an}是等比數(shù)列,所以a2=4,a3=8,故q=2.則前9項和為=210-2=1022.12.(2021河南湘豫名校聯(lián)盟3月聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}滿足a1-a3=-,a2-a4=-,則使得a1a2…an取得最小值的n為　　　　　. 答案:3或4解析:設(shè)公比為q,則q==3,∴a1-a3=a1-a1q2=-8a1=-,∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…,∴n=3或n=4時,a1a2…an取得最小值.13.(2021湖南長沙模擬預(yù)測)在等比數(shù)列{an}中,a2=2,a5=,則滿足a1a2+a2a3+…+anan+1成立的n的最大值為　　　　　. 答案:3解析:已知{an}為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,由a5=a2q3得,2q3=,q3=,解得q=,又a2=2,∴a1=4.=q2=,∴數(shù)列{anan+1}也是等比數(shù)列,其首項為a1a2=8,公比為∴a1a2+a2a3+…+anan+1=(1-4-n),從而有n∴n≤3.故nmax=3.14.(2021山東青島西海岸新區(qū)高三期末)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1-2,則{an}的通項公式an=　　　　　;若數(shù)列{bn}的通項公式bn=n,將數(shù)列{bn}中與{an}相同的項去掉,剩下的項依次構(gòu)成數(shù)列{cn},{cn}的前n項和為Tn,則T100=　　　　　　. 答案:2n　5 545解析:由題意,數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1-2,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,當(dāng)n=1時,a1=S1=22-2=2,適合上式,所以{an}的通項公式an=2n.在數(shù)列{bn}的前100項中與數(shù)列{an}相同的項為2,22,23,24,25,26,所以T100=(b1+b2+…+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+…+b106)=(b1+b2+…+b100+b101+b102+…+b106)-(2+22+23+24+25+26)==5671-126=5545.創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2021河北石家莊模擬)數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線,螺旋線就是其中比較特別的一類.螺旋線這個名詞來源于希臘文,它的原意是“旋卷”或“纏卷”.小明對螺旋線有著濃厚的興趣,連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案,其具體作法是:在邊長為1的正方形ABCD中,作它的內(nèi)接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;類似地,依次進(jìn)行下去,就形成了陰影部分的圖案,如圖所示.設(shè)第n個正方形的邊長為an(其中第1個正方形ABCD的邊長為a1=AB,第2個正方形EFGH的邊長為a2=EF),第n個直角三角形(陰影部分)的面積為Sn(其中第1個直角三角形AEH的面積為S1,第2個直角三角形EMQ的面積為S2).有以下結(jié)論:①數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列;②S1=;③數(shù)列{Sn}是公比為的等比數(shù)列;④數(shù)列{Sn}的前n項和Tn<其中正確結(jié)論的序號有　　　　. 答案:②④解析:如圖,由圖知an=an+1·(sin15°+cos15°)=an+1sin(15°+45°)=an+1,對于①:an=an+1,a1=AB=1,所以數(shù)列{an}是公比為的等比數(shù)列,故不正確;對于②③:因為an=1×n-1=n-1,所以Sn=n-1-n=n-1,所以數(shù)列{Sn}是首項為,公比為的等比數(shù)列,故②正確,③不正確;對于④:Tn=1-n<,故④正確.16.(2021浙江溫州一模)有一種病毒在人群中傳播,使人群成為三種類型:沒感染病毒但可能會感染病毒的S型;感染病毒尚未康復(fù)的I型;感染病毒后康復(fù)的R型(所有康復(fù)者都對病毒免疫).根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù):每隔一周,S型人群中有95%仍為S型,5%成為I型;I型人群中有65%仍為I型,35%成為R型;R型人群都仍為R型.若人口數(shù)為A的人群在病毒爆發(fā)前全部是S型,記病毒爆發(fā)n周后的S型人數(shù)為Sn,I型人數(shù)為In,則Sn=　　　　;In=　　　　　.(用A和n表示,其中n∈N+) 答案:0.95nA　A解析:由題意,可得由①③可得Sn=0.95nA,代入②可得In+1=0.65In+0.05×0.95nA,則In+1-0.95n+1A=0.65×In-0.95nA,所以數(shù)列In-0.95nA為等比數(shù)列,公比為0.65,由④可得In-0.95nA=0.65n×I0-0.950A,整理得In=0.95nA-0.65nA=A.綜上可得Sn=0.95nA,In=A.

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